6.3.2 6.3.3 6.3.4 平面向量的坐标表示（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 [学习目标] 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算(重点).3.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 要点一　平面向量的正交分解及坐标表示 1．正交分解的定义 把一个向量分解为两个__互相垂直__的向量，叫做把向量作正交分解． 2．向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量__分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝　xi＋yj　.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对__(x，y)__叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)． 3．向量的坐标表示 在向量a＝(x，y)的直角坐标平面中，__x__叫做a在x轴上的坐标，__y__叫做a在y轴上的坐标，　a＝(x，y)　叫做向量a的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)__，0＝(0,0)． 思考：(1)正交分解与平面向量基本定理有何联系？ (2)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？ 提示　(1)正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基底垂直时)． (2)区别：①表示形式不同，a＝(x，y)，点A(x，y)；②意义不同，点A(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，而向量a＝(x，y)表示向量的大小、方向．联系：当平面向量的起点在原点时，向量的坐标与终点的坐标相同． 要点二　平面向量的坐标运算 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R. 运算 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__和__ a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的__差__ a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__ 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 λa＝__(λx1，λy1)__ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的__终点__的坐标减去__起点__的坐标 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝__(x2－x1，y2－y1)__ 要点三　两向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. (1)由于规定零向量与任一向量平行，所以a∥b⇔x1y2－x2y1＝0对任意向量都成立． (2)特别地，当x2y2≠0时，我们有　a∥b　⇔　　＝　　，其文字表述是“两个向量平行的条件是__相应的坐标__成比例”． 思考：已知向量a＝(x，y)，与a共线的单位向量的坐标是什么？ 提示　设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±，其中正号、负号分别表示与a同向和反向． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．(　　) (3)若把向量平移到，则和的坐标相同．(　　) (4)两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)平行的条件x1y2－x2y1＝0可以写成＝.(　　) 解析　(1)正确，由平面向量的坐标表示的定义可得． (2)错误，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (3)正确，平面向量在平面内可自由平移． (4)错误，当x2y2≠0时，x1y2－x2y1＝0可以写成＝；当x2y2＝0时，x1y2－x2y1＝0不可以写成＝. 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 探究一　 平面向量的坐标表示 解题技巧　向量的坐标的求法 (1)平移法：把向量的起点移至坐标原点，终点坐标即为向量的坐标． (2)求差法：先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． 【例题1】 如图，向量a，b，c的坐标分别是________，__________，__________. 解析　将各向量分别向基底i，j所在的直线分解，则a＝－4i＋0·j，b＝0·i＋6j，c＝－2i－5j，所以a＝(－4,0)，b＝(0,6)，c＝(－2，－5)． 答案　(－4,0)　(0,6)　(－2，－5) 【变式1】 已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°. (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． 解析　(1)设点A(x，y)，则x＝4cos 60°＝2，y＝4sin 60°＝6，即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝－＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． 探究二　平面向量的坐标运算 规律总结　 平面向量的坐标运算的方法 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再根据向量线性运算的法则进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【例题2】 (1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求2a＋b，a－2b的坐标． (2)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求，，＋，－，2＋. 解析　(1)2a＋b＝2(－1,2)＋(3，－5)＝(1，－1)，a－2b＝(－1,2)－2(3，－5)＝(－7,12)． (2)因为A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以＝(7－4，5－6)＝(3，－1)，＝(1－4,8－6)＝(－3,2)，所以＋＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)，－＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2＋＝2(3，－1)＋(－3,2)＝(6，－2)＋＝. 【变式2】 (1)已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，c＝(5,2)，求6a＋b－2c. (2)在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点M，N分别是AB，AC的中点，点D是BC的中点，MN与AD交于点F，求的坐标． 解析　(1)因为a＝(3,2)，b＝(－1,3)，c＝(5,2)，所以6a＋b－2c＝6(3,2)＋(－1,3)－2(5,2)＝(18,12)＋(－1,3)－(10,4)＝(7,11)． (2)因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又D是BC的中点，所以＝(＋)＝.因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．所以＝－＝. 探究三　 向量共线的坐标运算 规律总结　 (1)向量共线的判定方法：①利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b；②利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解． (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． ①b≠0，a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系． ②x1y2－x2y1＝0.这是坐标运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征． ③当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误． 【例题3】 已知M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，且∥，求y的值． 解析　方法一　因为M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，所以＝(－1,1)，＝(－1，y－1)．因为∥，所以(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0，解得y＝2. 方法二　因为∥，故有且仅有一个实数λ，使＝λ.因为M(1,0)，N(0,1)，P(2,1)，Q(1，y)，所以＝(－1，1)，＝(－1，y－1)，所以(－1，y－1)＝λ(－1,1)＝(－λ，λ)．所以解得y＝2. 【变式3】 (1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行，平行时它们的方向相同还是相反？ (2)如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB的交点P的坐标． 解析　(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若ka＋b与a－3b平行，则－4(k－3)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.此时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，故ka＋b与a－3b反向．所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行且方向相反． (2)设＝t＝t(4,4)＝(4t,4t)， 则＝－＝(4t,4t)－(4,0) ＝(4t－4,4t)， ＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)． 由，共线的条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，所以＝(4t,4t)＝(3,3)． 所以点P的坐标为(3,3)． 探究四　三点共线问题 规律总结　 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，证明三点A，B，C共线的常用方法． (1)几何法：kAB＝kBc. (2)向量法：＝λ. (3)坐标法：＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x3－x2，y3－y2)，再利用∥的充要条件证明． 【例题4】 已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：A，B，C三点共线． 证明　因为＝－＝(4,8)，＝－＝(6,12)，所以＝，即与共线．又因为与有公共点A，所以A，B，C三点共线． 【变式4】 设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 解析　若A，B，C三点共线，则，共线．因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)，所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.所以当k的值为－2或11时，A，B，C三点共线． 1．若点A(1,1)，B(－1,1)，则向量＝(　　) A．(0,2) B．(2,0) C．(－2,0) D．(0，－2) C　 解析　由题意知＝(－1,1)－(1,1)＝(－2,0)．故选C项． 2．若a＝(2,3)，b＝(－3,1)，则a＋b＝(　　) A．(1，－4) B．(－1,4) C．(－1，－4) D．(4，－1) 答案　B 解析　a＋b＝(2,3)＋(－3,1)＝(－1,4)．故选B项． 3．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是________. 解析　依题意得a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6，4x－2)，因为a＋b与4b－2a平行，所以3(4x－2)－6(x＋1)＝0，解得x＝2.所以实数x的值是2. 答案　2 4．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC，已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则点D的坐标为________． 解析　由题意得四边形ABCD是平行四边形，在▱ABCD中，＝，所以－＝－，所以＝＋－＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0，－2)，即点D的坐标为(0，－2)． 答案　(0，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$