6.4.3 第1课时 余弦定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第一课时　余弦定理 [学习目标] 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理(重点).2.发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点一　余弦定理 余弦 定理 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于__其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍__ 公式 表达 a2＝__b2＋c2－2bccos_A__， b2＝__a2＋c2－2accos_B__， c2＝__a2＋b2－2abcos_C__ 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝， b2＋c2－a2＝2bccos A， a2＋c2－b2＝2accos B， a2＋b2－c2＝2abcos C 要点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边__a__，__b__，__c__叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__解三角形__. 要点三　余弦定理在解三角形中的应用 余弦定理可解决两类问题： (1)已知__两边及一角__，求第三边和其他两角； (2)已知__三边__，求各角． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形．(　　) (2)在△ABC中，若BC2>AC2＋AB2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (3)在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一．(　　) (4)勾股定理是余弦定理的特殊情况．(　　) 解析　(1)正确，余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适用于任何三角形． (2)正确，当BC2>AC2＋AB2时，cos A＝<0.因为0<A<π，所以A一定为钝角，所以△ABC为钝角三角形． (3)错误，当已知△ABC的两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边且唯一，因此△ABC唯一确定． (4)正确，当角C为直角时，cos C＝0，所以c2＝a2＋b2，所以勾股定理是余弦定理的特殊情况． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　已知两边及一角解三角形 规律总结　 (1)在已知两边及一角求第三边时，直接利用余弦定理求解即可． (2)在已知两边及其夹角求角时，要先用余弦定理求出第三边，再用余弦定理的推论求解． 【例题1】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝2，C＝15°，解三角形． 解析　易知cos 15°＝cos(45°－30°)＝， 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×(＋)＝8－4， 所以c＝＝－. 所以cos A＝＝. 又0°＜A＜180°，所以A＝30°， 所以B＝180°－A－C＝180°－30°－15°＝135°. 【变式1】 在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 答案　D 解析　设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理得19＝a2＋4－2×2×a×cos 120°，即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)，故BC＝3.故选D项． 探究二　已知三边解三角形 规律总结　 已知三边解三角形的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为零，角为直角；值为负，角为钝角，结果唯一．若已知三边的关系，要看是否可以整体代入得到角的余弦值；若已知三边的比例关系，可以直接利用余弦定理求出角的余弦值，因为余弦定理变形式本身也是一个齐次的分式． 【例题2】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形． 解析　由题意和余弦定理的推论可以得到cos A＝＝＝.又0°<A<180°，所以A＝45°.同理可得B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°. 【变式2】 (1)在△ABC中，已知AB＝7，BC＝5，AC＝6，则·＝(　　) A．19 B．－14 C．－18 D．－19 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析　(1)设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a＝5，b＝6，c＝7，cos B＝＝＝，所以·＝7×5×＝－19.故选D项． (2)因为(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝，所以A＝60°.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 探究三　应用余弦定理判断三角形的形状 规律总结　 应用余弦定理判断三角形的形状，主要有两种途径： (1)化角为边，并常用余弦定理进行边角转换． (2)直接根据余弦定理的形式进行判断，判断时经常用到的结论： ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2； ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. 【例题3】 (1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a∶b∶c＝3∶5∶7，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2acos B＝c，则△ABC的形状是________． 解析　(1)由题意设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于c>b>a，故角C是△ABC中最大的角．因为cos C＝＝＝－<0，所以C>90°，即△ABC是钝角三角形．故选C项． (2)由题设和余弦定理的推论得2×＝，化简得a2－b2＝0，即a＝b.所以△ABC是等腰三角形． 答案　(1)C　(2)等腰三角形 【变式3】 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状． 解析　将余弦定理的推论cos A＝，cos B＝，cos C＝，代入已知条件的方程中得a·＋b·＋c·＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形． 1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c＝(　　) A． B．8 C．10 D．7 答案　D 解析　由余弦定理得c2＝92＋(2)2－2×9×2×cos 150°＝147，所以c＝7.故选D项． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2＋bc，则A＝(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 答案　C 解析　由题意可得cos A＝＝－.又0°<A<180°，所以A＝120°.故选C项． 3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 答案　B 解析　方法一　由题意设a＝2，b＝3，c＝4，则cos C＝＝＝－<0，又0°<C<180°，故C为钝角，因此△ABC是钝角三角形．故选B项． 方法二　由题意设a＝2，b＝3，c＝4，则a2＋b2<c2，因此△ABC是钝角三角形．故选B项． 4．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为 (　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 答案　B 解析　因为sin2＝，所以＝，即cos A＝＝，化简得a2＋b2＝c2，由勾股定理知△ABC为直角三角形．故选B项． 学科网（北京）股份有限公司 $$