2.1 等式性质与不等式性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质和不等式性质 2.2 基本不等式 2.3 二次函数与方程、不等式 单元概述 本章是高中数学必修课程中的预备知识,起着初高中数学的衔接与过渡作用,内容包括“等式性质和不等式性质”、“基本不等式”和“二次函数与一元二次方程、不等式”.相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系,是构建方程、不等式的基础;方程和不等式都是重要的数学工具,在解决问题中有广泛的应用;用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法. 单元知识结构 相等关系 不等关系 方程 不等式 等式的性质 不等式的性质 一元二次方程 一元二次不等式 二次函数 基本不等式 三个二次关系 类比 类比一元一次 学习目标 1.等式性质与不等式性质 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 2.基本不等式 掌握基本不等式 .结合具体实例,能用基本不对呢公式解决简单的最大值或最小值问题. 3.从函数观点看一元二次方程 会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 4.从函数观点看一元二次不等式 (1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义;能借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. (2)借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质和不等式性质 课标要求 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 整体感知 生活中的不等关系 利用不等关系列不等式 赵爽弦图(基本不等式)(证明) 类比等式性质猜想不等式性质并证明 ① ③ ② 探究建构 学习活动1:相等关系与不等关系 问题1:你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40km/h; (2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f也不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%. (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边; (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 0<v≤40 a+b>c;a-b<c. CD<CE 根据实际问题中蕴含的不等关系列不等式.ju 利用不等式研究相应问题. 探究建构 学习活动1:相等关系与不等关系 问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 怎么求这个不等式的解集? 类比解方程要用等式的性质,解不等式要用不等式的性质. 探究建构 学习活动1:相等关系与不等关系 回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实. 初中我们已经归纳出一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的?还有其他不等式的性质吗? 探究建构 学习活动1:相等关系与不等关系 关于两个实数大小关系的基本事实 A A B B a<b a>b a a b b 形(几何) 数(代数) 作差法 另外还有:①特殊值法(限定范围)②作商法(分母不为零) 探究建构 学习活动1:相等关系与不等关系 关于两个实数大小关系的基本事实 例1:比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 板书 探究建构 学习活动2:赵爽弦图(基本不等式) 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 探究建构 学习活动2:赵爽弦图(基本不等式) 角度一:设直角三角形的两条直角边长分别为a,b(a≠b),那么斜边长为 当直角三角形变为等腰直角三角形(EFGH)缩为一个点,即a=b时 探究建构 学习活动2:赵爽弦图(基本不等式) 角度二:利用完全平方公式 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:梳理等式性质,观察共性,归纳发现等式基本性质的方法. 相等关系自身的特性 等式在运算中的不变性 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 类比性质1,2,可以猜想不等式有如下性质: 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 类比性质1,2,可以猜想不等式有如下性质: 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 类比性质3~5,可以猜想不等式还有如下性质: 说明:不等式中任何一项可以改变符号移动到不等号的另一边. 还有其它的证明方法吗? 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 类比性质3~5,可以猜想不等式还有如下性质: 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 利用这些基本性质,我们还可以推导出其它一些常用的不等式的性质: (利用性质2,3可以推出) 探究建构 学习活动3:等式性质与不等式性质 探究:类比等式的基本性质,猜想不等式的基本性质,并证明. 利用这些基本性质,我们还可以推导出其它一些常用的不等式的性质: (利用性质2,4可以推出) 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据. 应用迁移 P42 习题2.1 考点一:用不等式(组)表示不等式 考点二:作差(作商)法比较大小 考点三:利用不等式性质判断命题的真假 考点四:利用不等式性质证明不等式 考点五:利用不等式性质求代数式的取值范围 重构拓展 重构拓展 名称 性质 属性 ①对称性 双向性 ②传递性 单向性 ③可加性 双向性(移项的依据) ④可乘性 单向性 ⑤ 单向性 ⑥ 单向性 ⑦乘方法则 单向性 ⑧开方法则 单向性 不等关系自身特性 不等式在运算中的不变性 重构拓展 注:不等式中的倒数性质 可结合反比例函数 去理解记忆 感谢观看! $$