第二十八章锐角三角函数习题课件 2024-2025学年人教版数学九年级下册

专题特训　构造三角函数基本图形解实际应用问题 第二十八章　锐角三角函数 类型一　构造形如“ ”的两个直角三角形解决实际问题 1. （2024·大庆）如图，CD是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的 公路l上由北向南行驶，在A处测得桥头C在南偏东30°方向上，继续 行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D在南 偏东45°方向上，求大桥CD的长（结果精确到1米，参考数据： ≈1.73）. （第1题） 1 2 3 4 5 返回目录 解：如图，分别过点C，D作l的垂线，垂足分别为M，N，则易得 CM＝DN，CD＝MN. 设BM＝x米，则AM＝（1500＋x）米.在 Rt△CBM中，∠CBM＝60°，∴ tan∠CBM＝ ＝ .∴ CM＝ BM. ∴ CM＝ x米.在Rt△ACM中，∠A＝30°，∴ tanA＝ ＝ .∴ ＝ ，解得x＝750.经检验，x＝750是原分式方程的 解，且符合题意.∴ BM＝750米，CM＝750 米.∴ DN＝CM＝ 750 米.在Rt△DBN中，∠DBN＝45°， ∴ tan∠DBN＝ ＝1.∴ BN＝DN＝750 米. ∴ MN＝BN－BM＝（750 －750）米， 则CD＝MN＝750 －750≈548（米）. ∴ 大桥CD的长约为548米. 1 2 3 4 5 返回目录 类型二　构造形如“ ”的两个直角三角形解决实际问题 2. （2024·重庆A卷）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向 B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货 轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行 一定距离后到达C港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离后 到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离后到达C港（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45）. （第2题） 1 2 3 4 5 返回目录 （1） 求A，C两港之间的距离. 解： 如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E. 在Rt△ABE中，∠BAE＝ 45°，AB＝40海里，∴ AE＝AB· cos 45°＝20 海里，BE＝ AB· sin 45°＝20 海里.在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，∴ CE＝ BE·tan60°＝20 海里.∴ AC＝AE＋CE＝20 ＋20 ≈77.2（海 里）.∴ A，C两港之间的距离约为77.2海里. 1 2 3 4 5 返回目录 （2） 若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B，D两港的时间相同）， 则哪艘货轮先到达C港？请说明理由. 解： 甲货轮先到达C港.理由：如图，由题意，得∠CDF＝30°， ∠GAD＝60°，DF∥AG，∴ ∠GAD＝∠ADF＝60°.∴ ∠ADC＝ 90°.在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－∠GAD＝30°，∴ CD＝ AC ＝（10 ＋10 ）海里，则AD＝ CD＝（10 ＋30 ）海里. 在Rt△BCE中，∠CBE＝60°，BE＝20 海里，∴ BC＝ ＝ 40 海里.∴ 甲货轮航行的路程＝AB＋BC＝40＋40 ≈96.4（海 里），乙货轮航行的路程＝AD＋CD＝20 ＋40 ≈105.4（海 里）.∵ 96.4＜105.4，∴ 甲货轮先到达C港. 1 2 3 4 5 返回目录 3. （新情境）（2024·甘肃）我国将力争在2030年前实现“碳达峰”、 2060年前实现“碳中和”.甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速.某 学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重 要，它的高度是一个重要的设计参数，于是小组成员开展了“测量风电 塔筒高度”的实践活动.如图，一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪 CD，EF在AH两侧，CD＝EF＝1.6m，点C与点E相距182m（点C， H，E在同一条直线上），在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°，在F 处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度（参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°≈ ）. （第3题） 1 2 3 4 5 返回目录 解：如图，连接DF交AH于点G. 由题意，得CD＝EF＝GH＝ 1.6m，DF＝CE＝182m，DF⊥AH. 设DG＝xm.∴ FG＝（182－ x）m.在Rt△ADG中，∠ADG＝45°，∴ AG＝DG·tan45°＝xm.在 Rt△AFG中，∠AFG＝53°，∴ AG＝FG·tan53°≈ （182－x） m.∴ x＝ （182－x），解得x＝104.∴ AG＝104m.∴ AH＝AG＋ GH＝105.6m.∴ 风电塔筒AH的高度约为105.6m. 1 2 3 4 5 返回目录 类型三　构造形如“ ”的两个直角三角形解决实际问题 4. （2023·张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为旅游新去处. 如图，某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，先将无人机垂直 上升至距水平地面225m的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将 无人机沿水平方向飞行200m到达点Q处，测得奇楼底端B的俯角为 45°，求奇楼AB的高度（结果精确到1m，参考数据： sin 15°≈0.26， cos 15°≈0.97，tan15°≈0.27）. （第4题） 1 2 3 4 5 返回目录 解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°.由题意， 得BC＝225m，PQ＝200m.在Rt△BCQ中，∠BQC＝45°，∴ 易得 CQ＝BC＝225m.∴ PC＝PQ＋CQ＝425m.在Rt△PCA中， tan∠APC＝tan15°＝ ≈0.27，∴ AC＝114.75m.∴ AB＝BC－AC ＝225－114.75＝110.25≈110（m）.∴ 奇楼AB的高度约为110m. 1 2 3 4 5 返回目录 类型四　构造含有多个直角三角形的图形解决实际问题 5. （2023·菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图，某人利 用无人机测量大楼的高BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上 的点A80米，点A处的俯角为60°，楼顶点C处的俯角为30°.已知点A 与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的 高BC（结果保留根号）. （第5题） 1 2 3 4 5 返回目录 解：如图，过点P作 PH⊥AB于点H，过点C作CQ⊥PH于点Q，则 四边形 CQHB是矩形.∴ QH＝BC，BH＝CQ. 由题意，可得AP＝80 米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70米，∴ PH＝AP· sin 60°＝80× ＝40 （米），AH＝AP· cos 60°＝80× ＝40 （米）.∴ CQ＝BH＝AB－AH＝70－40＝30（米）.∴ PQ＝ CQ·tan30°＝30× ＝10 （米）.∴ BC＝QH＝PH－PQ＝40 －10 ＝30 （米）.∴ 大楼的高BC为30 米. 1 2 3 4 5 返回目录 $$28.2　解直角三角形及其应用 第1课时　解直角三角形 第二十八章　锐角三角函数 1. （2024·商洛三模）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，EC＝ 4， sin B＝ ，则菱形ABCD的周长是（　C　） A. 10 B. 20 C. 40 D. 28 （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 2. （2023·渭南一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的 中点，过点D作AB的垂线，交AC于点E，BC＝6， sin A＝ ，则DE 的长为（　C　） A. 4 B. C. D. （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 3. （2023·西安一模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝ 30°，AC＝6，点D在AB上，连接CD. 若tan∠DCB＝ ，则BD的长 为 .　 （第3题） 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 4. 已知tan∠AOB＝ ，点P在边OA上，OP＝5，点M，N在边OB 上，PM＝PN. 如果MN＝2，那么OM的长为 .　 5. （2024·广州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5， cos ∠ABC＝ ，P为边AC上一点，则线段BP长的取值范围是 　 ≤BP≤6　. （第5题） 2或4　 ≤BP≤6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 6. ★如图，在△ABC中，AD是边BC的中线，∠C＞∠B. 若边BC上的 高为h，则下列结论正确的是（　B　） A. h＞AD B. h＞AD· sin B C. h＝AD· cos C D. h（tanB＋tanC）＝BC （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 7. （2024·聊城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中 线，过点A作CD的垂线，分别交BC，CD于点E，F. 若tan∠CAE＝ ，AE＝26，则CD的长为（　D　） A. 39 B. 8 C. 6 D. 19.5 （第7题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 8. （2023·哈尔滨四模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC 的中点，点E在线段AD上，∠DCE＝2∠CAD，tan∠ACE＝ ，AB ＝15，则线段CD的长为 ⁠. （第8题） 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 9. （2023·广元）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1， 0），点B的坐标为（0，－3），点C在x轴上，且点C在点A右方，连 接AB，BC. 若tan∠ABC＝ ，则点C的坐标为 　 　. （第9题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 10. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，DE平分∠ADC，交BC于 点E，AE⊥DE，AB＝4，AE＝3， sin ∠CDE＝ ，则CD＝ ⁠. （第10题） 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 11. （2023·扬州二模）如图，点P在线段BC上，AB⊥BC， DP⊥AP，CD⊥DP. 如果BC＝10，AB＝2，tanC＝ ，那么DP的长 是 ⁠. （第11题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 12. 如图，将含45°角的三角尺放置在一把直尺上，三角尺与直尺下边 沿重合，三角尺的一个顶点A在直尺的0刻度线的正下方，AC与直尺交 于点H，按上述方法将一个37°的∠DAG放置在该直尺上，AD与直尺 交于点B. 若点H对应的直尺上的读数为2.4cm，求点B对应的直尺上的 读数（结果精确到0.1cm，参考数据： sin 37°≈0.602， cos 37°≈0.799，tan37°≈0.754）. （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 解：如图，过点B作BN⊥GA于点N，过点H作HM⊥GA于点M. ∴ ∠AMH＝∠BNA＝90°.在Rt△AMH中，∠AMH＝90°， ∠MAH＝45°，∴ MH＝AM＝2.4cm.∴ 易得BN＝MH＝2.4cm.在 Rt△BAN中，∠BNA＝90°，∠BAN＝37°，∵ tan∠BAN＝ tan37°＝ ≈0.754，∴ AN≈3.2cm.∴ 点B对应的直尺上的读数约 是3.2cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 13. （核心素养·推理能力）在一次数学实践课上，老师出了这样一道 题：如图①，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是 a，b，c，请用a，c，∠B表示b2. （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （1） 甲同学认为：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不 能破坏∠B，因此可以过点A作AD⊥BC于点D（如图②）. 乙同学认为：要想得到b2，便要利用Rt△ABD或Rt△ACD. 丙同学认为：要先求出AD＝ ，BD＝ （用含c， ∠B的三角函数表示）. 丁同学顺着他们的思路，求出b2＝AD2＋DC2＝ ⁠ （其中 sin 2α＋ cos 2α＝1）. c sin B　 c cos B　 a2＋c2－2ac cos B　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 （2） 请利用丁同学的结论解决下面的问题： 如图③，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝60°，AB ＝4，AD＝5.求AC的长. 解：如图③，延长BC，AD交于点E. ∵ ∠B＝90°， ∠BAD＝60°，AB＝4，∴ AE＝ ＝2AB＝8，∠E＝30°. ∵ AD＝5，∴ DE＝AE－AD＝3.∵ ∠ADC＝∠CDE＝90°， ∴ 在Rt△CDE中，CE＝ ＝2 .由（1），知AC2＝CE2＋AE2－2CE·AE· cos E＝12＋64－2×2 ×8× ＝28.∴ AC＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回目录 28.2　解直角三角形及其应用 第2课时　解直角三角形中的视角问题 第二十八章　锐角三角函数 1. （2023·温州二模）如图，在距离地面高m米的A处，用测量仪测得 树的顶端C的仰角为α，测得树的底端D的俯角为45°，则树CD的高为 （　A　） A. （m＋mtanα）米 B. （m＋m cos α）米 C. （m＋m sin α）米 D. 米 （第1题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （2024·深圳）如图，小明用高1.8m的测量仪EF测得某电子厂顶端A 的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶 端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度约为（ 参考数据： sin 53°≈ ， cos 53°≈ ，tan53°≈ ）（　A　） A. 22.7m B. 22.4m C. 21.2m D. 23.0m （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. （2024·泰安模拟）如图，测量员在山坡P处（不计此人身高）测得 对面山顶上的一座铁塔塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°. 已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，点O， B，C，A，P在同一平面内，则山坡的坡角α约为 （参考数 据： sin 26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50， sin 37°≈0.60， tan37°≈0.75）. 26.6°　 （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. （2024·随州三模）如图，两座建筑物在同一水平面上，从点A测得点D的俯角为α，测得点C的俯角为β，则建筑物AB与CD的高度之比为（　C　） C A. B. C. D. （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. （新情境）（2024·济宁二模）重庆李子坝的“轻轨穿梭”是游客们 争相“打卡”的热门景点.如图，斜坡CD底端C距离轻轨所穿楼栋AB 的底端A处30米远，斜坡CD长为42米，∠DCE＝30°，DE⊥CE，为 了方便游客拍照，现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体修建 一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的斜坡DN，∠DNM＝ 135°.小育在N处测得轻轨所穿楼栋AB的顶端B的仰角为30°，点 A，B，C，D，E，M，N在同一平面内，点A，C，E在同一条直线 上，且AB⊥AE，则轻轨所穿楼栋AB的高度约为 米（结果精 确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）. 35.7　 （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. 如图，校园内有一棵枯死的树AB，距树12m处有一栋教学楼CD. 为 了安全，学校决定砍伐该树.站在楼顶D处，测得点B的仰角为45°， 点A的俯角为30°.小青计算后得到下列结论：① AB≈18.8m；② CD≈8.4m；③ 若直接从点A处砍伐，树干倒向教学楼CD方向会对教 学楼造成危害；④ 若第一次在距点A8m处的树干上砍伐，不会对教学 楼CD造成危害.其中，正确的是 （填序号，参考数据： ≈1.7， ≈1.4）. ①③④　 （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. ★（2023·新疆）烽燧即烽火台，是古代的报警系统，史册记载，夜 间举火称“烽”，白天放烟称“燧”.克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北 道上新疆境内时代最早、保存最完好的古代烽燧.某数学兴趣小组利用 无人机测量该烽燧的高度，如图，无人机飞至距地面高度为31.5米的A 处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的 俯角为65°，求烽燧BC的高度（参考数据： sin 50°≈0.8， cos 50°≈0.6，tan50°≈1.2， sin 65°≈0.9， cos 65°≈0.4， tan65°≈2.1）. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 解：如图，过点A作AE⊥AD，交BC的延长线于点E，则易得BE＝ AD＝31.5米，∠AEB＝90°.在Rt△ABE中，BE＝31.5米，∠AEB ＝90°，∠BAE＝65°，tan∠BAE＝ ，∴ AE＝ ≈ ＝15 （米）.在Rt△ACE中，∠CAE＝50°，tan∠CAE＝ ，∴ CE＝ AE·tan∠CAE≈15×1.2＝18（米）.∴ BC＝BE－CE＝31.5－18＝ 13.5（米）.∴ 烽燧BC的高度约为13.5米. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2023·衡阳）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活 中，如代替人们在高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼AB的高度， 借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部24 米 的点C处，遥控无人机悬停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB 的顶部点B处的俯角为30°，CD的长为49.6米.已知圆圆的眼睛距地面 的高度CE为1.6米. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （1） 求教学楼AB的高度. 解： 如图，过点B作BM⊥CD于点M，则易得∠DBM＝∠BDN＝ 30°，BM＝AC，AB＝CM. 在Rt△BDM中，BM＝AC＝24 米， ∠DBM＝30°，∴ DM＝BM·tan∠DBM＝24 × ＝24（米）. ∴ AB＝CM＝CD－DM＝49.6－24＝25.6（米）.∴ 教学楼AB的高 度为25.6米. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （第8题答案） （2） 若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以4 米/秒的速度 继续向前匀速飞行.求多少秒后无人机刚好离开圆圆的视线. 解： 如图，连接EB并延长，交DN于点G，则∠DGE＝∠MBE. 在 Rt△EMB中，BM＝AC＝24 米，EM＝CM－CE＝24米， ∴ tan∠MBE＝ ＝ ＝ .∴ ∠MBE＝30°＝∠DGE. ∵ ∠EDG＝90°，∴ ∠DEG＝90°－30°＝60°.在Rt△EDG中，ED ＝CD－CE＝48米，∴ DG＝ED·tan60°＝48 米.∵ 48 ÷4 ＝ 12（秒），∴ 12秒后无人机刚好离开圆圆的视线. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 28 28.2　解直角三角形及其应用 第3课时　解直角三角形中的方位角、坡角问题 第二十八章　锐角三角函数 1. 当一个长方体木箱沿斜面滑至如图所示的位置时，AB＝2m，木箱高 BE＝1m，斜面坡角为α，木箱端点E距地面AC的高度为（　C　） A. m B. （2 cos α＋ sin α）m C. （ cos α＋2 sin α）m D. （tanα＋2 sin α）m （第1题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （2024·金华模拟）如图，有A，B，C三艘军舰，B舰在A舰正东方 向6海里处，C舰在A舰北偏西30°方向4海里处.某日8：00，A，B， C三艘军舰同时收到渔船P发出的同一求救信号，信号的传播速度相 同，则A舰与渔船P相距（　C　） A. 4海里 B. 6海里 C. 海里 D. 海里 （第2题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. （2023·武汉二模）如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距 离为100海里，轮船B向正北方向航行40海里到达C处时，接到D处一 艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D处，解救渔船 后轮船沿南偏西32°方向返回到码头A，则码头A与D处的距离约 为 海里（结果保留整数，参考数据： sin 32°≈0.5， cos 32°≈0.8，tan32°≈0.6）. 105　 （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. 如图所示为某滑雪场的一段赛道的平面示意图，AB段为助滑坡，长 为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡 DE. 已知着陆坡DE的坡度i＝1∶2.4，DE的长为19.5米，点B，D之 间的垂直距离h为5.5米，则某人从点A出发到点E处下降的垂直距离约 为（结果精确到0.1米，参考数据： sin 16°≈0.28， cos 16°≈0.96， tan16°≈0.29）（　C　） C A. 15.9米 B. 16.0米 C. 16.4米 D. 24.5米 （第4题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. 如图所示为一张简易的海域安全监测平面图，图中已标明三个监测 点的位置，其坐标分别为O（0，0），A（0，10），B（20，0），由 这三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域.某天在监测点A处测得 可疑船只C位于南偏东45°方向，同时在监测点O处测得可疑船只C位 于南偏东60°方向，当可疑船只C继续向正北方向航行时， ⁠闯 入安全警戒区域（填“会”或“不会”）. 不会　 （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. ★（易错易混题）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是 一块平地BC. 已知BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB的长为26m，斜坡 AB的坡度为12∶5.为了减缓坡度，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡 进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡. 如果改造时保持坡脚A不动，那么坡顶点B沿BC至少向右移 m， 才能确保山体不滑坡（参考数据：tan50°≈1.2）. 10　 （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. （2023·随州）如图，某校学生开展“测量某建筑物高度AB”的综合 实践活动.该建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10m，坡角α＝30°，小 华在点C处测得建筑物的顶端点A的仰角为60°，在点D处测得建筑物 的顶端点A的仰角为30°（已知点A，B，C，D在同一平面内，点 B，C在同一水平线上）.求： （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （1） 点D到地面BC的距离. 解： 如图，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E. ∴ ∠DEC＝90°.∵ α＝30°，CD＝10m， ∴ CE＝CD· cos α＝5 m.∴ DE＝ ＝5m. ∴ 点D到地面BC的距离为5m. （第7题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 该建筑物的高度AB. 解： 如图，过点D作DF⊥AB于点F，则BF＝DE＝5m.设BC＝ xm，则BE＝DF＝（5 ＋x）m.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60° ＝ xm，∴ AF＝AB－BF＝（ x－5）m.在Rt△ADF中， tan30°＝ ，∴ ＝ ，解得x＝5 .经检验，x＝5 是原分 式方程的解，且符合题意.∴ AB＝ ×5 ＝15（m）.∴ 该建筑物 的高度AB为15m. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. （2023·广安）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角 形花园ABC边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行 步道.如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向， 点B，D都在点C的正北方向，BD的长为100米，点B在点A的北偏东 30°方向，点D在点E的北偏东58°方向（参考数据： sin 58°≈0.85， cos 58°≈0.53，tan58°≈1.60， ≈1.73）. （第8题） 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （1） 求人行步道DE的长度. 解： 如图，过点D作DF⊥AE，交AE的延长线于点F，则易得四边 形ACDF是矩形.∴ DF＝AC＝170米.在Rt△EFD中，∠DEF＝ 58°，∴ DE＝ ≈ ＝200（米）.∴ 人行步道DE的长度约为 200米. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 点D处有一家商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可 以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条 路较近. 解： 在Rt△EFD中，∠DEF＝58°，DF＝170米， ∴ EF＝ ≈ ＝106.25（米）.在Rt△ABC中， ∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝170米， ∴ BC＝AC·tan60°＝170 米，AB＝ ＝ ＝340（米）. ∵ BD＝100米，∴ CD＝BC＋BD＝（170 ＋100）米. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 ∵ 四边形ACDF是矩形，∴ AF＝DC＝（170 ＋100）米.∴ AE＝ AF－EF＝170 ＋100－106.25≈287.85（米）.∴ 某人从点A出发， 经点B到达点D的路程＝AB＋BD＝340＋100＝440（米），某人从点 A出发，经点E到达点D的路程＝AE＋DE＝287.85＋200＝487.85 （米）.∵ 440＜487.85，∴ 他走从点A出发，经点B到达点D的这条 路较近. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 $$第二十八章复习 第二十八章　锐角三角函数 返回目录 返回目录 考点一 网格背景下的锐角三角函数 典例1　如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A，B， C，D都是格点，且AB与CD相交于点P，则 sin ∠APD的值为 ⁠. 　 （典例1图） 返回目录 跟踪训练 1. （2023·溧阳一模）如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长 度，△ABC在网格内，且A，B，C都是格点，D为BC的中点，连接 AD，则 cos ∠BAD的值为 ⁠. （第1题） 　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 考点二 解直角三角形及综合 典例2　如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角.若∠B＝α，∠C＝ β，则下列结论正确的是（　C　） （典例2图） C A. AB· cos β＝AC· cos α B. AB· sin α＝AC· cos β C. AB· sin α＝AC· sin β D. AB· sin β＝AC· sin α 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 跟踪训练 2. （2024·瑞安二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边 为边向外作正方形，记△ABC的面积为S1，三个正方形的面积和为S2， 过点C作CM⊥FG于点M，连接CG交AB于点N，设∠ABC＝α， ∠MCG＝β.若 ＝tanα·tanβ，则 等于（　D　） A. B. C. D. （第2题） D 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 考点三 解直角三角形的实际应用 典例3　（2023·成都）某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷 （如图①），便于社区居民休憩.如图②，在侧面示意图中，遮阳篷AB 的长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端与地面的高BC为4米， 当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长（参考数 据： sin 16°≈0.28， cos 16°≈0.96，tan16°≈0.29）. （典例3图） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 解：如图②，过点A分别作AT⊥BC于点T，AK⊥CE于点K. 在Rt△ABT中，BT＝AB· sin ∠BAT＝5× sin 16°≈1.4（米）， AT＝AB· cos ∠BAT＝5× cos 16°≈4.8（米）. ∵ ∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴ 四边形ATCK是矩形. ∴ CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6（米）. 在Rt△AKD中，∵ ∠ADK＝45°，∴ 易得DK＝AK＝2.6米. ∴ CD＝CK－DK＝4.8－2.6＝2.2（米）. ∴ 阴影CD的长约为2.2米. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 跟踪训练 3. （2024·资阳）如图，某海域内灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向， 且灯塔A，B相距 海里.一艘渔船在C处测得其在灯塔A的北偏东 30°方向、灯塔B的正北方向.该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一 段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号.此时，在灯塔B处 的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/时的速度沿BD 方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间（点A，B，C，D在同一 水平面内，参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）. （第3题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 解：由题意，得∠ACB＝∠ABC＝30°.∴ AB＝AC＝ 海里.如 图，过点A作AH⊥BC于点H. ∴ ∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝ BH. ∴ CH＝BH＝ AB＝8海里.∴ BC＝16海里.过点D作 DG⊥BC，交BC的延长线于点G.设DG＝x海里.在Rt△BDG中，BG＝ ≈ ＝2DG，在Rt△CDG中，CG＝ ≈ .∵ BC＝BG－CG，∴ 2x－ ＝16.∴ x＝10.5，即DG＝10.5海里.∴ CG＝5海里，BG＝21海里.∴ BD＝ ＝ 海里.∴ 渔政船的航行时间约为 ÷18＝ （小时）. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 1. 如图，在四边形ABCD中， cos B＝ ，直线EF分别交AB，BC于 点E，F，则∠AEF＋∠EFC的度数为（　B　） A. 135° B. 225° C. 265° D. 280° （第1题） B 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 2. （2024·杭州二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，点 D，E在边AB上，点F，G分别在边BC和AC上.若四边形DEFG为正 方形，则 等于（　A　） A. B. C. D. （第2题） A 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 3. （2024·成都模拟）如图，△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等 腰三角形，底边BC，CE，EG在同一条直线上，连接AG，与边DC， DE，FE分别交于点P，Q，N. 若△DPQ是以∠DPQ为直角的直角三 角形，则 sin ∠BAC＝ ⁠. （第3题） 　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 4. 已知点A（－2，0），B（6，0），C（0，m），以BC为斜边按如 图所示的方式作Rt△PBC（B，P，C三点按顺时针方向排列），使 ∠BPC＝90°，tan∠BCP＝2，连接AP. 当线段AP的长最小时，点P 的坐标为 ，此时m＝ ⁠. （第4题） 　 4　 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 5. 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：如图 ①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α， sin α＝ ， cos α＝ ， tanα＝ .一般地，当α，β为任意角时， sin （α＋β）与 sin （α－β）的 值可以用下面的公式求得： sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β； sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β.例如： sin 15°＝ sin （45°－ 30°）＝ sin 45° cos 30°－ cos 45° sin 30°＝ . （第5题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 计算： sin 75°＝ ⁠. （2） 如图②，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝45°，AC＝2 － 2，求AB和BC的长. 　 解：如图②，过点A作AD⊥BC于点D，在BC上找点E，使BE＝AE，连接AE. ∵ ∠C＝45°，AC＝2 －2，∴ ∠DAC＝45°.∴ AD＝CD， sin C＝ ，即 ＝ .∴ AD＝ － .∴ CD＝ － .∵ ∠B＝15°， sin B ＝ ，∴ ＝ .∴ AB＝4.∵ BE＝AE，∴ ∠B＝∠EAB＝15°. ∴ ∠AED＝30°.∴ BE＝AE＝2AD＝2 －2 .∵ tan∠AED＝ ， ∴ ＝ .∴ ED＝3 － . ∴ BC＝BE＋ED＋CD＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 6. （2024·黄山二模）如图，现有一张宽为12cm的练习纸（不完整）， 相邻两条格线间的距离均为0.8cm.小聪在练习纸的左上角用印章印出一 个矩形图案，图案的顶点恰好在四条格线上，测得∠α＝32°（参考数 据： sin 32°≈0.5， cos 32°≈0.8，tan32°≈0.6）. （第6题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （1） 求矩形图案的面积. 解： 如图，在Rt△BCE中，∵ sin α＝ ，∴ BC＝ ≈ ＝1.6 （cm）.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠BCD＝90°，AD＝BC＝ 1.6cm.∴ ∠BCE＋∠FCD＝90°.又∵ 在Rt△BCE中，∠EBC＋ ∠BCE＝90°，∴ ∠FCD＝32°.在Rt△FCD中，∵ cos ∠FCD＝ ，∴ CD＝ ≈ ＝2（cm）.∴ 矩形图案的面积＝2×1.6＝ 3.2（cm2）. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 19 （2） 若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），则 最多能印几个完整的图案？ 解： 如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝32°.∵ cos ∠DAH＝ ，∴ AH＝ ≈ ＝2（cm）.在Rt△CGH中，∠GCH＝ 32°，tan∠GCH＝ ，∴ GH＝CG·tan32°≈0.8×0.6＝0.48 （cm）.又∵ 6×2＋0.48＝12.48（cm），12.48＞12，5×2＋0.48＝ 10.48（cm），10.48＜12，∴ 最多能印5个完整的图案. 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 7. （核心素养·模型建构）（1） 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐 角，且tanα＝ ，求 sin 2α的值.下面是小娟的解法：如图①，在☉O 中，AB是直径，点C在☉O上，∠BAC＝α，∴ ∠ACB＝90°，tanα ＝ ＝ ，∠BOC＝2α.设BC＝x，则AC＝3x.∴ AB＝ x.过点C作CD⊥AB于点D，求出CD＝ 　 x　（用含x的式子表示），可求得 sin 2α＝ ＝  　 　. x　 　 （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 （2） 如图②，M，N，P为☉O上的三点，且∠P＝β，tanβ＝ ，求 sin 2β的值. （第7题） 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 解：如图②，连接NO并延长，交☉O于点Q，连接MQ，MO，过点M作MH⊥NO于点H. 在☉O中，∠NMQ＝90°.∵ ∠Q＝∠P＝β， ∴ ∠MON＝2∠Q＝2β.∵ tanβ＝ ＝ ，∴ 设MN＝k，则MQ ＝2k.∴ NQ＝ ＝ k.∴ OM＝ NQ＝ k.∵ S△NMQ＝ MN·MQ＝ NQ·MH，∴ k·2k＝ k·MH. ∴ MH＝ k.在Rt△MHO中， sin 2β＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 返回目录 $$28.1　锐角三角函数 第1课时　正　弦 第二十八章　锐角三角函数 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°.若△ABC的三边长都扩大为原来的2倍， 则 sin A的值（　C　） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 不变 D. 扩大为原来的4倍 C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 2. （2023·晋江期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，BC＝ 6，则AC的长为（　B　） A. 10 B. 8 C. 5 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列线 段的比值中，与 sin A的值相等的是（　D　） A. B. C. D. （第3题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 4. （2024·济宁三模）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A， B，O都在格点上，则 sin ∠AOB的值为 ⁠. （第4题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 5. ★若一个直角三角形的两边长分别为6和8，则该三角形中较小锐角的 正弦值为（　C　） A. B. C. 或 D. 或 C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 6. （2023·包头一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足 分别为D，E，连接DE. 若 ＝ ，则 sin A的值为（　B　） A. B. C. D. （第6题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 7. 如图，点A在半径为2的☉O内，OA＝1，P为☉O上一动点.当 ∠OPA的度数最大时，PA的长为 ⁠. （第7题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 8. 根据图中数据完成填空，再按要求答题： （第8题） （1） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C的对边分别是a，b，c， sin 2A＋ sin 2B＝ .证明你的猜想. 解： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵ sin A＝ ， sin B＝ ， ∴ sin 2A＋ sin 2B＝ .∵ ∠C＝90°，∴ a2＋b2＝c2. ∴ sin 2A＋ sin 2B＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 （2） 已知∠A＋∠B＝90°，且 sin A＝ ，求 sin B的值. 解： ∵ ∠A＋∠B＝90°，∴ ∠C＝90°.由（1），得 sin 2A＋ sin 2B＝1.∵ sin A＝ ，∴ sin B＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 返回目录 28.1　锐角三角函数 第2课时　余弦、正切 第二十八章　锐角三角函数 1. 如图，6个大小相同的小正方形恰好放置在△ABC中，则tanB的值为 （　D　） A. 1 B. C. D. （第1题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. （2024·宜兴一模）在△ABC中，∠C＝90°.若tanA＝ ，则 cos B 的值为（　D　） A. B. C. D. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. （2024·杭州模拟）如图，在半径为5的☉O中，弦AB，AC在圆心O 的同侧，AB＝8，AC＝6，则下列关于tan∠BAC的取值范围，正确的 是（　C　） A. 0.225＜tan∠BAC＜0.25 B. 0.25＜tan∠BAC＜0.275 C. 0.275＜tan∠BAC＜0.30 D. 0.30＜tan∠BAC＜0.325 （第3题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 如图，在锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC 于D，E两点，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶2，则 cos ∠BAC的值是 ⁠. （第4题） 　 5. 一个圆锥的侧面积是底面积的 倍，则这个圆锥的高与母线夹角的 余弦值是 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 6. ★（易错易混题）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的 对边长，且a∶b∶c＝1∶ ∶ ，则 cos B的值为（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. （2024·宁波模拟）在△ABC中，∠C＝90°，设q＝ sin A＋ cos A， 则q的取值范围是（　D　） A. q＜1 B. q≤1 C. q＝1 D. q＞1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. （2023·天津一模）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B， C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则 cos ∠AOD的值为（　D　） A. B. C. D. （第8题） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. （2023·南阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ ， D是AC上一点，连接BD. 若tanA＝ ，tan∠ABD＝ ，则BD的长为 （　B　） A. 2 B. C. 3 D. 2 （第9题） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 如图，☉O的直径AB经过弦CD的中点H. 若 cos ∠CDB＝ ，BD ＝5，则☉O的半径为 ⁠. （第10题） 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，那么我们把这样的 三角形称为“倍边三角形”.如果一个直角三角形是“倍边三角形”， 那么这个直角三角形中较小锐角的正切值为 ⁠. 12. 如图所示为由10个完全相同的等边三角形构成的网格图，则 cos （α ＋β）＝ ⁠. 或 　 　 （第12题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. （2024·南京模拟）有一张正方形纸片，边长为8，面积是64.把这张 纸片按图①所示的方式剪成四块，其中两块是三角形，另外两块是梯 形.把剪出的四块按图②所示的方式重新拼接，这样就得到了一个13×5 的矩形，面积是65，面积多了1.这是为什么？ （第13题） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 解：依题意，得拼接的四边形ABCD为矩形，∴ AB＝CD＝5，BC＝ AD＝CF＋BF＝8＋5＝13.∴ 在Rt△CEF中，tan∠CEF＝ ＝ ； 在Rt△CAB中，tan∠EAB＝ ＝ .∵ tan∠CEF＞tan∠EAB， ∴ ∠CEF＞∠EAB. ∵ EF∥AB，∴ ∠EAB＋∠AEF＝180°. ∴ ∠CEF＋∠AEF＞180°.∴ A，E，C三点不共线.同理，可得A， G，C三点不共线.∴ 拼接的矩形内部有空隙，故面积多了1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. （2023·海阳期中）如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝ 90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F. 若AE平分 ∠BAC，BE＝5， cos ∠BEF＝ ，求AD的长. （第14题） 解：∵ EF⊥AB，∴ ∠BFE＝90°. ∵ cos ∠BEF＝ ＝ ，BE＝5， ∴ EF＝3.∵ AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，∴ EC＝ EF＝3.∵ ∠ACB＝∠CAD＝90°，∴ AD∥BC. ∵ AE∥DC，∴ 四 边形AECD是平行四边形.∴ AD＝EC＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 如图，B，C是线段AD的三等分点，以BC长为直径作☉O，P是 圆上异于点B，C的任意一点，连接PA，PB，PC，PD. （第15题） （1） 当PB＝ PC时，求tan∠APB的值. 解： 如图，过点A作AE∥PC，与PB的延长线交于点E. ∵ BC是☉O的直径，∴ ∠BPC＝90°.∵ AE∥PC，∴ ∠AEP＝90°. ∵ 易知AB＝BC，∠ABE＝∠CBP，∴ △ABE≌△CBP. ∴ BE＝BP，AE＝CP. ∵ PB＝ PC，∴ 易得AE＝PE. ∴ tan∠APB＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 求tan∠APB·tan∠DPC的值. 解： 由（1），可得△ABE≌△CBP. ∴ BE＝BP，AE＝CP. ∴ tan∠APB＝ ＝ .如图，过点D作DF∥PB，与PC的延长线交 于点F. 同理，可证△PBC≌△FDC，∴ PB＝FD，PC＝FC. ∴ tan∠DPC＝ ＝ .∴ tan∠APB·tan∠DPC＝ · ＝ . （第15题答案） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 28.1　锐角三角函数 第3课时　特殊角的三角函数值 第二十八章　锐角三角函数 1. 已知 cos α＝ ，则锐角α的取值范围是（　B　） A. 0°＜α＜30° B. 30°＜α＜45° C. 45°＜α＜60° D. 60°＜α＜90° 2. （2024·商丘模拟）在△ABC中，若 sin A－ ＋2＝0，则 ∠C的度数是（　A　） A. 120° B. 105° C. 75° D. 45° B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 3. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对 边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则 sin A＋ cos A的值为（　B　） A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，给出下列结论：① sin A＝ ；② cos B＝ ；③ tanA＝ ；④ tanB＝ .其中，正确的是 ⁠ （填序号）. 5. ★已知α为锐角， sin （α＋15°）＝ ，计算 －4 cos α＋tanα＋ 的值. 解：∵ sin （α＋15°）＝ ， sin 60°＝ ，∴ α＋15°＝60°.∴ α ＝45°.∴ －4 cos α＋tanα＋ ＝2 －4× ＋1＋3＝4. ②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 6. 如图，在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边.若 ∠B＝60°，则 ＋ 的值为（　C　） A. B. C. 1 D. （第6题） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 7. 若锐角x满足tan2x－（ ＋1）tanx＋ ＝0，则x＝ ⁠⁠. 8. （2023·陕西模拟）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ADC＝ 45°，AD恰好是中线，则∠ACB的度数为 ⁠. （第8题） 45°或60° 105°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 9. 在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA， cos B恰为 一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根.求m的值并判断△ABC 的形状. 解：∵ ∠A＝60°，∴ tanA＝ .把x＝ 代入2x2－3mx＋3＝0， 得2×（ ）2－3 m＋3＝0，解得m＝ .把m＝ 代入2x2－ 3mx＋3＝0，得2x2－3 x＋3＝0，解得x1＝ ，x2＝ .∴ cos B＝ ，即∠B＝30°.∴ ∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，即△ABC是直 角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回目录 $$