2025年中考数学三轮冲刺反比例函数与一次函数的综合压轴题综合训练

2025年九年级数学中考三轮冲刺 反比例函数与一次函数的综合压轴题综合训练 1．如图，双曲线与直线交于点． (1)求k的值； (2)直接写出关于x的不等式的解集； (3)若直线与双曲线，直线和y轴分别交于点B，C，D，且B，C，D中的两点关于第三点对称，求a的值． 2．如图，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴的交点为，与轴的交点为，点为线段的中点． (1)求反比例函数的表达式； (2)点为反比例函数图象上一点，且在直线的下方，当时，求点的坐标． 3．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点和，轴于点，且． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)结合图象，指出当时的取值范围． 4．已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的，两点，与轴交于点． (1)写出点关于原点的对称点的坐标； (2)分别求出这两个函数的表达式； (3)求的正切值． 5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与轴交于点，连结，的面积为3． (1)求反比例函数的表达式． (2)当时，根据图象直接写出的取值范围． 6．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)当时，自变量x的取值范围； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，连接． (1)求一次函数与反比例函数的解析式． (2)过点作平行于轴，交于点，求的面积． 8．如图，已知反比例数的图象与一次函数的图象相交于点，，过点作轴于点，过点作轴于点，连结．    (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围； (3)求四边形的面积． 9．如图，直线与双曲线的交点为，与轴的交点为，点为双曲线上的一点． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)如图1，当点的横坐标为4时，判断的形状，并说明理由； (3)如图2，当时，求点的坐标． 10．函数与的图象如图所示，点P是y轴上的任意一点，直线分别与两个函数图象交于点Q，R，连接． (1)用t表示的长度，并判断随着t的值逐渐增大，长度的变化情况． (2)当t从小到大变化时，的面积是否发生变化？请说明理由． (3)当时，的周长是否发生变化？如果发生变化，当P点坐标为多少时，的周长最小？最小周长是多少？如果不发生变化，请说明理由． 11．如图，直线反比例函数图象交于点，交y轴于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，将沿射线方向平移，平移后A、O、B的对应点分别为，，，当点恰好落在反比例函数的图象上时，求点的坐标； (3)设，过P作x轴的平行线与直线和反比例函数的图象分别交于点C，D，当时，求n的取值范围． 12．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．    (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式； (3)是轴上的一个动点，求的值最小时点的坐标． 13．如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于，两点，连接，，延长交反比例函数图象于点C． (1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式； (2)当时，直接写出自变量x的取值范围为______； (3)点P是x轴上一点，当时，请求出点P的坐标． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求点B的坐标； (3)若点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点Q，的面积为1，求点P的坐标． 15．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的、两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)连接、．若点P为图中双曲线上的一点，且，请直接写出点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考三轮冲刺反比例函数与一次函数的综合压轴题综合训练》参考答案 1．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，理解函数图象上点坐标的特征，以及函数图象与不等式之间的关系是解题关键． （1）先将点A坐标代入一次函数中求解即可得到完整坐标，然后将A点完整坐标代入反比例函数解析式即可得到值； （2）求不等式的解集，实则找出一次函数图象位于反比例函数图象下方部分所对应的自变量的取值范围即可，从而结合（1）的结论以及函数图象直接写出即可； （3）先表示出，，三点坐标，再根据题意分情况：当为的中点和当为的中点时，求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得， ． 将代入， 解得； （2）解：根据反比例函数与一次函数，观察图象得， 所以的解集为； （3）解：由可得，，． 直线与轴的交点为， 结合图象可得：点D为的中点不存在； 当为的中点时，， 解得，（舍去）； 当为的中点时，， 解得，（舍去）， 的值为或． 2．(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的综合应用： （1）先求出的坐标，中点求出点坐标，进而求出反比例函数的解析式即可； （2）在轴上点右侧取一点，使得，设点，先求出点坐标，过点作交反比例函数图象于点，联立直线与反比例函数的解析式，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：对于，当时，，当时，， ∴， 如图1，过点作轴于点， ∵是的中点， ∴，， ∴点的坐标为， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，在轴上点右侧取一点，使得， 设点， ∴， ∴，即，解得， ∴点， 过点作交反比例函数图象于点， 设直线的解析式为， ∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在反比例函数和的图象上， ∴， 解得，． ∴点的坐标为或． 3．(1)， (2)或 【分析】（1）根据反比例函数k的几何意义得到，即可求得，把点代入反比例函数的解析式即可求得t，然后根据待定系数法即可求得正比例函数的解析式； （2）根据反比例函数与正比例函数的对称性，可得B点的坐标，然后根据图象即可求得当时x的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数经过点， ∴， ∴， 把代入得， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵， 且两个函数的图象均关于原点对称， ∴， 由图象可知当时x的取值范围是或． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求正比例函数与反比例函数的解析式，正比例函数与反比例函数的对称性，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 4．(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据中心对称的性质，可得点关于原点的对称点的坐标； （2）根据，可得反比例函数解析式，根据，两点可得一次函数解析式； （3）过点作轴，垂足为，构造直角三角形，依据以及的长，即可得到的正切值． 【详解】（1）解：根据中心对称的性质可得， 点关于原点的对称点的坐标是； （2）解：在的图象上， ， 反比例函数的解析式是：， 在的图象上， ， ， 过，两点， ， ，得：， ， 将代入，解得：， 一次函数的解析式是：； （3）解：如图，作轴于点， 则， ，， 对于，令，则， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求关于原点对称的点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，求反比例函数解析式，已知两点坐标求两点距离，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求角的正切值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 5．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）先求出一次函数解析式，根据面积求出长点的点的横坐标，根据横坐标和一次函数解析式求出点纵坐标，即可得到反比例函数解析式； （2）根据两个函数的交点坐标和函数图象，直接写出不等式解集即可． 【详解】（1）在直线的图象上， 一次函数解析式为，， 如图，作轴，垂足为点， ， ， ， 点的横坐标为， 在直线中，令得，， 点的坐标为，且在反比例函数图象上， 反比例函数的表达式为：； （2）解：根据图象可知，当时，． 6．(1)反比例函数的解析式为，一次函数为； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）首先得到，然后求出，然后得到，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， 将，代入得， 解得， ∴一次函数为； （2）由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为：或； （3）设一次函数与x轴的交点为D 由题意可知， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或． 7．(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点的问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出直线解析式，再计算出点坐标，根据面积公式代入数据计算即可． 【详解】（1）反比例函数的图象过点， ， 反比例函数解析式为：， 把点代入反比例函数解析式得：， ， ， 解得， 一次函数解析式为：； （2）点， 直线解析式为， 过点作平行于轴，交于点， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即，代入直线的解析式得，， 解得，， ,，， ． 8．(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查反比例函数和一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想和转化思想是解题的关键 （1）先将点B坐标代入反比例函数表达式求出k，再将点A坐标代入可确定点A坐标，最后用待定系数法可求得一次函数的解析式； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）延长和，相交于点，将四边形的面积转化为大三角形面积减去小三角形面积即可． 【详解】（1）解：将点坐标代入反比例函数，得， ． ∴反比例函数的解析式． ∵点也在反比例函数的图象上， ∴，解得． ∴． 将，两点代入得， ，解得． ∴一次函数的解析式为． （2）解：观察图象可知， 当和时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以一次函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围是：或． （3）解：延长和，相交于点，    ∵轴，轴， ∴． ∵，， ∴，． ∴， ， ∴． 9．(1)， (2)为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理的逆定理，熟练利用待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）把代入一次函数，求得一次函数的解析式，再求出点A坐标即可；再将点A坐标代入反比例函数，即可解答； （2）求出点坐标，利用勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形； （3）过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点，利用全等三角形的性质得到点的坐标，求得的解析式，点即为反比例函数与一次函数的交点． 【详解】（1）解：直线过点， ，解得：， 直线的表达式为． 点在直线上， ， 点的坐标为． 又双曲线过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：为直角三角形，理由如下： 点在上，且点的横坐标为4， 点的纵坐标为， 即点 ， ， ， 为直角三角形； （3）解：如图（2），过点做垂直交射线于点，过点做垂直轴交轴于点，过点做垂直交直线于点． 又 轴， 又 ， 易得， 设的函数解析式为 即 的函数解析式为 联立， 即， ， 即． 10．(1)，当时，随t的增大而减小 (2)不发生变化，理由见解析 (3)发生变化，， 【分析】（1）由于和的横坐标都是，则利用反比例函数图象上点的坐标特征可表示出它们的坐标，然后利用它们的纵坐标之差即可表示出的长度，然后根据反比例函数的性质讨论增减性； （2）根据三角形面积公式易得，于是可判断的面积不发生变化 （3）当时，易得，，则，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，如图，则点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，易得点坐标为；然后根据两点之间线段最短可判断此时的周长最小，接着根据勾股定理计算出，从而可得到的周长的最小值． 【详解】（1）解：把代入得，则； 把代入得，则， ∴，当时，RQ随t的增大而减小． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： ∵， ∴的面积不发生变化． （3）解：的周长发生变化．当时，，，则． 作点R关于y轴的对称点M，连接，与y轴的交点即为所求点P．如图， 则M点的坐标为．设直线的表达式为，则 解得 ∴直线的表达式为，当时，． ∴点P的坐标为． ∵， ∴． ∴此时的周长最小． 在中，∵，， ∴． ∴． ∴周长的最小值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，掌握反比例函数图象上点的坐标特征和性质；会利用待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；三角形的面积；运用两点之间线段最短解决三角形周长的最小值问题． 11．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用待定系数法即可求出k值，即可求反比例函数的解析式； （2）由直线的解析式可得出直线的解析式为，联立直线及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组即可得出点的坐标（取正值）； （3）先分别求出在与两个函数中，当时，的值，再分当点P纵坐标点A纵坐标时，即时，与当点P纵坐标点A纵坐标时，即时，两种情况，分别求出不等关系，即可求解． 【详解】（1）∵直线过点， ∴ ∴点的坐标为， 将代入， ∴， ∴； （2）如图所示， ∵沿射线方向平移，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立直线及反比例函数解析式，得：， 解得：，（舍去） ∴点的坐标为； （3）如图，过作平行于轴的直线如图所示： 在函数中，当时，； 在函数中，当时，； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即， 令， ， 经检验：，都是原方程的根，不合题意，舍去， 结合函数图像可得：； 当点P纵坐标点A纵坐标时，即时， ，即，同理可得：． 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、解一元二次不等式以及反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出m，k的值；（2）联立直线与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点O'的坐标；（3）由的范围，找出关于n的一元二次不等式． 12．(1)； (2)； (3)点． 【分析】（）将点的坐标代入反比例函数的解析式中，利用待定系数法求出的值，从而可确定反比例函数的解析式； （）由于点在反比例函数图象上，将点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，确定的坐标，再利用待定系数法确定一次函数的解析式； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于，根据轴对称的性质可得的长度就是的最小值，接下来求出的坐标，再确定直线的解析式，最后求出点的坐标即可； 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点及待定系数法求函数解析式、轴对称——最短路线问题，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）把代入中，可得：， ∴反比例函数的解析式为：； （2）把代入中，可得：， ∴ ∴把，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式为：； （3）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则的长度就是的最小值，    由作图知，， 设直线的解析式为 ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点． 13．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、利用待定系数法求函数解析式；熟练的利用数形结合的方法解题是关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求得，再根据，求得，根据中心对称的性质得出，可得，从而求得，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入得 ， 解得 ， ∴一次函数为， 将代入 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为 ； （2）解：由图象可知，当时， 自变量x的取值范围为或， 故答案为：或； （3）解：如图，由题意可知，， ∴， 把代入得，， 解得， ∴， ， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， 14．(1)； (2)； (3)点P的坐标为或． 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键． （1）将点代入一次函数，求出的值，得点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可得到答案； （2）联立，即可求解； （3）设，则，根据三角形的面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， ， 故， 将代入反比例函数， 得， ∴这个反比例函数的表达式； （2）解：联立， 解得：或， 可知； （3）解：设，且，交x轴于点M，如图； ， ， ， 解得， 点P的坐标为或． 15．(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由，先求出点坐标，然后将点坐标代入，即可求出的值，进而可得反比例函数解析式；由点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为可求出点坐标，将、两点坐标代入，可得二元一次方程组，解方程组即可求出、的值，进而可得一次函数解析式； （2）由（1）得，，根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式的解集即可； （3）根据两个三角形面积相等，可推出点一定在正比例函数或直线的图象上，联立方程组求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：设， ，， ，， ， 点在反比例函数图象上， ， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上，且点B的纵坐标为， ， ， ， 、两点在一次函数的图象上， 将，代入，得： ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由（1）得：，， 根据函数图象及交点坐标可知： 不等式时x的取值范围为：或； （3）解：， 根据同底等高可知，点一定在正比例函数的图象上， ， 解得：， 点的坐标为：或； 当点在直线右侧时，根据一次函数图象的平移规律可知，点在直线的图象上， ， 解得：或， 点的坐标为：或； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合（一次函数与反比例函数的交点问题），求一次函数解析式，求反比例函数解析式，根据交点确定不等式的解集，一次函数图象平移问题，三角形的面积公式，从函数的图象获取信息，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$