2.4　三角形的中位线 同步练习 2024—2025学年湘教版数学八年级下册

2.4　三角形的中位线 知识点1　三角形的中位线定理 1.(2024·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为( ) A.6 B.5 C.4 D.3 2.(2024·长沙浏阳市期中)如图,为测量池塘边A,B两点的距离,小宇同学在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别是点D,E,且DE=18米,则A,B两点的距离是( ) A.9米 B.18米 C.36米 D.54米 3.如图,已知点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,△ABC的周长为12,则△DEF的周长是( ) A.6 B.7 C.8 D.10 4.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是( ) A.70° B.60° C.30° D.20° 5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,CE=3,▱ABCD的周长为20,则OE的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 知识点2　中点四边形 6.如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD和AD的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.则∠FEH的度数为 .  7.已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,且AC=BD,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).求证:EH=HG. 8.(2024·衡阳衡山县期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E.已知AB=3,BC=4,如果F是边BC的中点,连接EF,那么EF的长是( ) A.1 B.2 C.3 D.5 9.(2024·长沙岳麓区模拟)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°, ∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=8.则△PMN的周长是( ) A.10 B.12 C.16 D.18 10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AC,BD的中点,已知AB=12,CD=6,则EF= .  11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 .  12.(2023·长沙天心区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2 cm, E,F分别是AB,AC的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2 cm/s,连接PQ,设运动时间为t s(0<t<1),则当t= 时,△PQF为等腰三角形.  13.(2024·常德期中)如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,求∠FPE的度数. 14.(2024·邵阳邵东市期中)如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N. (1)试说明:FG=(AB+BC+AC); (2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并说明理由; (3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是 .  学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4　三角形的中位线 知识点1　三角形的中位线定理 1.(2024·长沙宁乡市期中)如图,在△ABC中,D和E分别为所在边的中点,若DE=3,则AC的长为(A) A.6 B.5 C.4 D.3 2.(2024·长沙浏阳市期中)如图,为测量池塘边A,B两点的距离,小宇同学在池塘的一侧选取一点O,测得OA,OB的中点分别是点D,E,且DE=18米,则A,B两点的距离是(C) A.9米 B.18米 C.36米 D.54米 3.如图,已知点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,△ABC的周长为12,则△DEF的周长是(A) A.6 B.7 C.8 D.10 4.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,点D,E分别是直角边AC,BC的中点,连接DE,则∠CED的度数是(B) A.70° B.60° C.30° D.20° 5.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是BC的中点,CE=3,▱ABCD的周长为20,则OE的长为(A) A.2 B.3 C.4 D.5 知识点2　中点四边形 6.如图,四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点O,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD和AD的中点,顺次连接EF,FG,GH和HE得到四边形EFGH.则∠FEH的度数为 　90°　.  7.已知:如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,且AC=BD,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).求证:EH=HG. 【证明】∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,∴HG为△ADC的中位线,所以HG∥AC且HG=AC;同理可得EH=BD,∵AC=BD,∴EH=HG. 8.(2024·衡阳衡山县期中)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,在边AC上截取AD=AB,连接BD,过点A作AE⊥BD于点E.已知AB=3,BC=4,如果F是边BC的中点,连接EF,那么EF的长是(A) A.1 B.2 C.3 D.5 9.(2024·长沙岳麓区模拟)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠DAB=50°, ∠CBA=70°,P,M,N分别是AB,AC,BD的中点,若BC=8.则△PMN的周长是(B) A.10 B.12 C.16 D.18 10.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,E,F分别是AC,BD的中点,已知AB=12,CD=6,则EF=　3　.  11.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点N是BC边上一点,点M为AB边上的动点,点D,E分别为CN,MN的中点,则DE的最小值是 　.  12.(2023·长沙天心区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=2 cm, E,F分别是AB,AC的中点,动点P从点E出发,沿EF方向匀速运动,速度为1 cm/s,同时动点Q从点B出发,沿BF方向匀速运动,速度为2 cm/s,连接PQ,设运动时间为t s(0<t<1),则当t=　2-或　时,△PQF为等腰三角形.  13.(2024·常德期中)如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,求∠FPE的度数. 【解析】∵在四边形ABCD中,点P是BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点, ∴FP,PE分别是△CDB与△DAB的中位线,∴PF=BC,PE=AD, ∵AD=BC,∴PF=PE,∴△EPF是等腰三角形. ∵∠PEF=30°,∴∠PEF=∠PFE=30°, ∴∠FPE=180°-∠PEF-∠PFE =180°-30°-30°=120°. 14.(2024·邵阳邵东市期中)如图1,BD,CE是△ABC的外角平分线,过点A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分别为F,G,连接FG,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N. (1)试说明:FG=(AB+BC+AC); (2)如图2,若BD,CE是△ABC的内角平分线,则线段FG与△ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想并说明理由; (3)如图3,若BD为△ABC的内角平分线,CE为△ABC的外角平分线,则线段FG与△ABC三边的数量关系是　　　　　　.  【解析】(1)∵BD⊥AF, ∴∠AFB=∠MFB=90°, 在△ABF和△MBF中 ∴△ABF≌△MBF(ASA),∴MB=AB, ∴AF=MF, 同理:CN=AC,AG=NG, ∴FG是△AMN的中位线, ∴FG=MN =(MB+BC+CN) =(AB+BC+AC). (2)FG=(AB+AC-BC). 理由:如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N, ∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB,在△ABF和△MBF中 ∵ ∴△ABF≌△MBF(ASA), ∴MB=AB,AF=MF, 同理:CN=AC,AG=NG, ∴FG=MN =(BM+CN-BC) =(AB+AC-BC), 故线段FG与△ABC三边的数量关系是FG=(AB+AC-BC). (3)如图,延长AF,AG,与直线BC相交于M,N, ∵AF⊥BD,∴∠AFB=∠MFB, 在△ABF和△MBF中, ∴△ABF≌△MBF(ASA), ∴MB=AB,AF=MF, 同理:CN=AC,AG=NG, ∴FG=MN =(CN+BC-BM) =(AC+BC-AB). 答案:FG=(AC+BC-AB) 学科网（北京）股份有限公司 $$