5.3.2函数的极值与最大(小)值(第2课时)函数的最大(小)值-2024-2025学年第二学期高二数学同步课件（人教A版2019选必二）

5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值 第1页 1.理解函数最值的概念，会求某闭区间上函数的最值. 2.能利用导数求简单的含参数的函数的最值问题. 3.能根据最值求参数的值或取值范围. 学习目标 第1页 同学们，上节课我们在群山之间穿梭，领略了每一个山峰与山谷的独特之美。而今天，我们的目标是寻找最高的山峰和最低的峡谷。我们既要有俯瞰一切的雄心和气魄，展现出“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈气势；也要有仰望一切的谦逊和胸怀，更要具备“上九天揽月，下五洋捉鳖”的勇气。这正是我们今天要探究的内容——函数的最值。 导 语 第1页 课内导航 极值与最值的关系 求函数的最值 1 2 根据最值证明不等式 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 三 根据最值证明不等式 第1页 函数最值的定义 (1)一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值. 知识梳理 第页 第1页 6 注意： (1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值； (2)函数f(x)在闭区间[a，b]上连续是f(x)在闭区间[a，b]上有最大值和最小值的充分不必要条件. 知识梳理 第页 第1页 7 题型一　极值与最值的关系 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 二 求函数的最值 第1页 题型二　求函数的最值 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 一 极值与最值的关系 第1页 题型三　利用最值证明不等式 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 最大值 最小值 区间端点 极值点 极值 最大 最小 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 3 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　如图是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值． 【解析】　由题图可知，y＝f(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点函数值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b)． (1)在开区间(a，b)上连续的函数f(x)不一定有最大值和最小值． (2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值若存在则只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点处取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值． 思考题1　(1)设f(x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在(a，b)内可导，则下面结论中，正确的是(　　) A．f(x)的极值点一定是最值点 B．f(x)的最值点一定是极值点 C．f(x)在区间[a，b]上可能没有极值点 D．f(x)在区间[a，b]上可能没有最值点 (2) 设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的个数为(　　) ①函数一定有三个零点； ②函数一定有三个极值点； ③函数有最小值； ④函数有最大值； ⑤函数图象一定经过坐标原点． A．1　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 【解析】　根据导函数的图象可知， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递减， 当x∈(0，1)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增， 当x∈(1，2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(1，2)上单调递减， 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增， 所以x＝0，x＝1，x＝2是函数f(x)的极值点，因此②说法正确； 函数f(x)的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0，即①⑤说法错误； 由单调性可知，x＝0和x＝2都是函数f(x)的极小值点，所以f(0)，f(2)都是函数f(x)的极小值， 因此函数有最小值，且为f(0)，f(2)中的较小者，无最大值，所以③正确，④错误． 综上可得，只有②③说法正确．故选B. 例2　求下列函数的最大值和最小值： (1)f(x)＝x3－3x＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))； 【解析】　(1)f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝±1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x －3 (－3，－1) －1 (－1，1) 1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) eq \f(3,2) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －15  5  1  eq \f(15,8) 由表可知，函数的最大值是5，最小值是－15. (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数； 【解析】　(2)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′－(ex)′＝－eq \f(1,ex)－ex＝－eq \f(1＋e2x,ex)，当x∈[0，a]时，f′(x)<0恒成立， 即f(x)在[0，a]上单调递减． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. (3)f(x)＝sin 2x－x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))). 【解析】　(3)f′(x)＝2cos 2x－1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(π,6)，x2＝eq \f(π,6).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x －eq \f(π,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6))) －eq \f(π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,6))) f′(x) － 0 ＋ f(x) eq \f(π,2)  eq \f(π－3\r(3),6)  x eq \f(π,6) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))) eq \f(π,2) f′(x) 0 － f(x) eq \f(3\r(3)－π,6)  －eq \f(π,2) 从上表可知，函数的最大值为eq \f(π,2)，最小值为－eq \f(π,2). 求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数f(x)在(a，b)上的极值． (2)求f(x)在区间端点处的值f(a)，f(b)． (3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 思考题2　求下列函数的最大值和最小值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]； 【解析】　(1)因为f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]， 所以f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))， 令f′(x)＝0，解得x＝－eq \r(2)或x＝eq \r(2). 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝8eq \r(2)， 所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)； 当x＝3时，f(x)取得最大值18. (2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋sin x，x∈[0，2π]； 【解析】　(2)f′(x)＝eq \f(1,2)＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0，2π]，解得x＝eq \f(2π,3)或x＝eq \f(4π,3). 因为f(0)＝0，f(2π)＝π，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))＝eq \f(2π,3)－eq \f(\r(3),2)， 所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π. (3)f(x)＝eq \f(x－1,ex)； 【解析】　(3)函数f(x)＝eq \f(x－1,ex)的定义域为R. f′(x)＝eq \f(1·ex－ex（x－1）,（ex）2)＝eq \f(2－x,ex)，当f′(x)＝0时，x＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) 单调递增 eq \f(1,e2) 单调递减 由表可知f(x)无最小值，当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝eq \f(1,e2). (4)f(x)＝eq \f(x－1,x2＋1)，x∈[0，4]． 【解析】　(4)f′(x)＝eq \f(－x2＋2x＋1,（x2＋1）2)， 令f′(x)＝0，得x＝1＋eq \r(2)或x＝1－eq \r(2)(舍)． 又f(0)＝－1，f(4)＝eq \f(3,17)，f(1＋eq \r(2))＝eq \f(\r(2)－1,2)， ∴f(x)max＝eq \f(\r(2)－1,2)，f(x)min＝－1. 例3　证明下列不等式： (1)ex≥x＋1； 【证明】　(1)设f(x)＝ex－x－1， 则f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0， 所以当x<0时，f′(x)<0； 当x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减， 在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(0)＝0，即ex－x－1≥0，所以ex≥x＋1. (2)ln x≤x－1. 【证明】　(2)由题意知x>0，令f(x)＝x－1－ln x， 所以f′(x)＝1－eq \f(1,x)＝eq \f(x－1,x)， 令f′(x)＝0，得x＝1，所以当x>1时，f′(x)>0； 当0<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增，所以f(x)有最小值f(1)＝0， 故有f(x)＝x－1－ln x≥f(1)＝0，即ln x≤x－1成立． 重要函数不等式链 思考题3　(1)已知函数f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求证：f(x)≥0恒成立． 【证明】　(1)由题意知f′(x)＝ex－eq \f(e,x)＝eq \f(xex－e,x)， 设F(x)＝xex－e(x>0)，易得F(x)在(0，＋∞)上单调递增，且F(1)＝0， 当x∈(0，1)时，F(x)<0，∴f′(x)＝eq \f(F（x）,x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(1，＋∞)时，F(x)>0，∴f′(x)＝eq \f(F（x）,x)>0，f(x)单调递增， f(x)的最小值为f(x)min＝f(1)＝0， ∴f(x)≥0恒成立． (2)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)x2＋ln x．求证：在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq \f(2,3)x3的图象的下方． 【证明】　(2)设F(x)＝g(x)－f(x)，即F(x)＝eq \f(2,3)x3－eq \f(1,2)x2－ln x， 则F′(x)＝2x2－x－eq \f(1,x)＝eq \f(（x－1）（2x2＋x＋1）,x). 当x>1时，F′(x)＝eq \f(（x－1）（2x2＋x＋1）,x)>0， 从而F(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴F(x)>F(1)＝eq \f(1,6)>0. ∴当x>1时，g(x)－f(x)>0， 即f(x)<g(x)，故在区间(1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝eq \f(2,3)x3的图象的下方． 要点1　函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有_______和_______，若函数在(a，b)内是可导的，则该函数的最值必在__________或________处取得． 要点2　求可导函数在[a，b]上最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的________． (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中______的一个是最大值，_______的一个是最小值． 1．函数的极值与最值有什么区别和联系？ 答：(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值． (2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．多个极值之间没有必然的大小关系，极值可能成为最值，最值若不在端点处取得则必定在极值点处取得． (3)函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点． 2．函数f(x)在区间(a，b)上的最值情况有哪些？ 答：在区间(a，b)上函数f(x)的图象是一条连续的曲线时，f(x)在(a，b)内不一定有最值．常见的有以下几种情况： 如图，图1中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最大值而无最小值； 图2中的函数y＝f(x)在(a，b)上有最小值而无最大值； 图3中的函数y＝f(x)在(a，b)上既无最大值也无最小值； 图4中的函数y＝f(x)在(a，b)上既有最大值又有最小值． 3．函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值的充分不必要条件吗？ 答：函数f(x)的图象在区间[a，b]上连续不断是f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值的充分不必要条件．如函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x|，－1≤x≤1且x≠0，,－1，x＝0))的图象(如图)在[－1，1]上有间断点，但存在最大值和最小值． 4．函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点呢？ 答：函数的最大(小)值是函数的所有函数值中最大(小)的一个，因此若函数有最大(小)值，则最大(小)值只有一个． 函数的最大值只有一个，但是可以在不同点处取得，所以最大值点可以有多个．同理，函数的最小值点也可以有多个． 1．设在区间[a，b]上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)在区间(a，b)上可导，有以下三个命题： ①若f(x)在[a，b]上有最大值，则这个最大值必是[a，b]上的极大值； ②若f(x)在[a，b]上有最小值，则这个最小值必是[a，b]上的极小值； ③若f(x)在[a，b]上有最值，则最值必在x＝a或x＝b处取得． 其中，正确的命题有(　　) A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．3个 解析　由于函数的最值可能在区间[a，b]的端点处取得，也可能在区间(a，b)上取得，而当最值在区间端点处取得时，其最值必不是极值，因此命题①②③都不正确． 2．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1)(　　) A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 D．无最大值，但有最小值 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)，∵－1<x<1， ∴x2<1，∴3(x2－1)<0，即f′(x)<0. ∴f(x)在(－1，1)上单调递减，∴f(1)<f(x)<f(－1)．故f(x)在(－1，1)内既无最大值，也无最小值． 3．函数y＝xe－x在[0，4]上的最大值为________． 　eq \f(1,e) 解析　y′＝e－x－xe－x＝e－x(1－x)，令y′＝0，得x＝1， ∴当x∈[0，1)时，y′>0，函数y＝xe－x单调递增， 当x∈(1，4]时，y′<0，函数y＝xe－x单调递减． ∴函数y＝xe－x(x∈[0，4])在x＝1时取得最大值，其值为y＝eq \f(1,e). 4．若函数f(x)＝x3－3x＋a，x∈[－2，0]的最小值为1，则实数a的值为________． 解析　f′(x)＝3x2－3，x∈[－2，0]， 令f′(x)>0，解得x∈[－2，－1)， 令f′(x)<0，解得x∈(－1，0]， 故f(x)＝x3－2x＋a在[－2，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减， 又f(－2)＝－8＋6＋a＝a－2，f(0)＝a，a>a－2， 所以f(x)＝x3－3x＋a，x∈[－2，0]的最小值为a－2，令a－2＝1，解得a＝3. 5．设f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)x2＋2ax.当0<a<2时，f(x)在[1，4]上的最小值为－eq \f(16,3)，求f(x)在该区间上的最大值． 解析　由题知，f′(x)＝－x2＋x＋2a，因为0<a<2，则其对应的判别式Δ＝1＋8a>0，令f′(x)＝0得x1＝eq \f(1－\r(1＋8a),2)，x2＝eq \f(1＋\r(1＋8a),2)，显然x1<x2， 令f′(x)<0，解得x<x1或x>x2；令f′(x)>0解得x1<x<x2， 所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增． 又当0<a<2时，有x1<1<x2<4，则f(x)在(1，x2)上单调递增，在(x2，4)上单调递减．所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x2)． f(x)min＝min{f(1)，f(4)}，而f(4)－f(1)＝eq \f(－27,2)＋6a<0，即f(4)<f(1)， 所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)＝8a－eq \f(40,3)＝－eq \f(16,3)⇒a＝1，x2＝2， 从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)＝eq \f(10,3). $$