6.1 平面向量的概念（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

第六章　平面向量及其应用 6.1　平面向量的概念 [学习目标] 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.发展数学抽象和直观想象的核心素养． 要点一　向量的定义与表示 1．向量的定义 在数学中，把既有__大小__又有__方向__的量叫做向量． 2．有向线段 具有__方向__的线段叫做有向线段，以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包含三个要素：__起点、方向、长度__. 3．向量的表示方法 (1)几何表示：向量可以用　有向线段　来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度||表示向量的__大小__，有向线段的方向表示向量的__方向__. (2)字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示，书写时必须加箭头，即为　　，　　，　　，…. 4．向量的长度 (1)定义：向量的__大小__称为向量的长度(或称模)． (2)表示：向量，a的长度分别记作　||，|a|　. 思考：(1)向量与数量有什么区别？ (2)向量就是有向线段吗？为什么？ 提示　(1)数量是一个代数量，只有大小没有方向，其大小可以用正数、负数、零来表示，可以比较大小，如长度、质量、面积、体积等；向量既有大小又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小． (2)不是．从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此向量和有向线段是两个不同的概念．向量可以平行移动，而有向线段是固定的线段．向量可以用有向线段来表示． 练习：给出下列物理量： ①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间． 其中不是向量的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案　C 解析　质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．故选C项． 要点二　向量的相关概念 1．特殊向量 (1)零向量：__长度为0__的向量叫做零向量，记作0. (2)单位向量：__长度等于1个单位长度__的向量，叫做单位向量． 2．相等向量与共线向量 (1)相等向量：长度__相等__且方向__相同__的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作　a＝b　. (2)平行向量：方向__相同或相反__的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做__共线向量__；向量a与b平行，记作　a∥b　；规定零向量与任意向量__平行__，即对于任意向量a，都有　0∥a　. 思考：向量平行与几何中的平行一样吗？ 提示　不一样．向量中的平行包括两种情况：一是表示向量的有向线段所在直线重合；二是表示向量的有向线段所在直线是两条平行直线．而几何中的平行不包括直线重合． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个向量能比较大小.(　　) (2)相等向量一定是共线向量.(　　) (3)共线向量一定是相等向量.(　　) (4)向量的模是一个正实数.(　　) 解析　(1)错误，两个向量不能比较大小． (2)正确，相等向量方向相同，所以是共线向量． (3)错误，共线向量方向可能相反，长度也可能不相等，所以共线向量不一定是相等向量． (4)错误，向量的模可能为0. 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 探究一　向量的有关概念 规律总结　 向量及有关概念的理解 (1)向量由大小和方向确定，与起点无关． (2)零向量是一种特殊的向量，零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． (3)单位向量是长度为1的向量，是一类向量的统称．单位向量不一定相等，容易忽略向量的方向． (4)当两共线向量的方向相同且模相等时，这两共线向量为相等向量． 【例题1】 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)温度有零上和零下之分，所以温度是向量； (2)0＝0； (3)共线向量就是平行向量； (4)若a，b为非零向量，且|a|＝|b|，则a＝b； (5)与是相同的向量； (6)若＝，则A，B，C，D四点一定构成平行四边形． 解析　(1)不正确，因为温度只有大小没有方向． (2)不正确，0表示的是向量，而0表示的是数量，二者有本质上的区别． (3)正确，平行向量也叫做共线向量． (4)不正确，|a|＝|b|表示的仅仅是两个向量的模相等，但方向是不确定的． (5)不正确，与表示的是长度相等，方向相反的两个向量，不是相同的向量． (6)不正确，A，B，C，D四点可能在同一条直线上． 【变式1】 (1)下列各量中，向量有：________(填写序号)． ①浓度；②年龄；③风力；④面积；⑤位移；⑥人造卫星的速度；⑦电量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度． (2)(多选)下列命题中，错误的是(　　) A．若|a|＜|b|，则a＜b B．长度相等的向量都相等 C．共线的单位向量可能相等 D．若a∥b，b∥c，则a∥c 解析　(1)向量是有大小有方向的量，故符合的有风力、位移、人造卫星的速度、向心力、加速度．故答案为③⑤⑥⑧⑩. (2)对于A项，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故A项错误；对于B项，长度相等的向量方向不一定相同，如单位向量，故B项错误；对于C项，共线的单位向量方向可能相同，也可能相反，故C项正确；对于 D项，b＝0时，a∥b，b∥c，但a与c不一定平行，故D项错误．故选ABD项． 答案　(1)③⑤⑥⑧⑩　(2)ABD 探究二　向量的表示 误区防错　向量与有向线段的区别与联系 (1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相等向量． (2)有向线段是表示向量的工具，它有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段． (3)用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点，必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量． 【例题2】 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)画出符合下列条件的向量． (1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°； (2)，使||＝4，点B在点A正东； (3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°. 解析　(1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量如图所示． (2)由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量如图所示． (3)由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量如图所示． 【变式2】 一辆汽车先从点A出发向西行驶了100 km到达点B，然后改变方向向西偏北50°方向行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达点d. (1)作出向量，，； (2)求||. 解析　(1)如图所示． (2)由题意，易知与方向相反，故与共线，即AB∥Cd.因为||＝||，所以在四边形ABCD中，AB綊CD，所以四边形ABCD为平行四边形，所以||＝||＝200 km. 探究三　 共线向量和相等向量 规律总结　 对共线向量和相等向量的理解 (1)共线向量仅仅指向量的方向相同或相反，相等向量指向量的大小和方向均相同． (2)任何一个向量和它本身是共线向量． (3)任何两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关． (4)对于向量来讲，平行与共线等价，而线段的平行与共线是严格区分开的． 【例题3】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. (1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与a共线的向量有哪些？ (3)请一一列出与a，b，c相等的向量． 解析　(1)与a的长度相等、方向相反的向量有，，，. (2)与a共线的向量有，，，，，，，，. (3)与a相等的向量有，，；与b相等的向量有，，；与c相等的向量有，，. 【变式3】 如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点． (1)写出与向量共线的向量； (2)求证：＝. 解析　(1)因为在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，CE∥AF，CE＝AF， 所以四边形AFCE为平行四边形，所以CF∥AE，所以与向量共线的向量为，，. (2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝Dc. 因为E，F分别是DC，AB的中点，所以ED∥BF且ED＝BF， 所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝FD，BE∥FD，故＝. 1．下面几个命题： (1)若a＝b，则|a|＝|b|； (2)若|a|＝0，则a＝0； (3)若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反； (4)若向量a，b满足则a＝b. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　对于(1)，相等向量的模相等，故(1)正确；对于(2)，向量a＝0，故(2)错误；对于(3)，当a，b中有一个为零向量时，其方向不确定，故(3)错误；对于(4)，a与b的方向可能相同，也可能相反，所以a与b不一定相等，故(4)错误．故选B项． 2．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，则向量，，，，，中与平行的向量有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案　C 解析　根据向量的基本概念可知，与平行的向量有，，，共3个．故选C项． 3．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝________. 解析　由勾股定理知BC＝＝，所以||＝. 答案　 4．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)． 解析　若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.故①③④都能使a∥b成立． 答案　①③④ 学科网（北京）股份有限公司 $$