2025年九年级数学中考一轮复习一次函数与几何综合解答题专题突破训练

2025年九年级数学中考一轮复习 一次函数与几何综合解答题专题突破训练 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴，轴交于，两点，正比例函数的图像与交于点． (1)当平分的面积时，求此时这个正比例函数的表达式； (2)当的面积为的面积的2倍时，求此时这个正比例函数的表达式． 2．如图，直线经过点，． (1)求直线的函数表达式． (2)若点在直线上，且点的纵坐标为7，求的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求直线的表达式； (2)点是直线上一动点，当的面积与的面积相等时，求点的坐标； (3)当为等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标． 4．直线分别交x，y轴于A，B两点，且点C坐标为．点D，点E分别是线段，上的动点，与交于点P． (1)如图1，若交y轴于点G，，，求的大小； (2)如图2，若，的最小值是，求直线l的表达式； (3)如图3，当时，点D是中点，与的夹角是，求点E的坐标． 5．如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点． (1)求的值及的解析式； (2)求的值； (3)一次函数的图象为，且不能围成三角形，直接写出的值． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线：与直线相交于点，交轴负半轴于点．已知点的横坐标为的面积为10． (1)点的坐标为________； (2)求直线对应的函数表达式； (3)若为线段上的一个动点，将沿着直线翻折，点是否存在某个位置，使得点的对应点恰好落在轴正半轴上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，直线与轴、轴分别交于点和点是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处．求： (1)求、两点坐标； (2)求坐标； (3)在轴上找一点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，与轴交于点，直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若，将直线沿轴向上平移个单位长度，当平移后的直线经过点时，求的值； (3)无论的值怎样变化，直线都过定点________； 若当从开始逐渐增大时，函数的值比直线对应函数的值先到达，求的取值范围； (4)已知直线（直线上所有点的横坐标都为），若直线（且）直线与直线围成的三角形的面积是，直接写出的值． 9．在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 10．在平面直角坐标系中，已知直线分别交x轴，y轴于点点C在x轴的负半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)若点M是直线上的一点，连接，使得，求出此时点M的坐标； (3)若点，在轴上是否存在点Q，使，若存在请直接写出点Q的坐标，若不存在请说明理由． 11．如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的表达式； (2)轴上有一动点，连接，求当周长取最小值时点的坐标． 12．如图，直线与直线相交于点． (1)求b的值； (2)直接写出关于x，y的方程组的值； (3)若交x轴于点A，交x轴于点B，且，求直线对应的函数表达式． 13．如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，使得，求点的坐标； (3)在直线上是否存在点，使得，，三点构成的三角形与全等，若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，且． (1)求的值； (2)点是直线上的一个动点，当的面积是时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，且点在第一象限，轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．直线经过，两点，点的坐标为． (1)求和的值； (2)点为线段上一点，点为直线上一点，． ①如图1，若，求点坐标； ②如图2，若，求点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考一轮复习一次函数与几何综合解答题专题突破训练》参考答案 1．(1) (2) 【分析】本题主要考查两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式． （1）先根据一次函数的性质求得A，B两点的坐标，然后由平分的面积得，进而可得点C的坐标，再由待定系数法求函数解析式即可； （2）先由的面积为的面积的2倍得，，进而得，再由待定系数法求函数解析式即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像分别与轴、轴交于A，B两点， ∴令，则， 令，则， ∴，， 当平分的面积时，则，即点为线段的中点， ∴， 将代入得，， 解得：， 即正比例函数的表达式为； （2）解：由（1）可得，， ∴， ∵的面积为的面积的2倍， ∴，， 过点作于点，作于点， ∴， ， ∴，， ∴， 将代入得，， 解得：， 即正比例函数的表达式为． 2．(1) (2)4 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）先求出点的坐标，再用的面积加上的面积即可解决问题． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，直线过，， 则， 解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得，， ∴点的坐标为． 又∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∴． 3．(1) (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线围成的三角形面积，全等三角形的判定与性质，数形结合是解题的关键． （1）把B的坐标代入直线的解析式，即可求得k的值，进而得到解析式； （2）根据的面积与的面积相等列方程即可得答案； （3）分三种情况：当，时，过点P作轴，，根据条件证明，根据对应边相等求解即可；当，时，过点P作轴，当，时，过点P作轴，同理可求． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点A，交x轴于点， ∴ 解得 ∴直线的解析式是； （2）解：将代入，解得， ， ， ， 点P是直线上一动点，D点在上，令，则， 则， 设， 的面积与的面积相等 解得或 或； （3）解：当，时，过点P作轴，，如图， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 当，时，过点P作轴，如图， 同理可得： ∴， ∵，， 设 ∴，，，， ∴，，解得：， ∴； 综上所述：点的坐标为或或． 4．(1) (2) (3) 【分析】（1）由题易得，所以，，再根据等腰三角形可知，再根据外角性质可得，即可得解； （2）根据题意可得，由逆等线模型构造全等，过作轴，且，连接，证，得到，从而，再利用勾股定理求出值即可； （3）先求出解析式，利用平行线将进行等角转化，过点作交于点，所以，亦可得出直线的解析式，进而求出的坐标，再利用构造等腰直角三角形，过作于点，进而构造一线三垂直的全等，求出点坐标，然后求出直线的表达式，即可得解． 【详解】（1）解：分别交、轴于、两点， 令，得，即， 令，得，即， ， 点坐标为， ， ，， ，， ，， ， ， ， 在中，； （2）解：由（1）可知，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 如图，过作轴，且，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当且仅当、、三点共线时取最小值，最小值为线段的长， 的最小值为， ， ，， ， ， ， 直线的表达式为； （3）解：， ， 是中点， ，， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 过点作交于点， 设直线的解析式为， 将代入得，， 直线的解析式为， 令， 解得， ， ， 过作于点， 与的夹角是， ， ， ， 过作轴交轴于点，过作于点， ， 在和中， ， ， ，， 设， ，， ，，，， ， 解得， ， 设直线解析式为，将，代入得， ，解得， 直线解析式为， 再联立直线和直线解析式得， ，解得， ． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数交点与二元一次方程组、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 5．(1)，直线的解析式为 (2)7 (3)或或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、正比例函数，熟练掌握一次函数和正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）将代入直线的解析式即可得的值；再利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出点的坐标，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分三种情况：①当经过点时，②当时，③当时，根据一次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入一次函数得：， 解得； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为． （2）解：对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，即， 由（1）已得：， ∴的边上的高为4，的边上的高为6， ∴． （3）解：∵一次函数的图象为，且不能围成三角形， ∴①当经过点时，则，解得； ②当时，则； ③当时，则； 综上，的值为或或． 6．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）将点B横坐标代入即可求解； （2）根据的面积为10，求出，，再用待定系数法求解即可； （3）过点B作轴于点E，则，由翻折得：，则在中，，那么，则的中点为，由翻折可得直线垂直平分，直线经过的中点，可求直线的表达式为，再与直线联立即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，将代入得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵的面积为10， ∴， ∴， 当， ∴， ∵C在y轴负半轴， ∴， 将，代入 得：， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为； （3）解：存在，理由如下， 过点B作轴于点E， ∵ ∴， 由翻折得：， ∵， ∴在中，， ∴， 则的中点为， 由翻折可得直线垂直平分， ∴直线经过的中点， 设直线的表达式为：， 代入，的中点得：， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数与图形的变换，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质，勾股定理． 7．(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理于折叠、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， 令，则；，则； ，； （2）解：，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综合上述，点P的坐标为或或或． 8．(1) (2) (3)   (4)或 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出点的坐标，再根据平移过程写出平移后的直线解析式，最后把点坐标代入即可求解； （3）根据函数表达式的特征即可求解； 根据“函数的值比直线对应函数的值先到达”列出一元一次不等式，解出的范围即可求解； （4）如图所示，根据题意表示出三条直线的交点坐标，再表示出三条直线围成的三角形的面积，令其等于，解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 直线经过点，， ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：当时，， 点的坐标为， ， 直线的函数表达式为， 将直线沿轴向上平移个单位长度， 平移后的直线的函数表达式为， 平移后的直线经过点， 将代入中，得 ， 解得：； （3）解：无论的值怎样变化，直线都过定点， 故答案为：； 当时，， 解得：， 将代入中， 得， 函数的值比直线对应函数的值先到达， ， 解得：； （4）解：由，解得：， 即直线与直线交于点，如图所示， 把分别代入、得、， 即直线分别与、交于点、，如图所示， 则， 作于，则， 则， 又， ， 解得：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的平移规律、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、两直线的交点与二元一次方程组的解的关系、解一元一次不等式等知识点，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 9．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得：，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 10．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题为一次函数综合题，涉及到三角形全等和相似等，分类求解和正确作出辅助线是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作直线交y轴于点，取，过点L作直线交直线于点，则点，取，过点作直线交于点M，则此时，点为所求点，即可求解； （3）分两种情况分别是点Q在B点的左边和右边进行讨论，在右边时由于内错角相等，两直线平行，故只要作直线平行于即可得到点Q坐标；在左边的情况是，则再求出点Q坐标即可． 【详解】（1）解：直线分别交x轴，y轴于点， 则点的坐标分别为：， ，则， 则点， 设直线的表达式为， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则直线的表达式为：； （2）解：设M坐标为， 可看成为底，高为C到距离的三角形， 过点C作直线交y轴于点，则解析式为， 代入得，解得， 故解析式为， ∴点， 取，则点， 过点L作直线交直线于点， 则， 故此时到距离为点C到距离2倍， 则此时， 取， 过点作直线交于点M， 同理则此时， 点为所求点， ∵直线且点， 则直线l的表达式为：， 同理可得：直线k的表达式为：， 分别联立和直线的表达式得：或， 解得：或， 即点M的坐标为：或； （3）解：存在； 情况一：作， ，， ， ， 所以点Q坐标为：． 情况二：取， 则，， 在和中， ， ， 此时坐标为：． 综上所述：点坐标为：或． 11．(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，求最短路径问题等． （1）先求出，再设的表达式为，继而代入和两点即可求出； （2）作点关于轴对称点，连接交轴于点，则，当、、三点共线，即当在点处时，的周长最小，再设直线的解析式为，求出后令，继而求出． 【详解】（1）解：的横坐标是， 代入中得， ， 设的表达式为， 将和两点坐标代入得，解得， 一次函数的表达式为． （2）解：作点关于轴对称点，连接交轴于点， ， 则，当、、三点共线，即当在点处时，的周长最小， ∵的表达式为， ∴令，即， ∴，则， 设：直线的解析式为， 将和坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 是直线与轴交点， 令，得， ． 12．(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键． （1）已知点P在上，故将点P坐标代入函数解析式，即可求得b的值； （2）二元一次方程组的解为与的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解； （3）在上，求出当时，对应点A的坐标，设出点B坐标，利用三角形面积公式，即可求得点B坐标，分别将点P与点B坐标代入函数式，即可求得对应函数表达式． 【详解】（1）解：根据题意可知：点在直线上， 则， 解得； （2）解：∵， ∴交点坐标是， ∴方程组的解是； （3）解：直线中，当时，， 故点A坐标为，设点B坐标为， 故， 解得：， 故点B坐标为， 将点B、点P坐标代入方程，可得：， 解得：， 故直线对应函数表达式为：． 13．(1) (2)或 (3)存在； 【分析】（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可． （2）连接，根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可． （3）利用两点间距离公式，计算线段的长度，依此判定三角形全等的方式，利用平行线的性质，直线平行的坐标特点，建立等式，构造方程组确定交点坐标即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入 ， 解得：， ∴， 联立：， 解得， ∴． （2）解：连接，， ∵直线的函数表达式为，分别与轴，轴交于点， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：∵点和点， ∴， ∵点点， ∴， ∴ 当以，，三点构成的三角形与全等时，只有， ∴， ∴， ∴ 设的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴， 由题意得直线， ∴， ∴直线表达式： 联立， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键． 14．(1) (2)点的坐标为或 (3)，，，． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质． （1）确定出点的坐标，代入函数解析式中即可求出； （2）利用三角形的面积求出求出点坐标； （3）设出点，表示出，，计算出，分三种情况讨论计算即可得出点坐标． 【详解】（1）解：， ， 点在直线上， ， ； （2）由（1）知，， 直线解析式为， 点是第一象限内的直线上的一个动点， ， ， 解得或， 故点的坐标为或； （3）轴上存在一点，使等腰三角形；理由如下： 在①的条件下，且点在第一象限， 点的坐标为， 设点， ∴， ， ①当时， ∴， ∴， ∴， ②当时， ∴， ∴舍去)或， ∴， ③当时， ∴， ∴， ∴ 综上所述，满足条件的所有点的坐标为，，，． 15．(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）将，两点代入直线解析式求解即可； （2）①先求出直线的解析式，再设出、两点的坐标，根据列方程求解即可； ②设出、两点的坐标，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：直线经过，两点， ，解得：； （2）解：①由（1）可知，直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 点为线段上一点， 设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为； ②设， 点为直线上一点，， ， ， ， ， ； 点坐标为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$