5.3.2函数的极值与最大(小)值(第1课时)函数的极值-2024-2025学年第二学期高二数学同步课件（人教A版2019选必二）

5.3.2第1课时 函数的极值 第1页 课内导航 函数的极值 含参数的函数的极值问题 1 2 根据极值求参数的值或范围 书读百遍 其义自现 3 4 第1页 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值. 学习目标 第1页 同学们，前面我们通过对函数求导，研究了函数的单调性，并且发现了函数图像的变化趋势。正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”。大家可以想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是整个山区的最高点，但肯定是它附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是整个山谷的最低点，但肯定是它附近的最低点。这就像我们今天要研究的函数的极值。 导 语 第1页 一 函数的极值 第1页 极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附 近的左侧 ，右侧 ，则把a叫做函数y =f(x)的 ，f(a)叫做函数y=f(x)的 . f'(x)<0 f'(x)>0 极小值点 极小值 知识梳理 第页 第1页 6 (2)极大值点与极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧 ，右侧 ，则把b叫做函数y=f(x)的 ，f(b)叫做函数y=f(x)的 . (3)极大值点、极小值点统称为 ，极大值和极小值统称为 . f'(x)>0 f'(x)<0 极大值点 极大值 极值点 极值 知识梳理 第页 第1页 7 理解： (1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f'(x0)=0，则x0不一定是极值点，即f'(x0)=0是f(x)在x=x0处取到极值的必要不充分条件，函数y=f'(x)的变号零点，才是函数的极值点. 知识梳理 第页 第1页 8 题型一　函数极值概念的理解 √ 第页 第1页 反思感悟1 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 题型二　求函数的极值 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟2 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 二 含参数的函数的极值问题 第1页 题型三　求含参数的函数的极值 第页 第1页 反思感悟3 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 三 根据极值求参数的值或范围 第1页 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 知识梳理 第页 第1页 题型四　已知极值(点)求参数 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 第页 第1页 反思感悟4 第页 第1页 第页 第1页 四 书读百遍 其义自现 第1页 f′(x)<0 f′(x)>0 极小值点 极小值 第页 第1页 f′(x)>0 f′(x)<0 极大值点 极大值 极值点 极值 第页 第1页 第页 第1页 反 思 总 结 入 木 三 分 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 第页 第1页 课 后 巩 固 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ 第页 第1页 √ √ √ 第页 第1页 －6 第页 第1页 第页 第1页 2 0 2 4 看 观 谢 谢 ★新教材同步学案★ 第1页 例1　函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，一个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 【解析】　设f′(x)的图象与x轴的交点从左到右的横坐标依次为x1，x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故函数f(x)有两个极大值点，两个极小值点． 解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意： (1)对于导函数的图象，重点考察导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的． (2)对于函数的图象，重点考察函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点对应的横坐标是极大值点，哪个点对应的横坐标是极小值点． 思考题1　已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)有(　　) A．两个极大值，一个极小值 B．两个极大值，无极小值 C．一个极大值，一个极小值 D．一个极大值，两个极小值 【解析】　导函数f′(x)有三个零点x1，x2，x3，设x1<0，x2＝0，x3>0， 当x<x1时，f′(x)<0，当x1<x<x2时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x1处取得极小值； 当x1<x<x2时，f′(x)>0，当x2<x<x3时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x＝x2处无极值； 当x2<x<x3时，f′(x)>0，当x>x3时，f′(x)<0，所以函数f(x)在x＝x3处取得极大值．故选C. 例2　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x； 【解析】　(1)函数f(x)的定义域为R， f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  从表中可以看出，当x＝－2时，函数有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16.当x＝2时，函数f(x)有极小值，且f(2)＝23－12×2＝－16. (2)f(x)＝eq \f(ln x,x)； 【解析】　(2)函数f(x)＝eq \f(ln x,x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2).令f′(x)＝0，得x＝e. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  eq \f(1,e)  因此，x＝e是函数f(x)的极大值点，极大值为f(e)＝eq \f(1,e)，函数f(x)没有极小值． (3)f(x)＝sin x(1＋cos x)(0<x<2π)． 【解析】　(3)f′(x)＝cos x(1＋cos x)＋sin x(－sin x)＝cos x＋cos2x－sin2x ＝cos x＋cos2x－(1－cos2x)＝2cos2x＋cos x－1＝(2cos x－1)(cos x＋1)． 令f′(x)＝0，得cos x＝eq \f(1,2)或cos x＝－1.当0<x<2π时，x1＝eq \f(π,3)，x2＝π，x3＝eq \f(5π,3). 当x在区间(0，2π)上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))) eq \f(π,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π)) π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,3))) eq \f(5π,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)) f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f(x)  极大值 eq \f(3\r(3),4)  0  极小值 －eq \f(3\r(3),4)  故当x＝eq \f(π,3)时，f(x)有极大值为eq \f(3\r(3),4)；当x＝eq \f(5π,3)时，f(x)有极小值为－eq \f(3\r(3),4). 用导数研究函数的极值的步骤： (1)求定义域，并求导数f′(x)． (2)解方程f′(x)＝0. (3)列出表格． (4)由表格中f′(x)的正负变化或f(x)的增减变化获得结论． 思考题2　求下列函数的极值： (1)f(x)＝x2e－x； 【解析】　(1)函数f(x)＝x2e－x的定义域为R，f′(x)＝2xe－x－x2e－x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  0  eq \f(4,e2)  因此，x＝0是函数f(x)的极小值点，极小值为f(0)＝0；x＝2是函数f(x)的极大值点，极大值为f(2)＝eq \f(4,e2). (2)f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)－2. 【解析】　(2)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝eq \f(2（x2＋1）－2x·2x,（x2＋1）2)＝eq \f(2（1－x2）,（x2＋1）2).令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－1. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞， －1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  极小值－3  极大值－1  当x＝－1时，f(x)有极小值，并且f(x)极小值＝－3； 当x＝1时，f(x)有极大值，并且f(x)极大值＝－1. 例3　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的极值． 【解析】　f′(x)＝1－eq \f(a,x)＝eq \f(x－a,x)(x>0)， ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0， 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值． 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值． 求解析式中含有参数的函数极值时，常需要用分类讨论的思想解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论． 思考题3　已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值． 【解析】　∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0， ∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝eq \f(a,2)，x2＝eq \f(a,3). 当a>0时，eq \f(a,3)<eq \f(a,2)，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3))) eq \f(a,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，\f(a,2))) eq \f(a,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  eq \f(a3,27)  0  ∴当x＝eq \f(a,3)时，函数f(x)取得极大值，极大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝eq \f(a3,27)； 当x＝eq \f(a,2)时，函数f(x)取得极小值，极小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝0. 当a<0时，eq \f(a,2)<eq \f(a,3)，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2))) eq \f(a,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(a,3))) eq \f(a,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞)) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  0  eq \f(a3,27)  ∴当x＝eq \f(a,2)时，函数f(x)取得极大值，极大值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝0； 当x＝eq \f(a,3)时，函数f(x)取得极小值，极小值为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))＝eq \f(a3,27). 综上，当a>0时，函数f(x)在x＝eq \f(a,3)处取得极大值eq \f(a3,27)，在x＝eq \f(a,2)处取得极小值0；当a<0时，函数f(x)在x＝eq \f(a,2)处取得极大值0，在x＝eq \f(a,3)处取得极小值eq \f(a3,27). 例4　(1)若函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(　　) A．1，－3　　　　　　　 B．1，3 C．－1，3 D．－1，－3 【解析】　∵f′(x)＝3ax2＋b，∴f′(1)＝3a＋b＝0.① 又f(1)＝－2，∴a＋b＝－2.② 联立①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－3.)) 经检验a＝1，b＝－3符合题意． (2) 函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　) A．a<0，b<0，c<0，d>0 B．a<0，b<0，c>0，d>0 C．a<0，b>0，c<0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d>0 【解析】　观察图象知，f(0)＝d>0，函数f(x)有3个零点，设3个零点为x1，x2，x3(x1<x2<x3)， 于是f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)，当x>x3时，f(x)<0， 而此时(x－x1)(x－x2)(x－x3)>0，因此a<0， 又f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，函数f(x)有两个极值点α1，α2，不妨设α1<α2，则α1<α2<0，即f′(x)＝0有两个不等负根， 所以－eq \f(2b,3a)＝α1＋α2<0，eq \f(c,3a)＝α1α2>0，因此b<0，c<0， 所以a<0，b<0，c<0，d>0.故选A. 已知函数极值(点)求参数的方法： 对于已知可导函数的极值(点)求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 思考题4　如果函数f(x)＝ax5－bx3＋c(a≠0)在x＝±1处取得极值，极大值为4，极小值为0，试求a，b，c的值． 【解析】　f′(x)＝5ax4－3bx2，令f′(x)＝0，即5ax4－3bx2＝0，x2(5ax2－3b)＝0.∵x＝±1是极值点，∴5a－3b＝0.∴可能的极值点为x＝0或x＝±1. 若a＞0，f′(x)＝5ax2(x2－1)．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  无极值  极小值  由表可知，当x＝－1时，f(x)有极大值，当x＝1时，f(x)有极小值， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＋b＋c＝4，,a－b＋c＝0，,5a＝3b))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝2，,a＝3，,b＝5.))若a＜0，同理可知a＝－3，b＝－5，c＝2. 要点1　极值点与极值的概念 已知函数y＝f(x)的图象如图． (1)极小值点与极小值 观察右图发现，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_________，则把a叫做函数y＝f(x)的___________，f(a)叫做函数y＝f(x)的_________． (2)极大值点与极大值 观察右图发现，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧____________，右侧___________，则把b叫做函数y＝f(x)的_____________，f(b)叫做函数y＝f(x)的_________． (3)极小值点、极大值点统称为_______，极小值和极大值统称为_____． 要点2　函数极值的求解步骤 一般地，求可导函数y＝f(x)的极值的步骤是： (1)求出函数的定义域及导数f′(x)． (2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)． (3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中． (4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况： 如果导数值在根的附近左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值； 如果导数值在根的附近左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值； 如果导数值在这个根附近左右两侧同号，那么这个根不是极值点． 1．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 答：不一定．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，就没有极值点．区间端点不能是极值点，因为“附近”既包含点的左侧，也包含点的右侧． 2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 答：可导函数的极值点一定是导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点，因此导数值为0只是该点为可导函数极值点的必要条件． 举例如下： (1)导数值为0的点是极值点：f(x)＝x2，f′(0)＝0，x＝0是极小值点． (2)导数值为0的点不是极值点：f(x)＝x3，f′(0)＝0，x＝0不是极值点． (3)不可导点是极值点：f(x)＝|x|，当x＝0时，f(x)不可导，0是极小值点． (4)不可导点不是极值点：f(x)＝xeq \s\up22(\f(1,3))，当x＝0时，f(x)不可导，0不是极值点． 3．极大值一定大于极小值吗？怎样根据函数图象确定函数的极值呢？ 答：不一定．如图，x1，x3，x5都是函数y＝f(x)的极大值点，x2，x4都是函数y＝f(x)的极小值点．从图中可以看出，函数的极大值可能比极小值小，如f(x1)<f(x4)． 由函数图象确定极大值或极小值时，需关注图象在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点．若图象由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点对应的函数值比它附近的点对应的函数值都大，因此是极大值；若图象由“下降”变为“上升”，则在该点附近，该点的位置最低，即该点对应的函数值比它附近的点对应的函数值都小，因此是极小值． 4．如何利用导数画出函数的大致图象？ 答：(1)求出函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点． (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值． (4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点以及图象的变化趋势． (5)画出f(x)的大致图象. 1．若f(x)为可导函数，则f′(x0)＝0是f(x)在点x0处取极值的(　　) A．充分不必要条件　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　f′(x0)＝0不能保证f′(x)在x0左右两边异号，故不能保证有极值，f(x)在x0处有极值必有f′(x0)＝0. 2．函数f(x)＝eq \f(3,2)x2－ln x的极值点为(　　) A．0，1，－1 B.eq \f(\r(3),3) C．－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3) 解析　由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－eq \f(1,x)＝eq \f(3x2－1,x).令f′(x)＝0，得x＝eq \f(\r(3),3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(3),3)舍去)).当x>eq \f(\r(3),3)时，f′(x)>0；当0<x<eq \f(\r(3),3)时，f′(x)<0.所以当x＝eq \f(\r(3),3)时，f(x)取得极小值．故f(x)的极小值点为x＝eq \f(\r(3),3)，无极大值点．故选B. 3．【多选题】若函数f(x)＝aln x＋eq \f(b,x)＋eq \f(c,x2)(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc<0 B．ab<0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 解析　由题意f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(b,x2)－eq \f(2c,x3)＝eq \f(ax2－bx－2c,x3)(a≠0)在(0，＋∞)内有两个零点，即方程ax2－bx－2c＝0(a≠0)在(0，＋∞)内有两个不相等的实数根， 不妨设两根分别为x1，x2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2＋8ac>0，,x1＋x2＝\f(b,a)>0，,x1x2＝－\f(2c,a)>0，))即a，c异号、a，b同号，从而b，c异号．故选ACD. 4．已知函数f(x)＝x2－8x＋6ln x＋1，则f(x)的极大值为________． 解析　由函数f(x)＝x2－8x＋6ln x＋1(x>0)，得函数f′(x)＝2x－8＋eq \f(6,x)＝eq \f(2x2－8x＋6,x)，令f′(x)＝0，则x＝1或x＝3，当0<x<1时，f′(x)>0，当1<x<3时，f′(x)<0，当x>3时，f′(x)>0，故x＝1为函数f(x)的极大值点，极大值为f(1)＝－6. 5．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且当x＝－1时取得极大值7，当x＝3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值． 解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵当x＝－1时函数取得极大值，当x＝3时取得极小值，∴－1，3是方程f′(x)＝0的根，即为方程3x2＋2ax＋b＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋3＝－\f(2a,3)，,（－1）×3＝\f(b,3)，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－9，))经检验符合题意． ∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c. ∵当x＝－1时取得极大值7， ∴(－1)3－3×(－1)2－9×(－1)＋c＝7，∴c＝2. ∴极小值f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25. $$