6.2.1 6.2.2 第2课时 排列数的综合应用（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

第2课时　排列数的综合应用 探究一　无限制条件的排列问题 【例题1】 (1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有7种不同的书(每种不少于3本)，要选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解析　(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A＝7×6×5＝210(种)不同的送法． (2)从7种不同的书中选3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7＝343(种)不同的送法． 规律总结 无限制条件的排列问题的 常见类型及解题思路 无限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．n个不同的元素占据m个不同的位置，若n≥m，且每个位置只排一个元素，则有A种不同的排法；若n<m，且每个元素只占一个位置，则有A种不同的占法．简而言之，就是注意把握“固定元素”与“固定位置”的相对性和灵活性． 【变式1】 (1)(多选)将5名司机、5名售票员分配到5辆汽车上，使每辆汽车上有1名司机和1名售票员，则所有分配方案的种数为(　　) A．14 400 B．240 C．AA D．2A (2)某班上午有五节课，分别安排语文、数学、英语各一节课，剩下两节为自习课，则不同排课法的种数是(　　) A．15 B．A C．35 D．53 解析　(1)安排5名司机有A种方案，安排5名售票员有A种方案，根据分步乘法计数原理，共有AA＝14 400(种)方案．故选AC项． (2)把上午五节课看成“5个位置”，分别用1,2,3,4,5来表示，把语文、数学、英语看成“3个元素”，一种排课法可看作是从1,2,3,4,5这5个位置中取出3个位置分给语文、数学、英语，分配的时候有顺序之分，故所有不同排课法的种数是A.故选B项． 答案　(1)AC　(2)B 探究二　有限制条件的排列问题 【例题2】 用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数． (1)可组成多少个不同的四位数？ (2)可组成多少个不同的四位偶数？ 解析　(1)根据题意分步完成任务： 第一步，排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有A＝5(种)不同排法； 第二步，排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个排列，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法． 所以可组成5×60＝300(个)不同的四位数． (2)根据题意分类完成任务： 第一类，个位数字为0，则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个排在千位、百位、十位，有A＝5×4×3＝60(种)不同排法； 第二类，个位数字为2或4，则0不能排在千位，有AAA＝2×4×4×3＝96(种)不同排法． 所以可组成60＋96＝156(个)不同的四位偶数． 规律总结 有限制条件的排列问题的三种解题思路 以元素为主考虑，即先安排特殊元素，再安排其他元素；以位置为主考虑，即先安排特殊位置，再安排其他位置；用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．以上三种思路可以简化为图形，即： [注意] 解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理． 【变式2】 (1)由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是(　　) A．144 B．192 C．216 D．240 (2)有7名学生，在下列不同要求下，求不同的排列方法种数． ①全体排成一行，其中甲、乙必须在两边； ②全体排成一行，甲不站中间，也不站两边． 解析　(1)由0,1,2,3,4,5组成的没有重复数字且能被5整除的五位数，个位数字只能是0或5，万位不能是0. 当个位数字是0时，共有A＝120(种)情况； 当个位数字是5时，共有AA＝96(种)情况． 因此由0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数的个数是120＋96＝216.故选C项． 答案　C (2)①元素分析法：甲、乙为特殊元素，故先安排甲、乙在两边，有A种排法，再安排其余5人，有A种排法，根据分步乘法计数原理，共有AA＝240(种)排法． ②位置分析法：分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A种排法，然后再排其他位置，有A种排法，所以共有AA＝2 880(种)排法． 微专题 用方法·破解疑难 方法一　“捆绑法”解决相邻问题 相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列． 【例题1】 有3名女生、4名男生站成一排，女生必须相邻，男生也必须相邻，则不同的排法种数是(　　) A．72 B．96 C．144 D．288 [解析] 第一步，把3名女生看成一个整体，即一个对象，4名男生看成一个整体，即一个对象，两个对象排成一排有A种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A种，男生“内部”的排法有A种．故符合题意的排法共有AAA＝288(种)．故选D项． [答案] D [名师点评] 上述解题方法称为“捆绑法”，解题思路是先整体再局部，主要用于解决对象相邻问题．事实上，相邻问题是有限制条件的排列问题． 【练习1】 (1)6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲、乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法种数为(　　) A．24 B．36 C．48 D．60 (2)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有(　　) A．60种 B．48种 C．30种 D．24种 解析　(1)根据题意，完成这件事可分三步：第一步，将甲、乙两本书摆放在两端，有A种摆法；第二步，将丙、丁两本书看成一个整体，考虑两本书的顺序有A种摆法；第三步，将丙、丁这个整体与另外2本书全排列，摆放在中间的3个位置，有A种摆法．根据分步乘法计数原理，共有AAA＝2×2×6＝24(种)不同的摆放方法．故选A项． (2)首先，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，考虑B，C两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，利用捆绑法可得4A种，接下来，考虑其余三人的情况，其余位置可以互换，可得A种，最后根据分步乘法计数原理，得4×A×A＝48(种)．故选B项． 答案　(1)A　(2)B 方法二　“插空法”解决不相邻问题 不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中． 【例题2】 5位母亲带领5名儿童站成一排照相，儿童不相邻的站法有(　　) A．86 400种 B．85 400种 C．84 400种 D．83 400种 [解析] 第1步，先排5位母亲的位置，有A种排法； 第2步，把5名儿童插入5位母亲所形成的6个空位中，如下所示： ______母亲______母亲______母亲______母亲______母亲______，共有A种排法． 根据分步乘法计数原理，符合条件的站法共有AA＝86 400(种)．故选A项． [答案] A [名师点评] 上述解题方法称为“插空法”，主要用于解决元素不相邻问题．事实上，“儿童不相邻”即元素的排列是有限制条件的，因此也是有限制条件的排列问题． 【练习2】 (1)为防范社会风险，更好地服务群众，某地公安局推出社区民警“驻村”工作模式，要求民警每周一到周五，把值班地点挪到村子中，该地某派出所计划下周的周一到周五派出本所甲、乙等5名优秀民警轮流“驻村”，每名民警安排1天值班，则甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有(　　) A．58种 B．60种 C．72种 D．78种 (2)若4名演讲比赛获奖的学生和3名指导教师站在一排拍照，则其中任意2名教师不相邻的站法有______种(用数字作答)． 解析　(1)排除甲、乙外的3人值班有A种方法，在4个空隙中取2个空隙插入甲、乙有A种方法，所以甲、乙两名民警不能相邻值班的排法有AA＝72(种)．故选C项． (2)根据题意，分两步分析：先将4名演讲比赛获奖的学生全排列，有A＝24(种)站法，站好后有5个空位，在其中选三个空位，安排指导教师，有A＝60(种)情况．根据分步乘法计数原理，共有24×60＝1 440(种)符合题意的站法． 答案　(1)C　(2)1 440 方法三　“整体法”解决定序问题 对于定序问题，可先不考虑顺序限制直接排列，再除以定序元素的全排列即可． 【例题3】 书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不变，则不同的插法种数为(　　) A．60 B．120 C．336 D．504 [解析] 方法一　新买3本书后，书架上共8本书，这8本书的不同排法有A种，而原有的5本书对应的不同排法有A种，所以不同的插法种数为＝A＝336.故选C项． 方法二　将新买的3本书逐一插进去：第1本书插入5本书形成的6个空隙中的1个，有6种插法；第2本书插入6本书形成的7个空隙中的1个，有7种插法；最后1本书插入7本书形成的8个空隙中的1个，有8种插法．根据分步乘法计数原理，不同的插法种数为6×7×8＝336.故选C项． [答案] C [名师点评] 上述方法一称为“整体法”，“整体法”是解决定序问题的基本方法，解决此类问题时要先分清元素特征，再进行排列． 【练习3】 (1)某中学为迎接新年到来，筹备“唱响时代强音，放飞青春梦想”为主题的元旦文艺晚会．晚会组委会计划在原定排好的5个学生节目中增加2个教师节目，若保持原来5个节目的出场顺序不变，则增加的2个教师节目有______种不同的排法(用数字作答)． (2)有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有______种排法． 解析　(1)在5个学生节目中增加2个教师节目，共有7个节目，把7个节目看成有顺序的7个位置，将这7个位置挑出2个位置安排给2个教师节目，共有A＝42(种)安排方法，再将剩下的5个位置安排给5个学生节目，因原来5个学生节目的出场顺序不变，故只有1种安排方法，故共有42×1＝42(种)不同的排法． (2)方法一　7名学生的排列方法共有A种，其中女生的排列方法有A种，从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故不同的排法共有＝A＝840(种)． 方法二　设想有7把椅子让4名男生去坐，共有A种方法，3名女生坐剩余的空位，3名女生从左到右，从矮到高的排列只有一种，故不同的坐法共有A＝840(种)． 答案　(1)42　(2)840 1．从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有(　　) A．11种 B．15种 C．30种 D．36种 答案　C 解析　从6名同学中选出正、副组长各1名，不同的选法有A＝30(种)．故选C项． 2．用数字2,3,4,5,6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　) A．120 B．72 C．60 D．48 答案　B 解析　由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在2,4,6中任选一个数，有3种选择，其他数位任意排列，根据分步乘法计数原理，所求偶数的个数为3A＝3×24＝72.故选B项． 3．小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排，则小明的父母都与他相邻的排法共有______种(用数字作答)． 解析　小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A＝2(种)排法，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A＝6(种)排法，此时共有2×6＝12(种)不同的排法． 答案　12 4．排一张5个独唱和3个合唱的节目单，如果合唱节目不排两头，且任何两个合唱不相邻，符合条件的排法共有________种(用数字作答)． 解析　第一步，先排两头，从5个独唱节目中选2个排两头，有A种排法；第二步，排其余的3个独唱节目，然后把3个合唱节目插入到3个独唱节目产生的4个空位中，有AA种排法．根据分步乘法计数原理，符合条件的排法共有AAA＝2 880(种)． 答案　2 880 学科网（北京）股份有限公司 $$