精品解析：2024年江苏省南京市中考数学试卷

2024年江苏省南京市中考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】D 【解析】 【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，求出计算结果为，然后分析奇偶性即可求解． 本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为， 根据题意，得 ， m,n为整数， 和均为整数， 为奇数， 必为偶数，表示为, 原式, ∵因数是的倍数， ∴任意两个奇数的平方差总能被整除， 故选：D． 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，科学记数法表示较小的数，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．根据题意列出算式求解，然后运用科学记数法表示即可． 【详解】解： ∴一个水分子的质量大约是． 故选：C． 4. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，圆周角定理，中心角， 先标字母，将正n变形看成一个圆，再根据圆周角定理求出，可求出中心角的度数，进而得出正多边形的边数． 【详解】解：如图所示，标准正方形的中心O，为中心角，将正n变形看成一个圆， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则 的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于点，由 ，分别与扇形相切于点， ，，得，，，，求得，再证明四边形是矩形，则，，由勾股定理得，求得，即可解答． 【详解】解：连接，作于点， 则， ，分别与扇形相切于点， ，，， ，，，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 解得：， 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、矩形的判定与性质等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键． 6. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，正确的理解题意，列出不等式是解题的关键．本题可先根据甲的消费情况确定商品的价格范围，再结合乙的消费情况列出不等式，进而求出B商品单价的最小值 【详解】∵单笔消费金额每满100元立减10元， ∴2件商品的原价满足：， ∵乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元，说明消费金额满了3个100元， ∴， ∴时，B有最小值为1即可； 故选：A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 比较大小：____（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵， ， 又， ∴． 故答案为：． 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 9. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 10. 如果实数满足____________，那么互为相反数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握互为相反数的两个数和为0是解题的关键，根据相反数的定义，可得相反数的两数相加为0，据此作答． 【详解】解：如果实数满足，那么互为相反数， 故答案为：． 11. 方程的解是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 解得：， 经检验当时，， ∴原分式方程的解为∶ 故答案为： 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表： … … … … 【答案】填表如下： … … … … 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 设电流与电阻的函数关系式为，根据待定系数法求出解析式，当时，，填表即可． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， 把代入得， ， 电流与电阻的函数关系式为， 当时， ， 13. 如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，先求解，可得，可得，可得，再进一步结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ， ∴； 故答案为： 14. 如图，在边长为4的等边三角形中， 是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【详解】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵ 是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 15. 已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是____________，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键． 先求出每个不等式的解集，再求出公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算， 先通分计算括号内的式子，同时将除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解：． 18. 已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 19. 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形． 【答案】证明：是的直径， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由是的直径，可得，证明，得到，可证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 20. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法求概率以及根据概率公式求概率． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及从两个袋子中摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中从甲袋子中摸出的球是白球的结果有1种， ∴从甲袋子中摸出的球是白球的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中从两个袋子中摸出的球都是红球的结果有4种， ∴从两个袋子中摸出的球都是红球的概率为． 21. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 【答案】（1）B （2） （3） 解：不同意这种观点，理由如下： 月增长量为正，即当月销售量比上月增加，月增长量为负，即当月销售量比上月减少， 3月份增长量为，即3月份相比2月份销售量增加， 4月份增长量为，即4月份相比3月份销售量减少，即销售量不是持续减少． 【解析】 【分析】此题考查了折线统计图以及算术平均数，正确记忆相关知识点是解题关键． （1）根据相关概念和数据进行逐项分析即可； （2）设1月份销售量为，求出6月份的销售量，作差即可； （3）根据月增长量的意义进行分析即可得到答案． 【小问1详解】 解：A．∵月增量当月的销售量上月的销售量，不知道1月份的销售量， ∴无法得到2月份的销售量，故选项错误，不合题意； B．∵， ∴2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆， 故选项正确，符合题意； C．∵6月份的月增量为， ∴5月份的销售量小于6月份的销售量， 即5月份的销售量不是最大，故选项错误，不合题意； D．因为不知道1月份的销售量，无法求得各月的销售量，无法计算月增长率，则不能判断5月份销售的月增长率最大，故选项错误，不合题意； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：设1月份销售量为可得： ， ∴， ∴增加了万辆； 故答案为：； 【小问3详解】 略 22. 如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 【答案】港口到航线的距离约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题．设交航线于点，过点作于点 ，过点作于点 ，由锐角三角函数定义求出、的长，设，再由锐角三角函数定义求出，则，然后由锐角三角函数定义列出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设交航线于点，过点作于点 ，过点作于点 ， 则， 由题意知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 答：港口到航线的距离约为． 23. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 【答案】（1） 证明：∵和关于点对称， ，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查中心对称，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由中心对称的性质证明，即可证明； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵和关于点对称，四边形是平行四边形； ∴三点共线， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上． （1）当取最小值时，____________． （2）用含的代数式表示． （3）已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）（且） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键． （1）将顶点代入函数中，将函数转化为，求出的最小值； （2）将代入，得出的代数式； （3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论． 【小问1详解】 解：∵二次函数的顶点在上， ∴， ∴设二次函数为， 当取最小值时，，， 二次函数的图象经过点， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵图象经过点， ∴， 化简得：； 【小问3详解】 ①当开口向上时，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∵，∴； ②当开口向下时， ∴或． 当时， 此时，，不合题意， 当时， 此时，，不合题意， 综上所述：． 25. （1）如图（1），点分别在正方形边上，连接 ．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点 的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】 解：（1）如图，分别以点为圆心，大于为半径画弧，连接交点，交于点，交 于点，点即为所求； （2）方法一：如图，连接，过点 作，取，连接，作，则为正方形点 的边所在的直线，过点作的垂线，过点作的垂线，所得的四边形为所在的正方形； 方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，其中交于点，交于点； 连接，则，， ∴； ∵， ∴，； 同理， ∴都是等腰直角三角形， ∴四边形是正方形， ∴四边形是所在的正方形， ∴为该正方形点 的边所在的直线． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键． （1）作 的中垂线即可； （2）方法一：如图，连接，过点 作，取，连接，作，则为正方形点 的边所在的直线，过点作垂线，过点作垂线，所得的四边形为所在的正方形；方法二：连接，作以为直径的圆，两条中垂线交各自的圆于点，点，连接交两圆于点，点，连接，四边形是所在的正方形，为该正方形点 的边所在的直线． 【详解】（1）略； （2）略. 26. 如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 （2）6 （3）①线段的倾斜程度更大；② 【解析】 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． 【小问3详解】 ①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省南京市中考数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 任意两个奇数的平方差总能（ ） A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 3. 水由氢、氧两种元素组成．一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 36 5. 如图，在四边形中，分别与扇形相切于点．若，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 9 6. 某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件商品与1件商品，立减了30元．若商品的单价是整数元，则它的最小值是（ ） A. 1元 B. 99元 C. 101元 D. 199元 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 7. 比较大小：____（填“”“”或“”） 8. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 9. 计算的结果是______． 10. 如果实数满足____________，那么互为相反数． 11. 方程的解是____________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．完成下表： … … … … 13. 如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则____________． 14. 如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则____________． 15. 已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是____________，____________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解不等式组： 17. 计算： 18. 已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 19. 如图，在的内接四边形中，，对角线是的直径．求证：四边形是矩形． 20. 甲袋子中有2个红球、1个白球；乙袋子中有1个红球、1个白球．这些球除颜色外无其他差别．先从甲袋子中随机摸出1个球放入乙袋子，摇匀后，再从乙袋子中随机摸出1个球． （1）从甲袋子中摸出的球是白球的概率是____________； （2）从两个袋子中摸出的球都是红球的概率是多少？ 21. 某品牌汽车2月份至6月份销售的月增量（单位：万辆）折线统计图如下．注：月增量当月的销售量上月的销售量，月增长率．例如，8月份的销售量为2万辆，9月份的销售量为万辆，那么9月份销售的月增量为（万辆），月增长率为． （1）下列说法正确的是____________． A．2月份的销售量为万辆 B．2月份至6月份销售的月增量的平均数为万辆 C．5月份的销售量最大 D．5月份销售的月增长率最大 （2）6月份的销售量比1月份增加了____________万辆． （3）2月份至4月份的月销售量持续减少，你同意这种观点吗？说明理由． 22. 如图，港口位于港口的北偏西方向，港口位于港口的北偏东方向，港口位于港口的北偏东方向．一艘海轮从港口出发，沿正北方向航行．已知港口到航线的距离为，求港口到航线的距离．（参考数据：．） 23. 如图，在中，，是上一点，和关于点对称，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，求四边形是菱形时的长． 24. 已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上． （1）当取最小值时，____________． （2）用含的代数式表示． （3）已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围． 25. （1）如图（1），点分别在正方形边上，连接．求作，使点分别在边上（均不与顶点重合），且． （2）已知点的位置如图（2）所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，用两种不同的方法求作该正方形过点的边所在的直线．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 26. 如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． （1）结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． （2）路灯的高度是____________m． （3）设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $