6.2.1 6.2.2 第1课时 排列与排列数（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

6．2　排列与组合 6．2.1　排　列 6．2.2　排列数 课标要求 学法指导 1．通过实例，理解排列的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式. 1．注意区分“排列数”与“一个排列”这两个概念． 2．排列的基础是分步乘法计数原理，排列数公式的推导过程是分步乘法计数原理的一个重要应用，要能利用排列数公式进行排列数的运算及排列数恒等式的简单证明． 3．对于排列的应用题，其解法没有明显的规律，解题时往往可以从多种途径考虑，因此要重视对排列问题解题策略的累积． 4．通过学习排列的概念、排列数公式的应用与计算，发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　排列与排列数 问题导入 在学校奖学金发放仪式上，校长和两位获得特等奖学金的男女同学合影留念．师生三人站成一排，校长站在中间． 问题1：男生在校长左边和女生在校长左边的排法相同吗？ 提示　不相同． 问题2：有几种排法？ 提示　2种，男—师—女，女—师—男． 问题3：若获奖的是三位同学，这三人站成一排合影留念，有几种不同的排法？ 提示　6种，设三位同学分别是A，B，C，则排法是ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA. 微梳理 要点一　排列 1．定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．相同排列：两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 思考：(1)每一个排列中元素的位置是确定的吗？ (2)排列定义中的两个要素是什么？ 提示　(1)是，元素在排列中的位置不同排列也就不同． (2)一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定的顺序排列”． 要点二　排列数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示 全排列 n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，且A＝n×(n－1)×(n－2)×(n－3)×…×3×2×1 阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示 排列数公式 乘积式 A＝n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 性质 A＝n！, 0！＝1 备注 n，m∈N*，且m≤n 思考：(1)“得到从n个不同元素中取出m个元素的一个排列”的含义是什么？ (2)排列与排列数有何区别？ 提示　(1)包括两个方面：①从n个不同元素中取出m个元素；②按照一定的顺序排列． (2)“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数，是一种排法；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．(　　) (2)在排列的问题中，总体中的元素可以有重复．(　　) (3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数，123与321是不相同的排列．(　　) (4)若A＝10×9×8×7×6，则n＝10，m＝6.(　　) 解析　(1)错误．排列数是从若干个元素中取出若干个元素的排列的个数，所以排列数一定是整数． (2)错误．在排列问题中，总体中的元素不能重复． (3)正确．根据排列的定义可以判断123与321是不同的排列． (4)错误．在A中m表示连乘因数的个数，所以n＝10，m＝5. 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　排列的有关概念 【例题1】 判断下列问题是否是排列问题． (1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10这十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的出入方式有多少种？ (5)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ 解析　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的2个元素做加法时，与两个元素的位置无关，所以这不是排列问题． (2)是．由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数是横坐标，哪一个数是纵坐标的顺序有关，所以这是排列问题． (3)不是．因为从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会，只要求选出即可，不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．因为从一个门进，从另一个门出是有顺序的，所以这是排列问题． (5)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，有顺序之分，所以这是排列问题． 规律总结 判断一个问题是否为排列问题的依据 (1)判断一个问题是否为排列问题的依据是是否有顺序，有顺序且是从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列，否则就不是排列． (2)检验是否有顺序的方法就是变换其中两个元素的位置，看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序． 【变式1】 (1)(多选)下列问题是排列问题的是(　　) A．求从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组的方法种数 B．求从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动的方法种数 C．求从a，b，c，d中选出3个字母的方法种数 D．求从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数的个数 (2)下列问题哪些可归结为排列问题(不要求计算)? 从4个数字3,5,7,9中每次取出两个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为对数的底数，一个为对数的真数；⑥一个为被开方数，一个为根指数． 解析　(1)对于A项，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组，与顺序有关，是排列问题；对于B项，从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，只要求选出即可，不是排列问题；对于C项，从a，b，c，d中选出3个字母，只要求选出即可，不是排列问题；对于D项，从1,2,3,4,5中取出2个数字组成两位数，需要先选出再排序，是排列问题．故选AD项． 答案　AD (2)从4个不同的数字中，每次取出两个相加、相乘的时候，两个数字交换顺序不影响运算结果，即与元素的顺序无关，所以①③不是排列问题； 相减，相除，一个为对数的底数、一个为对数的真数，一个为被开方数、一个为根指数，进行上述四种操作，两个数字一旦交换顺序，产生的结果就会不同，即与顺序有关，所以②④⑤⑥是排列问题． 探究二　排列数的计算公式 【例题2】 (1)＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 (2)设m∈N*，则乘积m(m＋1)(m＋2)·…·(m＋20)可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 解析　(1)因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.故选D项． (2)由排列数公式可知，A＝(m＋20)(m＋19)·…·(m＋1)m.故选D项． 答案　(1)D　(2)D 规律总结 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [注意] A中隐含了3个条件：①m，n∈N*；②m≤n；③A的运算结果为正整数． 【变式2】 (1)4×5×6×…×(n－1)×n＝(　　) A．A B．An C．(n－4)! D．An (2)已知A－A＝10，则n的值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (3)满足不等式>12的n的最小值为____. 解析　(1)从4,5，…到n共n－4＋1＝n－3(个)数，所以根据排列数公式，4×5×6×…×(n－1)×n＝A.故选D项． (2)A－A＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得2n＝10，所以n＝5.故选B项． (3)由排列数公式得>12，即(n－5)·(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，又n∈N*，所以n的最小值为10. 答案　(1)D　(2)B　(3)10 探究三　用列举法解决排列问题 【例题3】 (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个组成两位数，可以组成哪些两位数，一共可以组成多少个？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列． 解析　(1)由题意画树状图，如图所示． 故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个． (2)由题意画树状图，如图所示． 故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb. 规律总结 利用树状图解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：适用于解决排列元素个数不多的问题． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列． 【变式3】 (1)A，B，C三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 (2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有____种机票． 解析　(1)列举如下：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．故选C项． (2)列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． 答案　(1)C　(2)12 ,) 1．9×10×11×…×20可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A 答案　C 解析　A＝20×19×18×…×(20－12＋1)＝20×19×18×…×9.故选C项． 2．(多选)下列问题属于排列问题的有(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作为logab中的底数与真数 D．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 答案　AC 解析　由题可知，A，C项中元素的选取有顺序，B，D项中元素的选取无顺序，由此可判断出A，C项是排列问题．故选AC项． 3．从a，b，c，d这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列有(　　) A．7个 B．8个 C．12个 D．24个 答案　C 解析　画出树状图如图所示，因此所有的排列为ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc，共12个．故选C项． 4．计算：＝______. 解析　方法一　 ＝ ＝ ＝. 方法二　＝＝＝. 方法三　＝ ＝ ＝ ＝. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $$