6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 [学习目标] 1.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角(重点).2.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件(重点).3.发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 要点一　平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__x1x2＋y1y2__，即两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__. 思考：向量数量积的坐标表示公式有什么特点？用时应注意什么？数量积坐标运算的作用是什么？ 提示　公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序，数量积坐标运算的作用是将数量积运算转化为代数运算． 要点二　两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b ⇔__x1x2＋y1y2＝0__. 要点三　用坐标表示的三个重要公式 1．向量的模的公式：设a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　. 3．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 的夹角为θ，则cos θ＝＝　　. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (2)若向量1＝(2,2)，2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝5.(　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(　　) (4)向量的夹角公式仅适用于两个非零向量．(　　) 解析　(1)错误，向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根． (2)正确，|F1 ＋F2|＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5. (3)错误，当x1y2－x2y1＝0时，a∥b，则向量a与b的夹角为0°或180°. (4)正确，分式的分母不能为零． 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 探究一　平面向量数量积的坐标运算 规律总结　 (1)数量积运算的两个途径：①先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算． ②先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算． (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，注意把握图形特征，并写出相应点的坐标即可求解；对于条件中未给出向量坐标的，可通过建系转化为坐标运算． 【例题1】 已知向量a＝(2,4)，b＝(1,2)． (1)求a·b； (2)若c＝(2，－1)，求(a·b)·c及a·(b·c)． 解析　(1)由题意可得a·b＝(2,4)·(1,2)＝2×1＋4×2＝10. (2)由(1)知a·b＝10，所以(a·b)·c＝10(2，－1)＝(20，－10)，而b·c＝(1,2)·(2，－1)＝1×2＋2×(－1)＝0，所以 a·(b·c)＝a·0＝0＝(0,0)． 【变式1】 (1)在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3,2)，则·＝________. (2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． 解析　(1)设AC，BD相交于点O，则＝＋＝＋＝＋＝(－1,2)．又＝(1,2)，所以·＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3. (2)以点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．设E(1，a)(0≤a≤1)，所以·＝(1，a)·(1,0)＝1，·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1，所以·的最大值为1. 答案　(1)3　(2)1　1 探究二　平面向量的模 规律总结　 (1)用字母表示的向量的模的运算：利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)用坐标表示的向量的模的运算：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝. 【例题2】 已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，求|2a－b|的最大值． 解析　由题意可知2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)，所以|2a－b|2＝(2cos θ－)2＋(2sin θ)2＝4cos2θ－4cos θ＋3＋4sin2θ＝7－4cos θ，所以|2a－b|＝≤＝2＋，当且仅当cos θ＝－1时，等号成立，所以|2a－b|的最大值为2＋. 【变式2】 (1)(2023·北京)已知向量a，b满足a＋b＝(2,3)，a－b＝(－2,1)，则|a|2－|b|2＝(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝________. 解析　(1)由题意可得|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)＝2×(－2)＋3×1＝－1.故选B项． (2)a＋b＝(x－1，y＋2)＝(1,3)，所以x＝2，y＝1，所以a＝(2,1)，所以a－2b＝(4，－3)，所以|a－2b|＝＝5. 答案　(1)B　(2)5 探究三　平面向量的夹角和垂直问题 规律总结　 (1)利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： ①求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． ②求模．利用|a|＝计算两向量的模． ③求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值． ④求角．由向量夹角的范围及cos θ的值求θ. (2)向量夹角θ的取值范围是[0，π]，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0；cos θ＝0只有一种情况，此时a⊥b. 【例题3】 (1)(2023·新课标Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1 (2)(2023·全国甲)已知向量a＝(3,1)，b＝(2,2)，则cos〈a＋b，a－b〉＝(　　) A． B． C． D． 解析　(1)因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)·(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D项． (2)因为a＝(3,1)，b＝(2,2)，所以a＋b＝(5,3)，a－b＝(1，－1)，则|a＋b|＝＝，|a－b|＝＝，(a＋b)·(a－b)＝5×1＋3×(－1)＝2，所以cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝.故选B项． 答案　(1)D　(2)B 【变式3】 已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角θ的余弦值； (2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值． 解析　(1)由题意得a·b＝4×(－1)＋3×2＝2.因为|a|＝＝5，|b|＝＝，所以cos θ＝＝＝. (2)a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)．因为(a－λb)⊥(2a＋b)，所以(a－λb)·(2a＋b)＝0，即7×(4＋λ)＋8×(3－2λ)＝0，解得λ＝，所以λ的值为. 1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.故选C项． 2．若a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b的夹角θ的余弦值为________. 解析　依题意得cos θ＝＝＝. 答案　 3．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则|a－2b|＝________. 解析　因为a＝(2,3)，b＝(－1,2)，所以a－2b＝(4，－1)， 所以|a－2b|＝＝. 答案　 4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则 k＝________. 解析　因为a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，所以a－c＝(3－k，－1)．因为(a－c)⊥b，所以(a－c)·b＝0，所以(3－k)×1＋(－1)×3＝0，所以k＝0. 答案　0 学科网（北京）股份有限公司 $$