6.2.4 向量的数量积（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.2.4　向量的数量积 [学习目标] 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积(重难点).2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(重点).4.发展数学抽象、数学运算和逻辑推理的核心素养． 要点一　向量的数量积 1．向量的夹角 条件 已知两个__非零__向量a，b，O是平面上的任意一点 产生 过程 作向量＝a，＝b，则__∠AOB＝θ__叫做向量a与b的夹角 范围 0≤θ ≤π 特殊 情况 θ＝0 a与b__同向__ θ＝ a与b__垂直__，记作a⊥b θ＝π a与b__反向__ 2.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ 叫做向量a与b的__数量积__(或__内积__)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__. 3．向量的数量积的物理背景 如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的__功__W就等于力F与位移s的数量积，即　W＝F·s＝|F||s|cos θ　，其中θ是F与s的夹角． 思考：(1)向量的数量积运算结果和向量的线性运算结果有什么区别？ (2)可以把“a·b”写成“ab”或“a×b”吗？ 提示　(1)向量的数量积的运算结果是数量，只有大小，没有方向；向量的线性运算结果是向量，既有大小又有方向． (2)不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式． 要点二　投影与投影向量 1．如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量． 2．如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量． 3．(1)设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么向量a在向量b上的投影向量与e，a，θ之间的关系为：对于任意的θ∈[0，π]，都有＝　|a|cos θ e　. (2)|a|cos θ(|b|cos θ)为向量a在b上(b在a上)的投影的数量． 要点三　向量数量积的性质和运算律 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b ⇔　a·b＝0　. (3)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　；当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝＝. (4)cos θ＝　　. (5)|a·b|≤|a||b|. 2．向量数量积的运算律 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝　b·a　(交换律)； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝　a·(λb)　(结合律)； (3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) (3)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角．(　　) (4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) 解析　(1)错误，两个向量的数量积是实数． (2)错误，若a·b＝b·c＝0，则向量a，c不一定相等，它们可能只是都与b垂直的向量． (3)错误，若a·b＜0，则a与b的夹角可能为180°. (4)错误，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 探究一　求向量的数量积 规律总结　 求平面向量数量积的方法 (1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ，运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件． (2)运算律转化法：根据数量积的运算律，由(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d可得如下运算公式：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2；(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2. (3)利用向量的线性运算转化法：涉及平面图形中向量的数量积的计算时，要结合向量的线性运算，将未知向量转化为已知向量求解． 【例题1】 (1)如图，正△ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝________. (2)(2022·全国甲)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析　(1)因为△ABC是边长为的正三角形，所以|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，所以a·b＋b·c＋c·a＝××cos 120°×3＝－3. (2)由题意得a·b＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×1＋32＝11. 答案　(1)－3　(2)11 【变式1】 (1)已知向量a与b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝3，则a·b＝________；(a＋2b)·(a－b)＝________. (2)在△ABC中，M，N分别为AB，BC的中点，AB＝AC＝4，·＝8，则·的值为________. 解析　(1)由已知可得a·b＝|a||b|cos θ＝1×3×cos 60°＝，(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝1＋－2×9＝－. (2)由题意可作出如图所示的示意图．由M为AB的中点，得＝－2，由N为BC的中点，得＝(＋)，则·＝(＋)·(＋)＝·(＋)＝·(＋)＝2－2－·＝4－8－2＝－6. 答案　(1)　－　(2)－6 探究二　向量的模 解题技巧　解决与向量的模有关问题的基本思路 a·a＝a2＝|a|2或|a|＝是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据．根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化． 【例题2】 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求下列各式的值． (1)|a＋b|； (2)|3a－4b|； (3)|(a＋b)·(a－2b)|. 解析　由已知得a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. (1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，所以|a＋b|＝2. (2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，所以|3a－4b|＝4. (3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 【变式2】 (1)设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为－b，则|a－b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 (2)若向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________. 解析　(1)因为a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为－b，所以·＝(a·b)·b＝－b，则a·b＝－，所以|a－b|＝＝＝＝.故选C项． (2)由|a－b|＝5得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，因为|a|＝3，a·b＝1，所以32－2×1＋|b|2＝25，所以|b|＝3. 答案　(1)C　(2)3 探究三　向量的夹角 解题技巧　用数量积求向量的夹角应注意的问题 (1)平面向量a，b的夹角θ的求解步骤：①计算a·b，|a|，|b|；②计算cos θ＝；③借助θ∈[0，π]求出θ的值． (2)数量积大于0说明两向量的夹角为锐角或0，数量积等于0说明两非零向量的夹角为直角，数量积小于0说明两向量的夹角为钝角或π. 【例题3】 设m和n是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 解析　由|m|＝1，|n|＝1，其夹角为60°，得m·n＝，则|a|＝|2m＋n|＝＝＝，|b|＝＝＝，所以a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，所以θ＝120°，所以a，b的夹角为120°. 【变式3】 设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝，则a，b的夹角为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　设a与b的夹角为θ，由题意得(3a－2b)2＝7，所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝，即|a||b|cos θ＝，即cos θ＝.又 θ∈[0，π]，所以θ＝.所以a，b的夹角为.故选A项． 探究四　向量的垂直问题 规律总结　 两个非零向量的数量积为0是这两个向量互相垂直的充要条件．这一充要条件是解决向量垂直问题的重要工具，应用这一工具时需注意整体意识的应用，如将向量的线性组合视为一个向量，同时注意公式a2＝a·a＝|a|2的应用． 【例题4】 不共线向量a与b满足什么条件时，a＋b与a－b互相垂直？ 解析　若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)·(a－b)＝0，整理得a2＝b2，即|a|＝|b|.所以当向量a与b的模相等时，a＋b与a－b互相垂直． 【变式4】 已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角为60°，试问当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？ 解析　因为(ka－b)⊥(a＋2b)，所以(ka－b)·(a＋2b)＝0，即ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即k×52＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，所以k＝.所以当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直． 1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意知a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，即cos θ＝.又0≤θ≤π，所以θ＝.故选C项． 2．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，若(a－mb)⊥a，则实数m的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　D 解析　因为(a－mb)⊥a，所以(a－mb)·a＝a2－mb·a＝32－m×2×3×cos 60°＝9－3m＝0，解得m＝3.故选D项． 3．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝4，则·＝______，·＝______. 解析　由题意得||＝||＝4，||＝4，所以·＝4×4×cos 90°＝0，·＝4×4×cos 135°＝－16. 答案　0　－16 4．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝12，b方向上的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为________，投影的数量为________． 解析　因为cos θ＝＝(θ为a与b的夹角)，所以所求投影向量为|a|cos θ e＝e，投影的数量为|a|cos θ＝. 答案　e　 学科网（北京）股份有限公司 $$