7.1.1数系的扩充和复数的概念2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.1.1数系的扩充和复数的概念 题型一：复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【例1】（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【例2】下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【变式1-1】已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【变式1-2】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【变式1-3】（多选）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 题型二：复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【例3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【例4】若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式2-2】若为纯虚数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-3】设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：复数相等求参 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 【例5】求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【例6】已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 . 【变式3-2】已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【变式3-3】已知集合，集合，且满足，，求整数，的值． 1．若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 3．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 4．，，并且，则的取值范围为 . 5．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．设复数（，i是虚数单位），若是虚数，则（    ） A．且 B．或 C．或 D． 8．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 9．设实数，，满足，则的最大值为 ． 10．已知，，若，求实数的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.1.1数系的扩充和复数的概念 题型一：复数的概念 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【例1】（多选）下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 【例2】下列命题正确的是 .（填序号） ①若，则是纯虚数； ②若、，且，则； ③若是纯虚数，则实数； ④实数集是复数集的真子集. 【答案】④ 【详解】解：对于①，当时，则为实数，不是纯虚数，则①错误； 对于②，由于复数不能比较大小，故②错误； 对于③，则，解得，故④错误； 对于④，显然正确， 故答案为：④ 【变式1-1】已知为虚数单位，实数满足，则 ． 【答案】6 【详解】由题意，即，解得. 故答案为：6 【变式1-2】下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【详解】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 【变式1-3】（多选）下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 题型二：复数的分类 复数的分类:复数z＝a＋bi(a，b∈R) 解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0. ②z为虚数⇔b≠0. ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【例3】已知复数． (1)若z是实数，求实数m的值； (2)若z是虚数，求实数m的取值范围； (3)若z是纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1)或 (2)且 (3) 【详解】（1）若z是实数，则，解得或． （2）若z是虚数，则，解得且． （3）若z是纯虚数，则解得． 【例4】若复数是纯虚数，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 【变式2-1】已知复数（为虚数单位，为实数），则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若复数为纯虚数，则，即 所以若为纯虚数不一定得到，故充分性不成立； 由一定能得到为纯虚数，故必要性成立； 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件. 故选：B 【变式2-2】若为纯虚数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为为纯虚数，所以且，得， 故． 故选：B. 【变式2-3】设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，复数，为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，得或． 所以“”是“复数为纯虚数”的充分不必要条件． 故选：A． 题型三：复数相等求参 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现. (3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的. 【例5】求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由题意得，解得. 【例6】已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】复数，且， 所以，则 因为，所以，当时，，当时， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式3-1】定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 . 【答案】/i-2 【详解】由，得，所以复数， 故复数的转置复数是. 故答案为： 【变式3-2】已知a，，复数，（i为虚数单位），若，则（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－4 【答案】B 【详解】解：由得 ， ， ， 解得， ． 故选：B． 【变式3-3】已知集合，集合，且满足，，求整数，的值． 【答案】，或，或， 【详解】由题意，得，① 或，② 或．③ 由①得，， 由②得，， ③中，，无整数解，不符合题意, 综上，，或，或，． 1．若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为，则，解得. 故选：A. 2．复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的虚部为 D．的虚部为1 【答案】C 【详解】复数的实部为1，虚部为，ABD错误，C正确. 故选：C 3．已知复数的实部和虚部分别为5和，则实数和的值分别是（   ） A．2， B．2，1 C．，2 D．1， 【答案】B 【详解】由复数的实部和虚部分别为5和，得， 所以. 故选：B 4．，，并且，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以， 因为， 所以当时，最大值为3；当时，最小值为， 所以的取值范围为， 故答案为：. 5．已知复数（为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】复数为纯虚数，则， 解得，或， 所以若为纯虚数不一定得到，但是由一定能得到为纯虚数， 故“为纯虚数”是“”的必要非充分条件， 故选：B 6．已知复数和复数．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】充分性：当时，若，则，所以充分性不成立； 必要性：当时，则且，所以必要性成立， 所以“”是“”的必要非充分条件. 故选：B 7．设复数（，i是虚数单位），若是虚数，则（    ） A．且 B．或 C．或 D． 【答案】A 【详解】因为是虚数，则，解得且. 故选：A 8．已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为（    ） A．4 B． C．6 D．或6 【答案】B 【详解】由得，即， 根据复数相等的充要条件可得，解得. 故选：B. 9．设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 10．已知，，若，求实数的值． 【答案】或 【详解】因为，所以， 所以有或， 由，得解之得； 由，得解之得， 代入都满足和集合元素1互异， 综上可知，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$