6.2.3 向量的数乘运算（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.2.3　向量的数乘运算 [学习目标] 1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.2.理解两个平面向量共线的含义.3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义(重点).4.提升数学运算和数学抽象的核心素养． 要点一　向量的数乘运算 1．定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的__数乘__，记作　λa　，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝　|λ||a|　； (2)当__λ＞0__时，λa的方向与a的方向相同；当__λ＜0__时，λa的方向与a的方向相反． 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝　0　或λ0＝　0　；当λ＝－1 时，(－1)a＝－A. 2．运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝　(λμ)a　. (2)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　. (3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝　λ(－a)　，λ·(a－b)＝　λa－λb　. 3．向量的线性运算 向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a　±λμ2b. 练习：(多选)下列说法正确的是(　　) A．若λa＝0，则a＝0 B．2(a＋b)＋(a－3b)＝a－2b C．若|a|＝3，|b|＝，则|－2a|＝－6，|3b|＝ D．若a与b是相反向量，则5a与－4b的方向相同 答案　BD 解析　若λa＝0，则λ＝0或a＝0，故A项错误；2(a＋b)＋(a－3b)＝2a＋2b＋a－4b＝a－2b，故B项正确；若|a|＝3，|b|＝，则|－2a|＝6，|3b|＝，故C项错误；若a与b是相反向量，则5a与－4b的方向相同，故D项正确．故选BD项． 要点二　向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λA. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.(　　) (2)若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.(　　) (3)若两个非零向量a，b满足a＝kb(k≠0)，则a，b方向相同．(　　) (4)若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n.(　　) 解析　(1)错误，m＝0时不成立． (2)错误，b＝0时不成立． (3)错误，a与b共线，方向可能相同，也可能相反． (4)正确，因为m＝2n，所以m∥n. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 探究一　向量的线性运算 规律总结　 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．在进行向量的线性运算时，要注意三角形法则和平行四边形法则的应用． 【例题1】 计算下列各式． (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解析　(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝(4a＋16b－16a＋8b)＝(－12a＋24b)＝－2a＋4b. 【变式1】 化简：. 解析　原式＝ ＝ ＝＝a－b. 探究二　用已知向量表示其他向量 解题技巧　用已知向量表示其他向量的求解思路 (1)结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中． (2)结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示其他向量． (3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 【例题2】 已知△ABC的边BC上有一点D满足＝3，则可表示为(　　) A．＝－2＋3 B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ 答案　C 解析　如图，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.故选C项． 【变式2】 在平行四边形ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，G为EF的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 答案　D 解析　如图，连接DE.由题意得＝＋＝(＋)＋·＝＋＝－.故选D项． 探究三　向量共线定理的应用 规律总结　 (1)判断或证明A，B，C三点共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等有公共点的两向量)即可． (2)已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解． (3)若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，则存在实数λ，μ使＝λ＋μ，并且λ＋μ＝1. 【例题3】 已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线． 证明　因为＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝－＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，所以＝2，所以∥.因为AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线． 【变式3】 设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 解析　因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则所以λ＝. 答案　 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0a B．a＋3b C．|3a| D．20 答案　C 解析　根据数乘向量的定义可知0a,20都是向量；由向量线性运算的定义可知a＋3b是向量；|3a|表示向量3a的模，是实数．故选C项． 2．(多选)下列各式计算正确的有(　　) A．(－7)×6a＝－42a B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b C．a－2b＋a＋2b＝2a D．4(2a＋b)＝8a＋4b 答案　ACD 解析　A项正确，(－7)×6a＝－42a；B项错误，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a＋(7－8)b＝7a－b；C项正确，a－2b＋a＋2b＝2a；D项正确，4(2a＋b)＝8a＋4b.故选ACD项． 3．已知在△ABC中，BD是AC边上的中线，点O为BD的中点，若 ＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)． 解析　根据向量的线性运算，化简得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋－)＝－＋－＝＋＝a＋b. 答案　a＋b 4．已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，则实数k＝________. 解析　因为e1，e2不共线，所以向量a，b不为0.又因为a，b共线，所以存在实数λ，使a＝λb，即2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，所以所以 答案　－2 学科网（北京）股份有限公司 $$