2.2.2　平行四边形的判定 同步练习 2024—2025学年湘教版数学八年级下册

2.2.2　平行四边形的判定 第2课时 知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.(2024·邵阳绥宁县期中)下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 2.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程. (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; (2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO; (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求. 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( ) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 3.如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形. 知识点2　平行四边形判定方法的综合运用 4.(2024·邵阳邵东市质检)如图,四边形ABCD中,AD=BC,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( ) A.AD∥BC B.∠A+∠B=180° C.∠A=∠C D.AB=CD 5.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起,则四边形ABCD为平行四边形,请你写出判断的依据 .  6.如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证: (1)AE=CF; (2)四边形AECF是平行四边形.(用两种方法证明) 7.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是( ) 8.(2023·邵阳邵阳县期末)下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是( ) A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 9.图1是某小区倾斜式停车位,图2是车位示意图,工人在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°. (1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积. 10.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下: 甲方案 乙方案 分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F 请回答下列问题: (1)以上方案能否得到四边形BEDF为平行四边形,请说明理由; (2)若EF=2AE,S△AED=6,求▱ABCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2　平行四边形的判定 第2课时 知识点1　对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.(2024·邵阳绥宁县期中)下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是(A) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 2.(2023·河北中考)综合实践课上,嘉嘉画出△ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作图过程. (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; (2)连接AO,在AO的延长线上截取OC=AO; (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为所求. 在嘉嘉的作法中,可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(C) A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 C.对角线互相平分 D.一组对边平行且相等 3.如图,AC,BD相交于点O,AB∥CD,AD∥BC,E,F分别是OB,OD的中点,求证:四边形AFCE是平行四边形. 【证明】∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F分别是OB,OD的中点, ∴OE=OB,OF=OD, ∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边形. 知识点2　平行四边形判定方法的综合运用 4.(2024·邵阳邵东市质检)如图,四边形ABCD中,AD=BC,下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(C) A.AD∥BC B.∠A+∠B=180° C.∠A=∠C D.AB=CD 5.将两块相同的含有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放在一起,则四边形ABCD为平行四边形,请你写出判断的依据　两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对角相等的四边形是平行四边形(写出一种即可)　.  6.如图所示,在▱ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,求证: (1)AE=CF; (2)四边形AECF是平行四边形.(用两种方法证明) 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF. (2)证法1:∵△ABE≌△CDF, ∴∠AEB=∠CFD, ∴∠AEF=∠CFE, ∴AE∥CF, ∵AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形. 证法2:如图,连接AC,与BD相交于点O. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. 又∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF, ∴OE=OF, ∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形). 7.依据所标数据,下列一定为平行四边形的是(D) 8.(2023·邵阳邵阳县期末)下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是(B) A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形 C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形 9.图1是某小区倾斜式停车位,图2是车位示意图,工人在绘制时保证AD=BC,∠A=60°,∠B=120°. (1)请判断四边形ABCD的形状,并说明理由; (2)若AD为6米,AB为2.8米,求停车位ABCD的面积. 【解析】(1)四边形ABCD是平行四边形,理由如下: ∵∠A=60°,∠B=120°, ∴∠A+∠B=180°, ∴AD∥BC,又∵AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形; (2)如图,过点C作CE⊥AB的延长线于点E, 由(1)可知,四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD=6米, ∵∠ABC=120°, ∴∠CBE=180°-120°=60°, ∴BE=BC=×6=3(米), 在Rt△BCE中,由勾股定理得:CE===3(米), ∴S▱ABCD=AB·CE=2.8×3=(平方米). 答:停车位ABCD的面积为平方米. 10.如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点.某数学学习小组要在AC上找两点E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现总结出甲、乙两种方案如下: 甲方案 乙方案 分别取AO,CO的中点E,F 作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F 请回答下列问题: (1)以上方案能否得到四边形BEDF为平行四边形,请说明理由; (2)若EF=2AE,S△AED=6,求▱ABCD的面积. 【解析】(1)甲方案可以,证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF, ∵O是对角线AC的中点, ∴AO=CO, ∵E,F分别是AO,CO的中点, ∴AE=AO,CF=CO, ∴AE=CF, 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(SAS), ∴BE=DF,∠AEB=∠CFD, ∵∠BEF=180°-∠AEB, ∠DFE=180°-∠CFD, ∴∠BEF=∠DFE, ∴BE∥DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 乙方案可以,证明:∵BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F, ∴BE∥DF,∠AEB=∠CFD=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠BAE=∠DCF, 在△ABE和△CDF中, ∴△ABE≌△CDF(AAS), ∴BE=DF, ∴四边形BEDF是平行四边形. (2)由(1)得△ABE≌△CDF, ∴AE=CF,∴AO-AE=CO-CF, ∴OE=OF,∴EF=2OE, ∵EF=2AE,∴OE=AE, ∴OE=AE=CF=OF, ∴S△ABC=S△ADC=4S△AED=4×6=24, ∴S▱ABCD=2×24=48. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2　平行四边形的判定 第1课时 知识点1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1.(教材再开发·P46练习T2改编)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形(平行四边形ABCD除外)共有(C) A.1个　 B.2个 C.3个　 D.4个 2.(2023·邵阳新邵县期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,在不添加辅助线的情况下,请你再添加一个条件　AB∥CD(答案不唯一)　(写出一个即可),则四边形ABCD是平行四边形.  3.把线段AB沿某一方向平移3个单位长度,该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是　平行四边形　.  4.在▱ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,AM=CN,连接DM,BN.求证:四边形MBND是平行四边形. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∵AM=CN,∴AB-AM=CD-CN,即BM=DN,又∵BM∥DN, ∴四边形MBND是平行四边形. 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.下面给出的是四边形ABCD中AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是(C) A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2 6.已知一个四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此四边形是(D) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 7.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是　平行四边形　.理由是　两组对边分别相等的四边形是平行四边形　.  8.(2024·邵阳邵东市期中)如图,在四边形ABCD中,AB=x-5,CD=11-x,AD=5,BC=x-3,对角线AC=4,AC⊥AB,求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°, ∴AB2+AC2=BC2, ∴(x-5)2+42=(x-3)2,解得x=8, ∴AB=3,CD=3,BC=5,∵AD=5, ∴DC=AB,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 9.(2023·长沙浏阳市期中)下列四组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的有(B) ①AB=CD,AD=BC;②AB=CD,AB∥CD;③AB=CD,AD∥BC;④AB∥CD,AD∥BC. A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④ 10.下面给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是(A) A.3∶4∶3∶4 B.3∶3∶4∶4　 C.2∶3∶4∶5 D.3∶4∶4∶3 11.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是(D) A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 12.(2024·邵阳期中)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以A,B,C,P四点为顶点组成一个平行四边形,则这个平行四边形的周长为　14或16或18　.  13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=15 cm,BC=10 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以3 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动,运动　2　 s时,四边形ABQP恰好是平行四边形.  14.如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形. 【证明】在△BEA和△DFC中, ∴△BEA≌△DFC(SSS), ∴∠EAB=∠FCD, ∴∠BAC=∠DCA, ∴AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形. 15.如图,等边△ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以 3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动. (1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇? (2)若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形?求出时间t并请指出此时点D的具体位置. 【解析】(1)设经过t s两点第一次相遇. 由题意得3t+2t=2×8,解得t=; (2)①当0≤t≤时,点M,N,D的位置如图1所示: ∵四边形ANDM为平行四边形, ∴DM=AN,DM∥AN,DN∥AB, ∴∠MDB=∠C=60°,∠NDC=∠B=60°, ∴∠NDC=∠C,∴ND=NC,∴DM+DN=AN+NC=AC=8, 即3t+2t=8,t=, 此时点D在BC上,且BD=(或CD=); ②当<t≤4时,此时A,M,N三点在同一直线上,不能构成平行四边形; ③4<t≤时,点M,N,D的位置如图2所示: ∵四边形ANDM为平行四边形, ∴DN=AM,AM∥DN. ∴∠NDB=∠ACB=60°, ∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=60°,∴∠NDB=∠B,∴ND=NB. ∴NB+MC=AM+CM=8,3t-8+2t-8=8,解得t=, 此时点D在BC上,且BD=(或CD=); ④当<t≤8时,点M,N,D的位置如图3所示: 则BN=16-2t,BM=24-3t, 由题意可知:△BNM为等边三角形, ∴BN=BM,即:16-2t=24-3t,解得t=8,此时M,N重合,不能构成平行四边形. 答:运动了 s或 s时,A,M,N,D四点能构成平行四边形,此时点D在BC上,且BD=或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2.2　平行四边形的判定 第1课时 知识点1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1.(教材再开发·P46练习T2改编)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,连接DE,EF,BF,则图中平行四边形(平行四边形ABCD除外)共有( ) A.1个　 B.2个 C.3个　 D.4个 2.(2023·邵阳新邵县期中)如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,在不添加辅助线的情况下,请你再添加一个条件 (写出一个即可),则四边形ABCD是平行四边形.  3.把线段AB沿某一方向平移3个单位长度,该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是 .  4.在▱ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,AM=CN,连接DM,BN.求证:四边形MBND是平行四边形. 知识点2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形 5.下面给出的是四边形ABCD中AB,BC,CD,DA的长度之比,其中能满足四边形ABCD是平行四边形的是( ) A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3 C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2 6.已知一个四边形的四边长顺次为a,b,c,d,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,则此四边形是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 7.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以A,C为圆心,BC,AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB,AD,CD,则四边形ABCD一定是 .理由是 .  8.(2024·邵阳邵东市期中)如图,在四边形ABCD中,AB=x-5,CD=11-x,AD=5,BC=x-3,对角线AC=4,AC⊥AB,求证:四边形ABCD是平行四边形. 9.(2023·长沙浏阳市期中)下列四组条件中,能判定四边形ABCD是平行四边形的有( ) ①AB=CD,AD=BC;②AB=CD,AB∥CD;③AB=CD,AD∥BC;④AB∥CD,AD∥BC. A.②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④ 10.下面给出的四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( ) A.3∶4∶3∶4 B.3∶3∶4∶4　 C.2∶3∶4∶5 D.3∶4∶4∶3 11.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( ) A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 12.(2024·邵阳期中)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以A,B,C,P四点为顶点组成一个平行四边形,则这个平行四边形的周长为 .  13.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=15 cm,BC=10 cm,P,Q分别从A,C同时出发,P以3 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动,运动 s时,四边形ABQP恰好是平行四边形.  14.如图,四边形ABCD中,AB=DC,将对角线AC向两端分别延长至点E,F,使AE=CF.连接BE,DF,若BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形. 15.如图,等边△ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以 3 cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以2 cm/s的速度运动. (1)若动点M,N同时出发,经过几秒两点第一次相遇? (2)若动点M,N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒时,点A,M,N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形?求出时间t并请指出此时点D的具体位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$