2025年 九年级数学中考二轮复习 相似三角形综合压轴题 专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．如图，在四边形中，平分，且，点E是的中点，连接交于点F． （1）求证：； （2）当时，求； （3）是否存在点F，使F是的三等点？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由； （4）求的最大值． 2．已知，如图1，将△AED绕点E旋转180°得到△BEF，延长FB到点C，使得BC＝FB，连接DC． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G与点B、C不重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK//HC，交DF于点K． ①求证：HC＝2AK； ②当点G是BC边中点时，恰有HD＝n•HK（n为正整数），求n的值． 3．（1）和是两个等腰直角三角形，如图1，其中，连接、，求证：≌． （2）和是两个含30°的直角三角形，中， ，，从边与重合开始绕点逆时针旋转一定角度． ①如图2，与交于点，交于，连接，若四边形为平行四边形，求的值． ②若，当点落在上时，求的长． 4．如图，在中，，是中线，，一个以点为顶点的45°角绕点旋转，使角的两边分别与、的延长线相交，交点分别为点，，与交于点，与交于点． （1）如图，若，求证：． （2）如图，在绕点旋转的过程中： ①探究三条线段，，之间的数量关系，并说明理由． ②若，，求的长． 5．如图，已知抛物线与轴相交于，，与轴相交于点，直线，垂足为． （1）求该抛物线的表达式： （2）若直线与该抛物线的另一个交点为，求点的坐标； （3）设动点在该抛物线上，当时，求的值． 6．如图，已知正方形，点E在的延长线上，连结交对角线于点G，交于点F． （1）若，求的值； （2）求证：； （3）若，求n关于m的关系式． 7．（1）观察猜想： 如图1，在中，，点D，E分别在边，上，，，将绕点A逆时针旋转到如图2所示的位置，连接，交于点G，连接交于点F，则值为______，的度数为_____． （2）类比探究： 如图3，当，时，请求出的值及的度数． （3）拓展应用： 如图4，在四边形中，，，．若，，请直接写出A，D两点之间的距离． 8．如图1，在四边形中，，以为边构造矩形，点E，F分别落在、上．动点P在上从点F向终点A匀速运动，同时，动点Q在射线上从点A向点D方向匀速运动，点P到达终点时，P，Q同时停止运动．设，的面积为S，则．当时，点Q恰好运动至E点． （1）求证：； （2）求和的长； （3）如图2，，点H为的中点，点G在上，且，连结、，当与四边形的一边平行时，求的长． 9．如图，在中，，点为的中点，为上一点． （1）若，点为上一点． ①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）； ②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由； （2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______． 10．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为线段AB上一动点（点D不与A、B重合），连接CD，分别以AC，DC为斜边向右侧作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形DCF，连接EF． （1）当点F在△ABC的外部时，求证：△ACD∽△ECF； （2）如图1，当D，F，E三点共线时，求△ECF的面积； （3）如图2，当点D在BA的延长线上时，其它条件不变，连接DE，若DEAC，求AD的长． 11．如图1，在中，． （1）求边的长． （2）边的中点，过点作交边于点，将绕点顺时针旋转，得到对应的三角形，连接与交于． ①求证：． ②当时，求的长； ③在旋转的过程中，的面积是否存在最大值．若存在，请直接写出最大面积，若不存在，请说明理由． 12．如图，在矩形中，，点是边的中点，和的延长线交于点，点是边上的一点，且满足，连接，，且与交于点． （1）若，求的面积 （2）当是直角三角形时，求所有满足要求的值． （3）记，， ①求关于的函数关系． ②当时，求的值． 13．已知和有公共顶点，，连接，取的中点M并连接． （1）如图1，若点D位于线段上，则_________．（直接写出答案） （2）如图2，若点D位于线段上， ①不添加其它字母和连线，直接写出图中除外的另一组相似三角形； ②猜想与的位置关系，并证明你的结论； （3）当点D运动到图3所示位置时，线段之间的数量关系和位置关系是否发生变化？并证明你的结论． 14．如图（1），点是菱形对角线上的一点，连接，以为腰在的右侧作等腰三角形，且使，． （1）当点在菱形内，时，__________； （2）如图（2），当点在菱形内，，其他条件不变时，求值； （3）如图（3），当点在菱形外，，，菱形的面积为，其他条件不变，请直接写出的面积． 15．如图，已知和均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起． （1）问题发现： 如图①，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则＝　 　°，线段BD、CE之间的数量关系是　 　； （2）拓展探究： 如图②，当时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，请判断的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题： 如图③，，，AE＝2，连接CE、BD，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出EC的长． 16．如图，设抛物线与的交点为，点的坐标是，点的横坐标是． （1）求的值及点的坐标； （2）点在线段上，过作轴的垂线，垂足为点，在的右侧作正三角形．记过顶点的直线为．且与轴交于点． ①若过的顶点，点的坐标为，求点的横坐标； ②若与的边相交，求点的横坐标的取值范围． 17．观察发现，如图1、图2，已知在和中，，，将固定，绕点旋转． （1）如图1，若和是等腰直角三角形，，，，直接判断与之间的数量关系是______；其中的最大值为______． （2）如图2，若和是直角三角形，，，判断与之间的数量关系，说明理由，并求出的最大值． （3）如图3，已知在中，，，以为直角边向外作等腰，连接，求出的最大值． 18．如图1，现有矩形纸片，，．连接，将矩形沿剪开，得到和．保持位置不变，将从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为．在旋转过程中，连接，． （1）如图2，将图1中的旋转到点C落在边上时，边与边交于点F，则的长为______； （2）如图3，将图1中的旋转到当点E落在延长线上时，求此时的值； （3）如图4，继续旋转图3中的，当时停止旋转，求此时的度数及的面积； （4）将图4中的继续旋转，则在某一时刻和还能相等吗？如果不能，请说明理由，如果能，无需说明理由，请直接写出此时的面积的值． 19．在中，，点是斜边上的一点，连接，点是上一点，过点分别作，，交于点、． （1）如图1，若点为斜边的中点，求证：点是线段的中点． （2）如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转任意一个角度，连接，，请写出线段和线段的数量关系，并说明理由． （3）如图3，若点是斜边的三等分点，且靠近点，当时，将绕点顺时针旋转任意一个角度，连接、、，请求出的值． 20．发现规律： （1）如图①，与都是等边三角形，直线交于点．直线，交于点．求的度数 （2）已知：与的位置如图②所示，直线交于点．直线，交于点．若，，求的度数 应用结论： （3）如图③，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，为轴上一动点，连接．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，求线段长度的最小值 参考答案 1．解：（1）证明：平分， ， 又， ， ， ； （2）如图1，连接， ，为的中点， ， 点是的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ∵∠1=30° 设，则， 由勾股定理得，， ，， ， ； （3）①当时， 则，即， ， 不可能； ②当时； 如图1所示， 由（2）得， ， ， 设，则，， ， ， ， ，， ； （4）如图2，连接，过点作， 平分，，， ， 当与重合时，最大，也就是最大， 即的最大值为的长度． ， 又， ， 的最大值为． 2．解：（1）证明：如图1中， ∵△AED绕点E旋转180°得到△BEF， ∴∠ADE＝∠F，AD＝BF， ∴AD//CF， ∵BC＝FB， ∴AD＝BC， ∵AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）①证明：∵BC＝FB， ∴FC＝2BF， ∵BF＝AD， ∴FC＝2AD， ∵AK//CH， ∴∠AKF＝∠CHD， ∴∠AKD＝∠CHF， ∵∠ADK＝∠F， ∴△AKD∽△CHF， ∴， ∴CH＝2AK． ②如图2中，过点G作GM//DF交HC于M． ∵G是BC的中点，且FC＝2BF， ∴CG＝CF， ∵GM//DF， ∴△CMG∽△CHF， ∴＝，即GM＝FH， ∵AD//FC， ∴△AHD∽△GHF， ∴＝，即DH＝FH， ∴，即DH＝GM， ∵AK//HC，GM//DF， ∴∠HAK＝∠GHM，∠AHK＝∠HGM， ∴△AHK∽△HGM， ∴＝，即HK＝GM， ∴＝，即HD＝4HK， ∴n＝4． 3．解：（1）∵和是两个等腰直角三角形， ∴，，， ∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB， ∴， 在和中，， ∴≌（SAS）． （2）①连接，如图所示， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵，∴， ∴∽，∴， ∴， ∴为直角三角形， 设，∴，∴， 过点作于，， 则， 又∵，∴， 又在中，， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 即， ∴， 解得， 即 ， 故的长为. 4．（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴． （2）①解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ②解：如图，过作于，于， 则，， 当，时， 由得， ∴在中，， 同理， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．解：（1）∵抛物线经过和， ∴，∴，， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，过点作轴于点，而，轴． ∴，则， ∵，，设， ∴，， 又， ∴，即，，（舍去）， 从而， ∴点的坐标为． （3）①如图，当点在轴上方时，设直线与交于点， ∵，，∴是等腰直角三角形，，作轴于点，则，∴，，， ∴，，， ∴点的坐标为， ∴直线的表达式为， 又∵ ∴，解得，（舍去）； ②如图，当点在轴下方时，设直线与交于点，作轴于点，则，同理可得：点的坐标为，∴直线的表达式为， 又，，解得，（舍去）； 综上所述，的值为或-5． 6．解：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB∥DE，AD∥BC，AB=AD=BC=DC， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， ∴， ∴； （3）∵AD∥BC， ∴△ADG∽△FBG， ∴， ∵AB∥DE， ∴△ABG∽△EDG， ∴， 又∵，即， ∴， ∵，CF∥AD， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 则AG=AE-GE=nGF-GE， 则GE=nGF-AG， 由（2）可知：， ∴， ∴nGF-AG=， 令， 则nGF-AG=x·GA， 变形得：， ∴， 则， ∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴，又∵BC=AD， ∴， ∴， 又∵， ∴x=m+1， ∵， ∴=， ∴m与n的关系为． 7．解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE， ∴∆ABC和∆ADE为等腰直角三角形， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=45°， 故答案是：，45°； （2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°， ∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC， ∴， ∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， ∴∆BAD~∆CAE， ∴，∠ABD=∠ACE， 又∵∠AGB=∠FGC， ∴∠BFC=∠BAC=30°； （3）以AD为斜边，在AD的右侧作等腰直角三角形ADM，连接CM，如图， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∆ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠DAM=45°，， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC，即∠BAD=∠CAM， ∴∆BAD~∆CAM， ∴∠ABD=∠ACM，， 又∵BD=6， ∴CM==3， ∵四边形ABDC的内角和为360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90° ∴∠ABD+∠BCD=180°， ∴∠ACM+∠BCD=180°， ∴∠DCM=90°， ∴DM=， ∴AD=DM=2， 即A，D两点之间的距离是2． 8．（1）证明：∵∠DEC+∠AEF=90°，∠A+∠AEF=90°， ∴∠DEC=∠A， ∵∠EFA=∠EDC=90°， ∴； （2）∵， 当x=4时，S=0，此时，点P到达终点A， ∴PF=2x=8，即：AF=8， ∵当时，点Q恰好运动至E点， ∴此时，PF=4，AP=4， ∴S=AP∙EF=2 EF=， ∴EF=6， 综上所述：AF=8，EF=6； （3）∵AF=8，EF=6， ∴AE=10， ∵，当时，点Q恰好运动至E点， ∴， ∴AQ=， ①当PQ∥EG时， 则，即，解得：， ∴=； ②当PQ∥DH时， 延长DH交AB的延长线于点M，过点D作DN⊥AB于点N， ∵， ∴CD=3， ∵， ∴，即：，解得：ED=4，CE=5， ∴AD=10+4=14， ∵， ∴DN=，AN=， ∴BN=AF+BF-AN=8+5-=， ∵点H为的中点， ∴BH=3， ∵， ∴BM=1， ∵，即：，解得：x=， ∴=； ③当PQ∥GH时， 延长GH交AB于点K，并反向延长交CE的延长线于点L，交AD于点O， ∵， ∴FG=4， ∵，即， ∴BK=15， ∵BH=CH，∠CHL=∠BHK，∠HCL=∠HBK=90°， ∴∆CHL≅∆BHK， ∴CL= BK=15， ∴EL=15-5=10， ∵， ∴ ，解得：OE=， ∴AO=10-=， ∵PQ∥GH， ∴，即：，解得：x=， ∴=； ④PQ不可能平行AD； 综上所述：=或或． 9．解：（1）①连结AD， ∵AC=BC，点为的中点， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∵， ∴∠C=∠B=， ∴AC=2AD， ∵， ∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-60°=30°， AE=， ∴CE=AC-AE=2AD-=， ∴， 故答案为：； ②结论是：， 连接，在上取点，使，连接， ∵点为的中点，，AB=AC， ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=60°， ∴为等边三角形， ， 又， ∴∠ADE+∠EDG=∠EDG+∠GDF=60°， ， 在△ADE和△GDF中， ， ， ， ∴， ，AD=， ∴AE=GF=GB+BF， ∴AE-BF=GB=DG=AD=， ∴， （2）过G作GH⊥BA交BA延长线于H， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠GAH=∠GAE， ∵于点的延长线交于点． ∠GEA=90°=∠GHA， 在△GHA和△GEA中， ， ， ∴GH=GE， 又∵∠H=∠AEB，∠HBG=∠EBA， ∴△GHB∽△AEB， ∴， ∴， ∵， 设GE=4x，BE=5x，GH=GE=4x，BG=BE+GE=9x， ∴， 故答案为：． 10．（1）证明：∵△AEC和△DFC是等腰直角三角形， ∴∠DFC=∠AEC=90°，∠DCF=∠ACE＝45°， ∴∠DCF-∠ACF=∠ACE-∠ACF，即∠ACD＝∠ECF， 在Rt△AEC中，cos∠ACE=， 在Rt△DFC中, cos∠DCF=， ∴， ∴△ACD∽△ECF； （2）解：∵D，F，E三点共线， ∴∠EFC=∠DFC=90°， ∵△ACD∽△ECF， ∴∠ADC=∠EFC=90°， 如图1，过点A作AM⊥BC于点M， ∵AB=AC=5，BC=6， ∴BM=BC=3， 在Rt△ABM中，cos∠B=， 在Rt△BDC中，cos∠B=， ∴BD=， ∴AD=AB-BD=5-=， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD=， ∴， ∵△ACD∽△ECF， ∴, ∴； （3）解：过C作CN⊥AB于点N，过A作AM⊥DE于点M，如图2， 由（2）可得：CN=， 在Rt△ANC中， ， ∵AC=5，∠AEC=90°，∠ACE=45°， 在Rt△AEC中，， ∵DE∥AC，∠DEA=∠CAE=45°， ∵AM⊥DE， ∴∠AME=90°， 在Rt△AME中，， ∵DE∥AC， ∴∠CAN=∠MDA， ∴， ∴， ∴． 11．解：（1）过作于， ， ， 在中，． （2）①， ， ∵点为的中点， ， 点顺时针旋转得到， ， ， ， ， ， ． ②过作于， ， 四点共圆． ， ， 于， ， ， ， ， ， ， ． ③过作于． ， ， ∴点到的距离为． 即在旋转过程中，点点的距离始终都为， ∴点到的最大距离为， ， 的最大值 ， 即的面积存在最大值， 最大面积为． 12．解：（1）当a=1时，CG=1，BC=3，GC=2， 矩形中，， ，AD=BC=3， 又， ， ， ∴CF=AD=3， ， ∵, ∴， ， ∵ΔAOG底边OG上的高与ΔAGD底边GD的高相等， （2） 分两种情形讨论 情形①：如图1，， ∵ ∴，又AB=8， ， 易证， ， ，， 易证， ∴ 情形②：如图2，， ∵∠AGB+∠BAG=90º，∠AGB+∠DGC=90º， ∴∠BAG=∠DGC， （3）①∵， ∴, 又 ∴AE=EF， 又 ， ②， ，即， 过O作OH⊥AD于H，则有 ， ， ∴AD=BC=12， . 13．解：（1）设OD=a，OA=b， ∵，， ∴， CD=2 a，OC= ， 同理，OB=， BC=， AD=， ∵的中点是M， ∴DM=， OM=OD+DM=， ， （2）①， 延长OM交BC于N, 由（1）得，，∠AOD=∠BOC=90°， ∴； ②由相似得，∠DAO=∠CBO， ∵的中点是M， ∴MO=MD， ∴∠ADO=∠NOB， ∵∠DAO+∠ADO=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； （3）延长OM交BC于N,在MN上截取MH=OM, ∵AM=MD,∠OMD=∠AMH， ∴△OMD≌△AMH, ∴AH=OD,∠HAD=∠ADO， ∴AH∥OD, ∴∠HAO+∠AOD=180°， ∵， ∴∠AOD+∠BOC=180°， ∴∠BOC=∠HAO， 由（2）可知，， ∴ ∴， ∴，∠CBO =∠AOH， ∴， ∵∠AOH+∠NOB=90°， ∴∠CBO+∠NOB=90°， ∴； 14．解：（1）连接AC ，△APE是等边三角形 ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AC ∴△ABC是等边三角形 ∴AB=AC，∠BAC=60° 即∠BAP=∠CAE 在△BAP和△CAE中 ∴△BAP≌△CAE（SAS） ∴BP=CE，即； （2）如图，连接． ∵四边形是菱形， ∴． ∵是以为腰的等腰三角形，且， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即． 在和中， ∵，， ∴， ∴． （3）如图，连接，∵，， ∴，． ∴ 设，，则， 由勾股定理可知， 又∵，∴， ∴，． ∴的面积为． 故答案为 15．解：（1）为等腰三角形，， ∴是等边三角形， 同理可得是等边三角形 故答案为：． （2），理由如下： 在等腰三角形ABC中，AC＝BC，， ， 同理，， ，， ， ， ， ， 点B、D、E在同一条直线上: ； （3）由（2）知，， ， 在中，， ， ①当点E在点D上方时，如图③， 过点A作交BD的延长线于P， ， ， 四边形APDE是矩形， ， 矩形APDE是正方形， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ； ②当点E在点D下方时，如图④ 同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6， BD＝BP+DP＝8， ， 综上CE的长为2或4． 16．解：（1）∵点A（2，4）在抛物线C1上， ∴把点A坐标代入y=a（x+1）2-5得a=1， ∴抛物线C1的解析式为y=x2+2x-4， 设B（-2，b）， ∴b=-4， ∴B（-2，-4）； （2）①如图 由（1）可知a=1， ∴的解析式为：， ∴M（1，5）， ∵D（1，2），且DH⊥x轴， ∴点M在DH上，MH=5， 过点G作GE⊥DH，垂足为E， 由△DHG是正三角形，可得， ∴ME=4， 设N（x，0），则NH=x-1， ∵DH⊥x轴，GE⊥DH， ∴GE// x轴， ∴△MEG∽△MHN， ∴， ∴， ∴， ∴点N的横坐标为； ②当点D移到与点A重合时，如图， 直线l与DG交于点G，此时点N的横坐标最大； 过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F， 设N（x，0）， ∵A（2，4），即AH=4，且△AGH为等边三角形， ∴∠AHG=60°，HG=AH=4， ∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵△NGQ∽△NMF， ∴， ∴， ∴ 当点D移到与点B重合时，如图： 直线l与DG交于点D，即点B， 此时点N的横坐标最小； ∵B（-2，-4）， ∴H（-2，0），D（-2，-4）， 设N（x，0）， ∵△BHN∽△MFN， ∴， ∴， ∴， ∴点N横坐标的范围为． 17．解：(1) ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ∵将绕点旋转的过程中，，且， ， ∴即当点、、共线时，的值最大，最大值为15. 故答案为：，15； (2)，的最大值为， 理由：∵和都是直角三角形，， ∴. ∴， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴当点在的延长线上时，的值最大，最大值为， ∴当点在的延长线上时，的值最大，最大值为； (3)如图，以为边在下方作，且，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，设点是的中点， ∵在中，， ∴当点、、共线时最大，的最大值为， 由题意可知是斜边上的中线， ∴， ∵是等腰中边上的中线， ∴， ∴线段的最大值为. 18．解：（1）∵， ∴， ∴ ∵， ∴，∴        （2）如图3，过点C作于点G． 由题意知，， ∴，        ∴在中，， ∴ ∴ ∴在中，           ∴        （3）如图4，设的中点为H，连接，过点A作，交延长线于点M． ∵，，∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形 ∴ ∴在中，          此时 ∴，∴    而 ∴ 19．解：（1）∵在中，点为斜边的中点 ∴ ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴ ∴点为的中点． （2）如图： 根据题意，得： ∴，即． 由（1）可知，， ∴ ∴； （3）旋转前 ∵，， ∴ ∴ 根据题意，旋转后，仍然成立 又∵ ∴ 即 ∴ ∴ 过点作于点， ∵在中， ∴ ∴ 设，则，， ∵点是斜边的三等分点，且靠近点 ∴ ∴ 在中，． ∵ ∴． 20．解：（1）∵与是等边三角形 ∴AB=AC，AD=AE， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）∵将线段MN绕点M逆时针旋转得到线段MK ∴， ∴是等边三角形 ∴， 如下图，将绕点M顺时针旋转，得到，连接OQ ∴， ∴OK=NQ，MO=MQ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∵OK=NQ ∴当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当轴时，NQ有最小值 ∵点的坐标为 ∴ ∵轴， ∴ ∴线段OK长度的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$