6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第三课时　余弦定理、正弦定理应用举例 [学习目标] 1.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题(难点).2.发展数学建模和数学运算的核心素养． 要点一　基线 1．定义：在测量过程中，根据__测量__的需要而确定的线段叫做基线． 2．性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__基线长度__，使测量具有较高的__精确度__.一般来说，基线越长，测量的精确度越__高__. 要点二　在测量中的专业术语与含义 1．坡角：坡面与水平面的夹角，如图1中的角α. 　　 　　 图1　　　　　 　　　图2 2．仰角和俯角：在同一铅垂平面内的视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角，如图2所示． 3．方位角：指从__正北__方向__顺时针__转到目标方向线所成的角．如图3所示，点B的方位角为α. 　　 　　　　　　 图3　　　　　　　　　图4 4．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图4所示． 要点三　解三角形应用题的基本思路和步骤 1．解三角形应用题的基本思路 实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解． 2．解三角形应用题的步骤 (1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语． (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出． (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答． (4)还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位，近似计算的要求等． 思考：正弦定理、余弦定理能帮助我们解决哪些类型的测量问题？ 提示　理论上分析，由于正弦定理、余弦定理能够帮助我们求解三角形，因此凡是能够构造出三角形的测量问题都能通过正弦定理和余弦定理来解决．一般地，我们常用它们来解决距离的测量、高度的测量和角度的测量等问题． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)精确度的高低与基线的长短无关．(　　) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)方位角和方向角是一样的．(　　) (4)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α＋β＝90°.(　　) 解析　(1)错误，测量的精确度的高低与基线的长短有关，基线越长，测量的精确度越高． (2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得． (3)错误，方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)． (4)错误，根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，则α＝β. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　 测量距离问题 解题技巧　当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离常见的类型． (1)两点间可视但不可到达(如图1)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB； (2)两点都不可到达(如图2)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，用余弦定理求出Ab. 【例题1】 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，则A，B两点间的距离为________(用含a的式子表示)． 解析　由题意可知，在△ACD中，CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，所以△ACD是正三角形，所以AC＝A. 因为∠BCD＝30°，∠BDC＝105°， 所以∠CBD＝45°. 在△BCD中，由正弦定理可以得到BC＝＝＝A. 在△ABC中，∠ACB＝30°，由余弦定理可以得到AB＝＝A. 答案　a 【变式1】 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D． m 答案　A 解析　由正弦定理得＝，又因为∠ABC＝180°－105°－45°＝30°，所以AB＝＝＝50(m)．故选A项． 探究二　测量高度问题 误区防错　解决测量高度问题时的注意点 (1)要清楚仰角与俯角的区别及联系． (2)测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决． (3)要注意“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此要先选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (4)注意“解直角三角形”与“解斜三角形”的结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 【例题2】 如图，小明同学为了估算某教堂的高度，在该教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高度为15(－1) m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算该教堂的高度为________m. 解析　在Rt△ABM中，sin 15°＝， 即＝，解得AM＝30. 在△ACM中，∠CAM＝45°，∠CMA＝105°，∠ACM＝30°，则＝，即＝，解得CM＝60. 在Rt△CDM中，sin 60°＝，即＝，解得CD＝30，故该教堂的高度为30 m. 答案　30 【变式2】 厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼与裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素．小明计划测量双子塔甲塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为26.3°，再到正上方距家42 m的天台上，测得塔尖的仰角为22.3°，塔底的俯角为10.8°，则甲塔的高度约为________m(结果精确到个位，参考数据：sin 4°≈0.07，sin 33.1°≈0.55，sin 63.7°≈0.90，sin 79.2°≈0.98)． 解析　如图，设A为小明的家，B为天台，塔高为CD，过点A，B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F.由题意得AB＝42，∠CAE＝26.3°，∠CBF＝22.3°，∠FBD＝10.8°，所以∠ABC＝90°＋∠CBF＝112.3°，∠BAC＝90°－∠CAE＝63.7°，所以∠ACB＝4°.在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，解得BC＝540.在△BCD中，∠BDC＝90°－10.8°＝79.2°，∠CBD＝22.3°＋10.8°＝33.1°，由正弦定理得＝，即＝，解得CD≈303.故甲塔的高度约为303 m. 答案　303 探究三　 测量角度问题 规律总结　 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题，基本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)理解题意，分析已知与所求，画出正确的示意图； (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解． 【例题3】 如图，某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以15 km/h的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A市南偏东方向距A市75 km的B处有一艘小艇，小艇与海岸距离为45 km，若小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员． (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角． 解析　(1)如图，设小艇以v km/h的速度从B处出发，沿BD方向行驶，t小时后与运动员在D处相遇． 在△ABD中，AB＝75，AD＝15t，BC＝45，故sin∠BAD＝＝，cos∠BAD＝. 由余弦定理求得BD2＝AD2＋AB2－2AB·ADcos∠BAD， 则v2t2＝(15t)2＋752－2×75×15t×， 整理得v2＝－＋225＝5 625＋81＝5 6252＋81， 当＝，即t＝时，v＝81，故vmin＝9， 即小艇至少以9 km/h的速度从B处出发才能追上运动员． (2)当小艇以9 km/h的速度从B处出发，经过时间t＝小时追上运动员， 故BD＝9×＝56.25， AD＝15×＝93.75， 由正弦定理得＝，解得sin∠ABD＝1，故∠ABD＝90°， 即小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB的夹角为90°. 【变式3】 如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2 n mile的C处为我方缉私船，奉命以10 n mile/h的速度追截走私船，此时走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，请问缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间． 解析　设缉私船应沿CD方向行驶t h，才能最快在D处截获走私船，则CD＝10t n mile，BD＝10t n mile. 在△ABC中，因为BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝(－1)2＋22－2(－1)×2cos 120°＝6，所以BC＝. 因为＝， 所以sin∠ABC＝ ＝＝， 所以∠ABC＝45°，所以点B在点C的正东方向上， 所以∠CBD＝90°＋30°＝120°. 在△BCD中，＝， 所以sin∠BCD＝ ＝＝， 所以∠BCD＝30°. 由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°， 所以BD＝BC，即10t＝，所以t＝ . 故缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，所需时间为 h. 1．若点P在点Q的北偏东44°50′方向上，则点Q在点P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．东偏北45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 答案　C 解析　如图，点Q在点P的南偏西44°50′方向上．故选C项． 2．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C的北偏东30°方向上，B在C的南偏东60°方向上，则A，B之间的距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km 答案　A 解析　因为在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以 AB＝＝A.故选A项． 3．如图，B，C，D三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200 m，点C位于BD上，则山高AB＝(　　) A．100 m B．50(＋1) m C．100(＋1) m D．200 m 答案　C 解析　设AB＝x m，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x m．在Rt△ABD中，∠D＝30°，所以BD＝x，因为BD－BC＝CD，所以x－x＝200，解得x＝100(＋1)．故选C项． 4．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________. 解析　由题意可得h甲＝20tan 60°＝20(m)，h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)． 答案　20 m， m 学科网（北京）股份有限公司 $$