6.4.1 6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 [学习目标] 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用(难点).2.发展数学建模、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点一　平面几何中的向量方法 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用__向量__表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__向量问题__； (2)通过__向量运算__，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“__翻译__”成几何关系． 2．平面几何中证明问题的具体转化方法 (1)证明线段AB＝CD，可转化为证明2＝2. (2)证明线段AB∥CD，只需证明存在一个实数λ≠0，使　＝λ　成立． (3)证明两线段AB⊥CD，只需证明数量积·＝__0__. (4)证明A，B，C三点共线，只需证明存在一个实数λ≠0，使＝　λ(或λ)　. 3．平面向量及三角形的“四心” 设O为△ABC所在平面内一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则 (1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||. (2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0. (3)O为△ABC的垂心(三角形三边高的交点)⇔·＝·＝·. (4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0. 要点二　向量在物理中的应用 向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．在解决具体问题时要明确和掌握用向量研究物理问题的相关知识． (1)力、速度、加速度、位移都是向量． (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减法． (3)动量mv就是质量m与速度v的积． (4)功的定义即是力F与所产生的位移s的数量积F·s. 思考：用向量法解答物理问题的过程中，在给出答案时除了要考虑向量本身的意义，还要考虑什么？ 提示　还要考虑所给出的结果是否满足实际意义． 探究一　向量在几何中的应用 规律总结　 将平面几何问题转化为向量问题后，可以用向量运算，也可以用向量的坐标运算．利用坐标法解决几何问题的一般步骤：①建立平面直角坐标系；②设出相关点的坐标；③求出有关向量的坐标；④利用向量的运算求出结果；⑤作出结论． 【例题1】 (1)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. (2)已知E为△ABC内一点，若＋2＋3＝0，△EBC，△ABC的面积分别为S′，S，求证：S＝6S′. 证明　(1)方法一　由题意可得AE＝AB，BF＝BC＝Ad.设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.故⊥，即AF⊥DE. 方法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝2×1＋1×(－2)＝0，所以⊥，即AF⊥DE. (2)如图，设AC，BC边的中点分别为F，P，连接EF，EP. 因为＋2＋3＝0，所以＋＝－2(＋)， 所以2＝－4，即＝－2，所以F，E，P三点共线． 设点E，F到BC的距离分别为d1，d2， 则d1∶d2＝1∶3. 设点A到BC的距离为d3.因为F是AC的中点，所以d2∶d3＝1∶2，所以d1∶d3＝1∶6，所以S′∶S＝d1∶d3＝1∶6，即S＝6S′. 【变式1】 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，四边形PECF是矩形． (1)求证：PA＝EF； (2)求证：PA⊥EF. 证明　(1)以D为坐标原点，DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设正方形的边长为1，||＝λ(0<λ<)，则A(0,1)，C(1,0)，P，E，F，所以＝，＝，所以||2＝λ2－λ＋1，||2＝λ2－λ＋1，所以||2＝||2，所以PA＝EF. (2)因为·＝－λ＋＝－λ2＋λ－λ＋λ2＝0，所以⊥，即PA⊥EF. 探究二　向量在物理中的应用 答题模板　用向量解答物理问题的一般步骤： (1)建模，把物理问题转化成数学问题； (2)解模，解答得到的数学问题； (3)回答，利用解得的数学答案解释物理现象． 【例题2】 (1)某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|＞|v2|)，则逆风行驶时的速度大小为(　　) A．v1＋v2 B．v1－v2 C．|v1|＋|v2| D．|v1|－|v2| (2)一质点受到平面上三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　) A．6 B．2 C．2 D．2 解析　(1)A，B项表示的是向量(速度)，C，D项表示的是向量模的运算(速度的大小)．|v1|＋|v2|表示的是某人骑自行车顺风行驶时的速度大小，|v1|－|v2|表示的是某人骑自行车逆风行驶时的速度大小．故选D项． (2)因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，所以|F3|＝2.故选D项． 答案　(1)D　(2)D 【变式2】 已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，F的大小为50 N，一个重80 N的木块受力F的作用在摩擦系数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m，求力F和摩擦力f所做的功． 解析　设木块的位移为s，则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×＝500(J)，F在竖直方向上的分力大小为F·sin 30°＝×50＝25(N)，所以摩擦力f的大小为|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，所以f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J)，则力F，f所做的功分别是500 J，－22 J. 1．(多选)在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是AB，AC的中点，则下列结论中错误的是(　　) A．＝ B．与共线 C．＝ D．与共线 答案　ABC 解析　由题意知，DE为△ABC的中位线，所以DE∥BC，所以与共线，故D项结论正确，不符合题意．易知A，B，C项的结论错误，均符合题意．故选ABC项． 2．在四边形ABCD中，·＝0且＝，则四边形ABCD是(　　) A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 答案　C 解析　由·＝0得AB⊥BC，又＝，所以AB与DC平行且相等，从而四边形ABCD是矩形．故选C项． 3．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，则河水的流速为(　　) A．2 km/h B．2 km/h C． km/h D．3 km/h 答案　A 解析　如图，设A为渔船，BC所在直线为对岸，AB＝4 km，实际航程为AC＝8 km，则∠BCA＝30°，|vAB|＝2 km/h，|vAC|＝4 km/h，所以|vBC|＝2 km/h.故选A项． 4．已知力F＝(2,3)作用于一个物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则力F对物体做的功为________． 解析　由题意知＝(－4,3)，所以力F对物体做的功W＝F·＝2×(－4)＋3×3＝1. 答案　1 学科网（北京）股份有限公司 $$