6.4.3.2正弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

2. 正弦定理 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、 正弦定理 ` 1 余弦定理:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ; ; . 复习回顾 几个特殊角的三角函数值 角 0o 30o 45o 60o 90o 角 的弧度数 sin cos tan 口诀: 互补的两角正弦值相等 互补的两角余弦值互为相反数 互余的两角正余弦值对应相等 一、呈现背景 提出问题 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及一角或三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边,是否也有相应的直接解三角形的公式呢? A B C3 C2 C1 C BC的长度与角A的大小有关吗? 一、呈现背景 提出问题 任意三角形中,有大边对大角,小角对小边的边角关系. 从量化的角度看,可以将这个边、角关系转化为:在中,设的对边为,的对边为,求之间的定量关系. 可以解决“在中,已知,求”的问题. 1、正弦定理的推导 探究:在 ABC中,角A,B,C所对的边长分别为 a, b,c表示,怎样用a, b,c表示角A,B,C的正弦? 1.直角三角形 对于锐角三角形和钝角三角形,是否仍然成立? 二、分析联想 寻求方法 A C a b c B D 2.锐角三角形 3.钝角三角形 D A B C a b c ; 即: 同理,有 即: ; 即: 同理,有 即: 二、分析联想 寻求方法 思考:通你能用其他方法证明关系式 成立吗? 向量法 A B C = ()= + 即| | ||cos()0+ | | ||cos() csinA=asinC A B C j = ()= + 即|| ||cos()0+ | | ||cos() csinA=asinC j 二、分析联想 寻求方法 外接圆法 D 如图,的外接圆为圆,其半径为, 连接并延长,交三角形的外接圆于点,连接, 易知, ,,且 在中,,且 同理可得, 综上, 二、分析联想 寻求方法 2、正弦定理 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即 三、猜想验证 得出结论 文字 语言 (为外接圆半径) : 常用变形 实现边和角的相互转化 三、猜想验证 得出结论 辨析:判断正误. (1)正弦定理适用于任意三角形.( ) (2)在中,( ) (3)在中,a=( ) 在中, √ 思考 我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢? 【1】已知三角形的任意两个角与一边,解三角形. 【2】已知三角形任意两边与其中一边的对角,解三角形. 四、运用新知 巩固内化 3、正弦定理的应用 四、运用新知 巩固内化 【1】已知两角和一边,解三角形 例7 在中,已知,,,解三角形. 解:由三角形内角和定理得: 由正弦定理得: 四、运用新知 巩固内化 方法总结 ① 由三角形内角和定理求出第三个角 ② 用正弦定理求出剩余两边 3、正弦定理的应用 【1】已知两角和一边,解三角形 练习1:在中,已知,求边. 解:因为,所以 因为根据正弦定理, 得 变式1:在中,已知,, 则. 四、运用新知 巩固内化 【答案】: 3、正弦定理的应用 四、运用新知 巩固内化 【2】已知两边和一边对角,解三角形 例8 在中,已知,,,解这个三角形. 解:由正弦定理 ,得: 因为,所以 于是或 为什么角C有两个值? ①当时, 此时, 例8 在中,已知,,,解这个三角形. 四、运用新知 巩固内化 ②当时, 此时, 例8 在中,已知,,,解这个三角形. 四、运用新知 巩固内化 四、运用新知 巩固内化 ①用正弦定理求出其中的另一对角 ②由三角形内角和定理求出第三个角 方法总结 【2】已知两边和一边对角,解三角形 3、正弦定理的应用 ③ 用正弦定理求出剩余一边 已知两边及一边对角,也可以用余弦定理解决! 思考:已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解? 用正弦定理求出一个角的正弦值后再判断, 若正弦值大于1则是无解, 若是等于1则是一解, 若是小于1,则利用“大角对大边”来确定所求角的范围, 即可确定几解. 四、运用新知 巩固内化 其中的“csin ”改为“bsin “ 20 变式1: a=20, b=40, A=45 , 解三角形. 解:由正弦定理 得 四、运用新知 巩固内化 其中的“csin ”改为“bsin “ 21 变式2: a= b=4, A=60 , 则B= ? 根据大角对大边,判断解的情况! 四、运用新知 巩固内化 其中的“csin ”改为“bsin “ 22 五、学以致用,拓展创新 变式3: c=,b=50,B=30 , 则 ABC的形状是? 其中的“csin ”改为“bsin “ 23 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即 文字 语言 (为外接圆半径) : 常用变形 实现边和角的相互转化 五、回顾反思 拓展问题 利用正弦定理可以解决以下解三角形的问题: 【1】已知三角形的任意两个角与一边,解三角形. 【2】已知三角形任意两边与其中一边的对角,解三角形. (注意解的情况) 五、回顾反思 拓展问题 $$