6.2.1 向量的加法运算（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

6.2　平面向量的运算 　6.2.1　向量的加法运算 [学习目标] 1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算规则，理解其几何意义.2.发展数学抽象和数学运算的核心素养． 要点一　向量加法的定义及运算法则 定义 求__两个向量和__的运算，叫做向量的加法 运算 法则 三角 形法则 前提 已知非零向量a，b 作法 在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，再作向量 结论 向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 图形 平行 四边 形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b 作法 在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB 结论 以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 图形 规定 对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a 要点二　向量加法的运算律与有关不等式 1．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝　b＋a　. (2)结合律：a＋(b＋c)＝　(a＋b)＋c　. 2．向量加法的有关不等关系 (1)|a＋b|≤　|a|＋|b|　，当且仅当a，b__方向相同__或至少有一个为0时，等号成立． (2)||a|－|b||≤|a＋b|，当且仅当a，b__方向相反__或至少有一个为0时，等号成立． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量相加的结果可能是一个数量．(　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．(　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．(　　) (4)若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．(　　) (5)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．(　　) (6)在矩形ABCD中，＋＝＋.(　　) 解析　(1)错误，两个向量相加的结果仍然是向量． (2)错误，两个向量相加也要考虑方向． (3)错误，当两个向量共线时，两个向量的和向量与这两个向量共线． (4)错误，当a，b共线时，若a，b同向，则|a＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝||a|－ |b||；当a，b不共线时，|a＋b|<|a|＋|b|. (5)错误，当两个向量共线时，不能使用平行四边形法则求解． (6)错误，因为＋＝，＋＝＋＝，而在矩形ABCD中，＝不成立． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 探究一　向量加法的运算法则 解题技巧　向量求和的注意点 (1)三角形法则对于任何向量求和都适用，但要注意“首尾相连”． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则仅对于两个不共线的向量求和适用，且应用的前提是两向量共起点． (4)当涉及三个或三个以上的向量和时，一般用三角形法则求和更简单．【例题1】 (1)如图1，求作向量a＋b. (2)如图2，求作向量a＋b＋c. 解析　(1)如图，首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b即为所求． (2)如图，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 【变式1】 在如图所示的正五边形中，给出四个向量a，b，c，d. (1)求作向量a＋c； (2)求作向量b＋d. 解析　(1)如图1，设向量a的起点为O，终点为A，则＝a，再作＝c，则＝a＋c即为所求． (2)如图2，设向量b的起点为O1，终点为A1，则＝b，再作＝d，则＝b＋d即为所求． 探究二　向量加法的运算律 解题技巧　向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行． (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序． 【例题2】 化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 解析　(1)＋＝＋＝. (2)＋＋＝＋＋＝＋＝0. (3)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. 【变式2】 化简：(1)＋＋； (2)(＋)＋(＋)； (3)＋(＋)＋. 解析　(1)＋＋＝＋＋＝. (2)(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝. (3)＋(＋)＋＝＋＋＋＝0. 探究三　向量加法的实际应用 答题模板　应用向量加法解决实际应用 问题的基本步骤 (1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题． (2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，对有关向量进行运算，解答向量问题． (3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题． 【例题3】 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向. 解析　(1)如图，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为临边作▱ABCD，则表示船实际航行的速度． (2)在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，于是||＝＝＝≈16.2.因为tan∠CAB＝＝，所以∠CAB≈68°.因此，船实际航行速度的大小约为16.2 km/h，方向与江水速度间的夹角约为68°. 【变式3】 (1)(多选)一艘船以3 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为3 km/h，则船实际航行速度的大小和方向分别为(　　) A．速度的大小为3 km/h B．速度的大小为3 km/h C．方向与水流方向间的夹角为45° D．方向与水流方向间的夹角为90° (2)一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地，然后向C地飞行．已知C地在A地北偏东60°的方向处，且A，C两地相距300 km，则飞机从B地向C地飞行的方向及B，C间的距离分别为(　　) A．南偏东15°，300 km B．南偏东75°，300 km C．南偏东15°，300 km D．南偏东75°，300 km 解析　(1)设表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，表示水流速度，以AD，AB为邻边作▱ABCD，则就是船的实际航行速度．由题意知，在Rt△ABC中，||＝3，||＝3，所以||＝＝＝3，tan∠CAB＝＝1，所以∠CAB＝45°.所以船实际航行速度的大小为3 km/h，方向与水流方向间的夹角为45°.故选AC项． (2)如图，＝＋，∠BAC＝90°，||＝||＝300，所以||＝300，∠ABC＝45°.依题意得，A地在B地的南偏东30°的方向处，所以C地在B地的南偏东75°的方向处．所以飞机从B地向C地飞行的方向是南偏东75°，B，C两地间的距离为300 km.故选B项． 答案　(1)AC　(2)B 1．正方形ABCD的边长为1，则|＋|为(　　) A．1 B． C．3 D．2 答案　B 解析　正方形ABCD中，＋＝，所以|＋|＝||＝.故选B项． 2.＋＋＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　原式＝＋＋＋＝.故选A项． 3．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　在方格纸中作出＋，如图所示，由向量加法的运算法则和相等向量的概念可得＋＝.故选C项． 4．作用在同一物体上的两个力|F1|＝60 N，|F2|＝80 N，当它们的夹角为90°时，这两个力的合力大小为________N. 解析　如图所示，表示力F1，表示力F2， 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则是F1和F2的合力．在△AOC中，||＝60，||＝||＝80且OA⊥AC，所以||＝＝＝100.所以这两个力的合力大小为100 N. 答案　100 学科网（北京）股份有限公司 $$