专题强化练空间几何体的内切球和外接球-2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

专题强化练空间几何体的内切球和外接球 1.(2024江苏南通、扬州、泰州等七市调研)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3,则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　) A.12π　　B.27π　　C. 2.(2023江苏南京师大附中开学考试)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,侧棱AA1⊥底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积为4π,则该三棱柱的侧面积的最大值为(　　) A.6　　D.3 3.(2024江苏南通适应性调研)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别为棱BC,CD,CC1的中点,平面PQR截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得的截面面积为(　　) A.π 4.(2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟)下图是为球形物品设计制作的正四面体、正六面体、正八面体形状包装盒,最少用料分别记为S1、S2、S3,则它们的大小关系为(　　) A.S1<S2<S3　　B.S3<S2<S1 C.S3<S1<S2　　D.S2<S3<S1 5.(2022江苏无锡辅仁高中期末)在《九章算术》中,四个面都为直角三角形的三棱锥被称为鳖臑.已知在鳖臑M-ABC中,MA⊥平面ABC,MA=AB=BC,则该鳖臑的外接球半径和内切球半径的比值为　　　　.  6.(2024江苏宿迁调研测试)在一个轴截面为正三角形的圆锥内放入一个与侧面及底面都相切的实心球后,再在该圆锥内的空隙处放入n个完全相同的小球,这些小球与实心球、圆锥的侧面以及底面都相切,则n的最大值为　　　　.　  7.将半径为r的5个球放入由一个半径不小于3r的球和这个球的内接正四面体A-BCD的四个面分割成的五个空间内,若此正四面体的棱长为2,求r的最大值. 答案与分层梯度式解析 1.D　作出如图所示的正四棱台ABCD-A1B1C1D1,其中OO1为正四棱台的高,EE1为其斜高, 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3, 因为OO1=3=5, 所以半径最大的球不与上、下底面同时相切, 易得EE1==6, 则sin∠OEE1=, 过O,E,E1,O1作正四棱台的截面,则半径最大的球的截面与等腰梯形的两腰和下底相切,如图. 则∠O2EO=, 故该正四棱台内半径最大的球的半径r=. 故选D. 2.B　设三棱柱上底面和下底面的外心分别为O″,O',连接O″O',A1O″,AO',取O″O'的中点O,连接OA,如图所示. 则O为该三棱柱外接球的球心,设AA1=h,AB=a, 过O'作O'E⊥AB,交AB于E,易得E为AB的中点,在Rt△AO'E中,AO'=a, 则该三棱柱外接球的半径R=,又4πR2=4π,所以R=1, 故时取等号, 则该三棱柱的侧面积S=3ah≤3时取等号.故选B. 方法技巧　求多面体的外接球的表面积和体积问题,常用的方法有:(1)三条棱两两互相垂直时,可补形为长方体,利用长方体的体对角线为外接球的直径,求出球的半径;(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上、下底面平行,借助球的对称性,球心为上、下底面外接圆的圆心连线的中点,再根据勾股定理求出球的半径;(3)如果涉及几何体的两个相交面,那么可过两个面相应多边形的外心分别作两个面的垂线,垂线的交点为几何体的球心. 3.A　如图,取正方体的中心O,连接OP,OQ,OR, 由正方体的棱长为2,可得正方体的面对角线长为2, 易知正方体外接球的球心为点O,半径R=, 所以三棱锥O-PQR为正四面体,取△PQR的中心M,连接MO,MQ,如图所示. 则点O到平面PQR的距离为OM的长,△PQR的外接圆半径为MQ, 则2MQ=, 所以OM=, 故正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的球心O到截面PQR的距离为OM=, 所以平面PQR截正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球所得截面圆的半径r=, 则截面圆的面积为πr2=π.故选A. 4.B　由题意知,包装盒的最少用料为球形物品的外切多面体的表面积,下面求正四面体、正六面体、正八面体形状的包装盒的内切球的半径与其表面积的关系. 设球形物品的半径为R,则正六面体,即正方体包装盒的棱长为2R,表面积S2=6×(2R)2=24R2; 设正四面体包装盒ABCD的棱长为a,如图,G为底面△ABC的中心,E为BD的中点, 则正四面体的表面积S1=4×a2, 由正四面体的对称性与球的对称性可知内切球的球心在正四面体的高AG上,设球心为O,则OG=R, 易得等边三角形BCD的高CE=a, 所以V=R, 所以正四面体包装盒的表面积S1=R2. 设正八面体包装盒A'B'C'D'E'F'的棱长为b,如图, 连接A'F',D'B',C'E',可得A'F',D'B',C'E'互相垂直平分,四边形B'C'D'E'为正方形,O'D'=b, 在Rt△A'O'D'中,A'O'=b, 则该正八面体的体积V'=2×b3, 该正八面体的表面积S3=8×b2, 因为b3, 解得b=R, 所以S3=2R2, 所以S3<S2<S1.故选B. 规律总结　解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的思路是确定球心的位置.对于球的外切几何体的问题,要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球的半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径. 5.答案　 解析　由题意得AB⊥BC, 又MA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以MA⊥BC, 同理MA⊥AC,MA⊥AB, 因为MA∩AB=A,MA,AB⊂平面MAB, 所以BC⊥平面MAB, 又MB⊂平面MAB,所以BC⊥MB, 所以MC的长是鳖臑M-ABC外接球的直径, 设MA=a,则AB=BC=a,因此MB=AC=a2, VM-ABC=a3, 设鳖臑M-ABC内切球的半径为r, 则(S△ABC+S△MAB+S△MAC+S△MBC)r=VM-ABC, 所以r=a, 因此鳖臑M-ABC的外接球半径与内切球半径的比值为. 方法技巧　多面体的内切球半径=3V÷S表,即内切球半径=体积的3倍与表面积的比值. 6.答案　10 解析　画出圆锥的轴截面,如图. 设△ABC的边长为2a,实心球的半径为R,由∠OCD=30°得OC=2R, ∴OA=OC=2R, ∴R+2R=AD=a. 设小球的半径为r,同理得O'C=2r,3r=CE=a, ∴r=a, 故O'到直线OA的距离为OO'·sin 60°=a. 在空隙处放入n个小球,相邻排在一起,且彼此相切,则球心在一个半径为a的圆上,如图所示. 设H为相邻两球的切点,M1,M2分别为其球心, 设∠M1MH=θ,则sin θ=, 由三角函数性质可知sin θ<θ<tan θ,∴, ∴π, 又<11, ∴小球个数最多为10,即n的最大值为10. 7.解析　如图1,设△BCD的中心为O1,则其外接球球心O在AO1上,连接OD,O1D. O1D=×sin 60°×4,故r1=1, 根据题意R=3≥3r,r≤r1,所以r≤1. 设OO1与外接球球面相交于点Q,如图2所示,画出截面图,O1Q=R-OO1=2≥2r,故r≤1. 综上所述,r≤1,故r的最大值为1. 　 10 学科网（北京）股份有限公司 $$