专题04 三角形易错必刷题型专训（69题23个考点）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题04 三角形易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【易错必刷二 三角形的分类】 4．（2024七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 5．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知中，，，过点A作的高，则 ． 6．（23-24七年级·全国·假期作业）已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 【易错必刷三 确定第三边的取值范围】 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知三角形的两条边长分别是3和8，第三条边长是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．18 B．18或20 C．20 D．16或19 8．（23-24七年级下·静安·阶段练习）三角形的三边长分别为 、、，则 的取值范围是 ． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，为边上的中线． (1)用刻度尺画出关于点的中心对称图形； (2)若，求线段的取值范围． 【易错必刷四 构成三角形的条件】 10．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．5，6，11 B．5，6，10 C．3，4，7 D．3，4，8 11．（23-24七年级下·上海崇明·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【易错必刷五 画三角形的高】 13．（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）如图所示，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ． 15．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）（1）量出的度数．______度． （2）画出平行四边形的一条高． （3）量出计算平行四边形面积所需的数据，并标在相应的线段上，再列出求面积的算式．    【易错必刷六 图形的全等】 16．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 18．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【易错必刷七 全等三角形的概念】 19．（23-24七年级下·上海宝山·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 ．    21．（23-24七年级下·上海徐汇·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【易错必刷八 全等三角形的性质】 22．（23-24七年级下·上海青浦·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【易错必刷九 三角形的外角的定义及性质】 25．（2024七年级下·全国·阶段练习）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）如图，若，则 ． 27．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，，求的度数． 【易错必刷十 三角形角平分线的定义】 28．（24-25七年级下·上海嘉定·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则为 的角平分线，为 的角平分线．    30．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE． (1)求∠BOD的度数； (2)求∠DOF的度数． 【易错必刷十一 根据三角形中线求面积】 31．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，在△中，分别为的中点，且，则为（   ） A．2 B．1 C． D． 32．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，分别是的中线，若，则的面积为 ． 33．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【易错必刷十二 与三角形的高有关的计算问题】 34．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，三个图形A、B、C的面积分别用、、表示，按从小到大排列是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·上海宝山·假期作业）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米． 36．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知有一块四边形花圃，其中E，F分别为上的点，且，G，H分别是上的点，且，连接，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形的面积是25平方米，三角形的面积是150平方米，三角形的面积是90平方米．空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【易错必刷十三 三角形三边关系的应用】 37．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 39．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【易错必刷十四 三角形内角和定理的证明】 40．（23-24七年级下·上海崇明·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 41．（23-24七年级下·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    42．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【易错必刷十五 与平行线有关的三角形内角和问题】 43．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 44．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 45．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，平分，求的度数． 【易错必刷十六 三角形内角和定理的应用】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在直角三角形中，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在边上的处．若，则 度． 48．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，，和相交于点，点是上一点，点是上一点，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【易错必刷十七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 49．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 50．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中再画格点三角形位置不同于，使得所画三角形与全等，则这样的格点三角形能画 个．    51．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，已知，点E、F分别是、的中点，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【易错必刷十八 用SAS证明三角形全等（SAS）】 52．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 53．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    54．（23-24七年级下·上海宝山·期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 【易错必刷十九 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 55．（23-24七年级下·上海松江·期末）已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 56．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 57．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，与相交于点 和 全等吗？为什么？ 【易错必刷二十 添加条件使三角形全等】 58．（24-25七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，，增加下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 59．（23-24七年级下·上海松江·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 60．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图所示的三角形是由若干个全等的小等边三角形组成的．    (1)在图①中，把该三角形分割成2个全等的三角形； (2)在图②中，把该三角形分割成3个全等的三角形； (3)在图③中，把该三角形分割成4个全等的三角形． 【易错必刷二十一 灵活选用判定方法证全等】 61．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 62．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图所示，小青书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．（请填写“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”） 63．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，已知∠BAC＝∠CDB，AC与BD相交于点E，且BE＝CE．求证：△ABC≌△DCB． 【易错必刷二十二 尺规作图——作三角形】 64．（2024七年级下·全国·阶段练习）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（　　） A． B． C． D． 65．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 66．（23-24七年级下·上海宝山·期末）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．例如给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出三角形（不写作法，但一定要保留作图痕迹）． 【易错必刷二十三 全等三角形综合问题】 67．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 68．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为 米． 69．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，与交于点E，连接．写出与相等的理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 三角形易错必刷题型专训（69题23个考点） 【易错必刷一 三角形的识别与有关概念】 1．（23-24七年级下·上海金山·单元测试）在三边互不相等的三角形中，最长边的长为，最长的中线的长为，最长的高线的长为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，高为顶点到对应边的最短线段，中线在三角形内，由此可解． 【详解】解：如图，   中，，E为的中点，为边的高， 则是最长的边， 是最长的中线，是最长的高， 由图可知， 因此． 故选A． 【点睛】本题考查与三角形有关的线段，根据题意画出示意图是解题的关键． 2．（23-24七年级下·上海长宁·课后作业）如图，图中三角形的个数为 ；以为边的三角形是 ，以为一个内角的三角形是 ；在中，的对边是 ． 【答案】 ，， ，， 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关概念． 根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形可得图中三角形的个数；根据组成三角形的线段叫做三角形的边；根据相邻两边组成的角叫做三角形的内角进行分析． 【详解】图中的三角形有、、、、、，共个；以为边的三角形有、、，以为一个内角的三角形是、、；中的对边是 故答案为：；；；． 3．（23-24七年级下·上海·阶段练习）分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出 的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的中线，角平分线，高的一些基本画图方法．根据题意画出三线即可 【详解】如图为中线， 为角平分线，为高 【易错必刷二 三角形的分类】 4．（2024七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（   ） A．等边三角形，等腰直角三角形 B．等腰直角三角形，钝角三角形 C．等边三角形，钝角三角形 D．锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 5．（23-24七年级下·上海长宁·期中）已知中，，，过点A作的高，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查锐角三角形和钝角三角形高的画法，尤其注意钝角三角形在钝角的两条边用虚线作延长线，过顶点作垂直高线，根据已知三角形内角度数，结合正确画出三角形高是本题的解题关键．根据题意画出，分别讨论三角形为锐角和钝角三角形时的角，根据，可得答案． 【详解】解：∵中，，， 如图1，当是锐角三角形时， ； 如图2，当是钝角三角形时， ， 故答案为：或． 6．（23-24七年级·全国·假期作业）已知的三边长分别为a，b，c．若a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】的形状是等边三角形． 【分析】利用平方数的非负性，求解a，b，c的关系，进而判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴a=b=c， ∴ 是等边三角形． 【点睛】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为等边三角形，含的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键． 【易错必刷三 确定第三边的取值范围】 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知三角形的两条边长分别是3和8，第三条边长是奇数，则这个三角形的周长是（　　） A．18 B．18或20 C．20 D．16或19 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形周长，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边的关系确定第三边的范围，再根据第三边为奇数求出第三边即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为x， ∵一个三角形的两边长分别是3和8， ∴，即， 又∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长7或9， 当时，这个三角形的周长为， 当时，这个三角形的周长为， 故选：B． 8．（23-24七年级下·静安·阶段练习）三角形的三边长分别为 、、，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．根据三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，即可得到的取值范围． 【详解】解： 、、为三角形的三边长， ， ． 故答案为： ． 9．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，为边上的中线． (1)用刻度尺画出关于点的中心对称图形； (2)若，求线段的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画中心对称图形，中心对称图形的性质，三角形的三边关系： （1）根据题意，画出即可； （2）根据成中心对称图形的性质，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】（1）延长至点，使，连接， 如图，即为所求； （2）与关于点中心对称， ， 在中，，即， ， ． 【易错必刷四 构成三角形的条件】 10．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）下列长度的三条线段能构成三角形的是（    ） A．5，6，11 B．5，6，10 C．3，4，7 D．3，4，8 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长度为5，6，11的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长度为5，6，10的三条线段能组成三角形，符合题意； C、∵， ∴长度为3，4，7的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D、∵， ∴长度为3，4，8的三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：B． 11．（23-24七年级下·上海崇明·期末）若从如图所示的四条线段中任意选取三条线段，则能组成三角形的是 （填序号）． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了构成三角形的条件，由三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵ ∴符合题意的只有②③④． 故答案为：②③④． 12．（23-24七年级下·全国·课后作业）下列长度的三条线段能组成三角形吗？请说明理由． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)这三条线段能组成三角形，理由见解析 (2)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 (3)这三条线段不能组成三角形，理由见解析 【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可． 【详解】（1）解；这三条线段能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段能组成三角形； （2）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形； （3）解；这三条线段不能组成三角形，理由如下： ∵， ∴这三条线段不能组成三角形． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 【易错必刷五 画三角形的高】 13．（2025七年级下·全国·阶段练习）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； ．作出的是的边上的高线，故该选项符合题意； ．不能作出的高，故该选项不符合题意； ．作出的是中边上的高线，故该选项不符合题意； 故选：B． 14．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）如图所示，在中，边上的高是 ，边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ；在中，边上的高是 ；边上的高是 ． 【答案】 【分析】根据三角形的高的定义即可求出答案． 【详解】解：根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高， 得出：在中，边上的高是，边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是；在中，边上的高是；边上的高是． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题主要考查对三角形的高的定义的理解和掌握，能区分一条线段是否是三角形的高是解此题的关键． 15．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）（1）量出的度数．______度． （2）画出平行四边形的一条高． （3）量出计算平行四边形面积所需的数据，并标在相应的线段上，再列出求面积的算式．    【答案】（2）60；（2）见解析；（3）测量出，，则平行四边形的面积 【分析】本题考查作图作平行四边形的高，解题的关键是理解题意，掌握平行四边形高的概念． （1）利用量角器量出角的度数，解决问题； （2）作于点，线段即为所求； （3）测量出，的值，进而即可得到答案． 【详解】（1）测量法可知． 故答案为：60； （2）如图，线段即为所求（答案不唯一）；    （3）测量出，，则平行四边形的面积． 【易错必刷六 图形的全等】 16．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； B、两个图形属于全等图形， 故此选项符合题意； C、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意； D、两个图形不属于全等图形， 故此选项不符合题意． 故选：B． 17．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图所示的是两个全等的五边形，，，，，，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，则图中标的 ， °． 【答案】 11 115 【分析】此题考查了全等多边形的性质，根据全等多边形对应边相等，对应角相等求解即可． 【详解】∵五边形和五边形全等 ∴， 故答案为：11，115． 18．（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆．    【答案】见解析 【分析】根据图形可知本题分割的难点在于五角星的分割，所以先观察每个五角星所在的位置，在寻找三个五角星共同的位置特征，因为图中一共有12个正方形，所以每个图形拥有四个正方形，结合五角星所在位置的共同特征去分割图形即可． 【详解】解：如下图所示，将图形分成大小、形状相同的三块，并且每块带一个☆，     【点睛】本题考查对图形的观察和分析能力，能够找到三个特殊点共同的位置特征是解决本题的关键． 【易错必刷七 全等三角形的概念】 19．（23-24七年级下·上海宝山·期末）全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1C1B1是全等（合同）三角形，且点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形（如图①所示）；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形（如图②所示），两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中的一个进行翻折． 下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据镜面合同三角形的定义判断即可． 【详解】根据真正合同三角形的定义可知，选项A，C，D是真正合同三角形，选项B是镜面合同三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查几何变换的类型，全等三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（23-24七年级下·上海静安·期中）如图，在中，，将沿方向向右平移得到交于G，已知，则阴影部分的面积为 ．    【答案】42 【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积=，于是阴影部分的面积． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积=， ∴阴影部分的面积． 故答案为：42． 【点睛】本题考查平移的性质，全等的性质；由平移得到三角形全等、线段相等是解题的关键． 21．（23-24七年级下·上海徐汇·课前预习）如图，与全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角．    【答案】；相等的边为，，；相等的角为，， 【分析】根据图形可得出对应点并可确定对应关系，然后用全等符号表示这两个三角形全等，然后根据全等的性质即可得出相等的边和角． 【详解】解：∵如图，与全等， ∴点与点，点与点，点与点是对应顶点， ∴； 相等的边为，，； 相等的角为，，． 【点睛】本题考查全等三角形表示及性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【易错必刷八 全等三角形的性质】 22．（23-24七年级下·上海青浦·期中）已知图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 直接利用全等三角形的性质得出对应角相等，进而得出答案． 【详解】解：由全等三角形的性质得：是边a和c的夹角， ∴， 故选：D． 23．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，，，，则的度数是 ． 【答案】/125度 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理． 根据全等三角形的性质求出，，进而可求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：，， ，， ∵， ， ． 故答案为： 24．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，为线段上一点，，，判断与的关系，并证明． 【答案】，，证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质可求得，结合，可求得，进而可求得的度数，由此可得出结论． 【详解】证明：，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷九 三角形的外角的定义及性质】 25．（2024七年级下·全国·阶段练习）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质， 先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据三角形外角的性质得，然后代入即可得出答案. 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴. 故选：C． 26．（24-25七年级下·上海奉贤·期末）如图，若，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得，再由角平分线定义得，利用三角形外角的性质得，再利用角的和差关系得出答案． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， 是高， ， ． 【易错必刷十 三角形角平分线的定义】 28．（24-25七年级下·上海嘉定·课后作业）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的角平分线的定义，根据已知可得，即可得出角平分线为，即可求解． 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为 故选：B． 29．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，若，则为 的角平分线，为 的角平分线．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴平分，平分， ∴为的角平分线，为的角平分线， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，三角形角平分线的理解，正确理解角平分线的定义是解题的关键． 30．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝70°，OF⊥OE． (1)求∠BOD的度数； (2)求∠DOF的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用角平分线的定义、结合对顶角的定义分析得出答案； （2）利用（1）中所求，进而得出答案． 【详解】（1）解：平分，， ， ； （2）解：平分， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角，解题的关键是正确得出的度数． 【易错必刷十一 根据三角形中线求面积】 31．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，在△中，分别为的中点，且，则为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据中线将三角形面积分为相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此即可求解．此题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分． 【详解】解：、分别为，的中点， ∴是的中线，是的中线， ． 故选：B． 32．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，分别是的中线，若，则的面积为 ． 【答案】/40平方厘米 【分析】本题考查利用三角形中线的性质求面积，根据“三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形”求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ， ， 同理，分别是的中线， ， ． 故答案为：． 33．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图所示，，，已知阴影部分的面积为平方厘米，求四边形的面积．    【答案】平方厘米 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积公式，根据题意可得，，进而即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴，， ∵阴影部分的面积为平方厘米， ∴平方厘米 ∴四边形的面积为平方厘米． 【易错必刷十二 与三角形的高有关的计算问题】 34．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，三个图形A、B、C的面积分别用、、表示，按从小到大排列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形可知，梯形、三角形、平行四边形的高相等，根据梯形的面积公式：，三角形的面积公式：，平行四边形的面积公式：，设它们的高为h，把数据代入公式求出它们的面积，然后进行比较即可．此题主要考查梯形、三角形、平行四边形面积公式的灵活运用，关键是就是公式． 【详解】解：设它们的高为h， 梯形的面积： ； 三角形的面积：； 平行四边形的面积：； ∴梯形的面积三角形的面积平行四边形的面积． 故选：C． 35．（24-25七年级下·上海宝山·假期作业）三条边长分别是6厘米、8厘米、10厘米的直角三角形，将它的最短边对折与斜边相重合（如下图），那么，图中阴影部分面积是( )平方厘米． 【答案】6 【分析】此题主要考查等底等高的三角形面积相等，关键是找准面积的比．根据折叠可知厘米，厘米，根据三角形的面积，三角形的面积，得出三角形的面积∶三角形的面积，求出三角形的面积（平方厘米），得出三角形的面积（平方厘米）． 【详解】解：如图： 根据折叠得，（厘米）， 则（厘米）， 三角形的面积∶三角形的面积∶三角形， 三角形的面积（平方厘米）， 三角形的面积（平方厘米）． 故答案为：6． 36．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知有一块四边形花圃，其中E，F分别为上的点，且，G，H分别是上的点，且，连接，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形的面积是25平方米，三角形的面积是150平方米，三角形的面积是90平方米．空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【答案】440平方米 【分析】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法求组合图形的面积是解题的关键．根据、的高相等，，可得，由，且和高相等，和高相等，可得 ，，由此可求出空白区域面积． 【详解】连接，如图所示： 、的高相等，设高为，则 ，， ， （平方米）， ，且和高相等，和高相等， （平方米），（平方米）， 空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为（平方米） 答：郁金香的面积是440平方米． 【易错必刷十三 三角形三边关系的应用】 37．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小芳在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A，B间的距离不可能是（    ） A．20米 B．15米 C．10米 D．5米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．设A，B间的距离为x，根据三角形的三边关系，可得到x的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：设A，B间的距离为x， 根据三角形的三边关系，得： ， ， 故A，B间的距离不可能是5米． 故选：D． 38．（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当B、C、D在同一直线上时，最小值为． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当B、C、D在同一直线上时，有最小值，最小值为，， ∴的最小值为， 故答案为：16． 39．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【答案】不合理，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，根据三角形三边关系定理得，，即，而，从而判断即可． 【详解】解：不合理，理由：由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，设所画的圆的一条半径为，根据三角形三边关系定理得，即，，，即圆规先生不能画出半径为的圆． 【易错必刷十四 三角形内角和定理的证明】 40．（23-24七年级下·上海崇明·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 41．（23-24七年级下·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 42．（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，直线DE经过点A，． 填空： ∵， ∴______（______），______（______）， ∵直线过点A ∴，∴____________． 于是，我们证明了结论：______． 【答案】，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，内错角相等，，，三角形的内角和等于； 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的证明，平行线的性质，根据题干信息逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】解：， ∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵直线过点A ∴， ∴． 于是，我们证明了结论：三角形的内角和等于． 【易错必刷十五 与平行线有关的三角形内角和问题】 43．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，直线，，那么与（   ） A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和定理得出，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互余， 故选：C． 44．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】先利用平行线的性质可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 45．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的角度计算，先根据角平分线的性质及平行线的性质求出，再根据三角形的内角和可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【易错必刷十六 三角形内角和定理的应用】 46．（24-25七年级下·全国·课后作业）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和，直角三角形的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据三角形定理以及直角三角形的概念判断即可． 【详解】解：， ，得到，即，不能确定是直角三角形，故选项A不符合题意； ，，不能确定是直角三角形，故选项B不符合题意； ，能确定是直角三角形，故选项C符合题意； 不能确定是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选C． 47．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在直角三角形中，，点在边上，将沿折叠，点恰好落在边上的处．若，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查三角形内角和定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到对应角相等，并结合三角形内角和求出相关角度． 先根据三角形内角和定理求出的度数，再由折叠的性质得出与的关系，进而求出，最后在中求出，根据折的性质可知与相等． 【详解】解：在中，， ， 沿折叠，点恰好落在AB边上的处， ， ， ， 由折叠的性质可知， 故答案为：60． 48．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，，和相交于点，点是上一点，点是上一点，且． (1)与平行吗？为什么？ (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得，由，得，即可得出结论； （2）由平行线的性质得，求出，由对顶角相等得，由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴ （两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：由（1）知， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十七 用SSS证明三角形全等（SSS）】 49．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，在和中，，，要利用“SSS”判定，则还需添加的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．根据全等三角形的判定定理推导即可． 【详解】解：∵和中，，， ∴利用“”判定的条件是或． 故选：B． 50．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中再画格点三角形位置不同于，使得所画三角形与全等，则这样的格点三角形能画 个．    【答案】3 【分析】利用网格的特点结合可证明两个三角形全等进行求解即可． 【详解】解：如图所示，即为所求， 由网格的特点可得， ∴， 同理可证明， ∴这样的格点三角形能画3个， 故答案为：3．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 51．（23-24七年级下·上海徐汇·期中）如图所示，已知，点E、F分别是、的中点，，．    (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先证明，再利用证明，从而可得结论； （2）先证明，再利用证明即可． 【详解】（1）解：∵，点E、F分别是、的中点， ∴， 在和中． ， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 在和中 ∴． 【易错必刷十八 用SAS证明三角形全等（SAS）】 52．（23-24七年级下·上海虹口·期末）如图，，，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．直接根据“”判断两三角形全等即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 53．（23-24七年级下·上海闵行·期末）某数学兴趣小组的同学打算测量一个小口圆形容器内径时遇到了困难，小组同学们借用学习过的三角形全等的知识合作制作了特制工具测量器．如图所示，将等长的钢条和的中点焊接在一起，制作了一把“形卡钳”．根据“形卡钳”的制作原理能判断，从而测量出的长就等于内径的长．请写出的理由： ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：∵，O是的中点， ∴， 在和中， ， ， 故选：． 54．（23-24七年级下·上海宝山·期末）数学实践活动课中，老师布置了“测量小口瓶底部内径”的探究任务，某学习小组设计了如下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点O固定（点O是的中点），现测得C，D之间的距离为，求小口瓶底部的内径的长度． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练应用全等三角形的判定方法证明．根据点是、的中点可得，，再根据对顶角相等即可证明，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：点是、的中点， ，， 在和中， ， ， ． 即小口圆柱形瓶底部的内径的长度为． 【易错必刷十九 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 55．（23-24七年级下·上海松江·期末）已知，，，的相关数据如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 56．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）如图，小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最省事的办法是带 去（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题是一道利用全等三角形解决实际问题的题目，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理； 利用三角形全等的判定定理“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”，即可确定； 【详解】解：第③块玻璃含有两个角，能确定整块玻璃的形状．第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据“”来配一块一样的玻璃．应带③去． 故答案为：③． 57．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）如图，与相交于点 和 全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据条件以及对顶角相等，即可通过来证明和 全等，据此作答． 【详解】解：和 全等，理由如下 ∵， ∴ 【易错必刷二十 添加条件使三角形全等】 58．（24-25七年级下·上海虹口·阶段练习）如图，，增加下列条件中的一个后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、由，，，根据得到，不符合题意； B、由，，，不能得到，符合题意； C、由，，，根据得到，不符合题意； D、 由，，，根据得到，不符合题意； 故选：B． 59．（23-24七年级下·上海松江·期末）小明同学绘制风筝设计图如下，点，，在同一条直线上，，要能使，还需再补充一个条件： （写一个即可，多写的按第一个给分）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，答案不唯一．根据，然后根据“”的判定方法添加条件即可． 【详解】解：可添加．理由如下： 在和中， ， ∴（）， 故答案为：（答案不唯一）． 60．（23-24七年级下·上海徐汇·期末）如图所示的三角形是由若干个全等的小等边三角形组成的．    (1)在图①中，把该三角形分割成2个全等的三角形； (2)在图②中，把该三角形分割成3个全等的三角形； (3)在图③中，把该三角形分割成4个全等的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作三角形的一条高即可； （2）作三角形的三条角平分线即可； （3）作三角形的三条中位线即可． 【详解】（1）解：如图①即为所求；    （2）如图②即为所求；    （3）如图③即为所求；    【点睛】本题考查全等三角形的判定及等边三角形的性质．熟练掌握高、中位线、及角平分线的性质是正确解决本题的关键． 【易错必刷二十一 灵活选用判定方法证全等】 61．（23-24七年级下·全国·期末）如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定方法，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； ．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； ．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：A． 62．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图所示，小青书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是 ．（请填写“SSS”、“SAS”、“ASA”或“AAS”） 【答案】ASA 【分析】观察图形可知，有两角以及两角的夹边是已知，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，有两角以及两角的夹边是已知， 因此可以利用ASA画出一个全等的三角形， 故答案为：ASA 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 63．（2024·上海闵行·模拟预测）如图，已知∠BAC＝∠CDB，AC与BD相交于点E，且BE＝CE．求证：△ABC≌△DCB． 【答案】证明见解析 【分析】由“等边对等角”可得，再由证明全等． 【详解】证明：， ． 在与中， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 【易错必刷二十二 尺规作图——作三角形】 64．（2024七年级下·全国·阶段练习）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照全等三角形的判定和三角形的三边关系逐项判断即可． 【详解】解：A选项，两个条件，无法确定三角形，故该选项不符合题意； B选项，，不能构成三角形，故该选项不符合题意； C选项，两角和其中一个角的对边分别相等可以作出唯一三角形，故该选项符合题意； D选项，两个条件不能作出唯一的三角形，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了确定三角形的条件，熟练掌握全等三角形的判定和三角形的三边关系是解题的关键． 65．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 66．（23-24七年级下·上海宝山·期末）学过用尺规作线段与角后，就可以用尺规画出一个与已知三角形一模一样的三角形来．例如给定一个三角形，可以这样来画：先作，然后在的两边分别作线段，线段，最后连结，这样得到三角形就和已知的三角形一模一样了．请你按照上面的步骤作出三角形（不写作法，但一定要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，首先作一条射线,进而截取, ,进而截取,连接即可． 【详解】 三角形即为所求作的三角形． 【易错必刷二十三 全等三角形综合问题】 67．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，为中线且交于点，连接，则图中的全等三角形共有（   ） A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”求解即可． 【详解】解：∵，，为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 在和中， ， ∴， 综上所述，全等三角形共有5对， 故选：C ． 68．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，已知线段米，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，每秒走1米，N点从B点向D点运动，每秒走4米，M、N同时从B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为 米． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，设运动时间为， ∴，， ①点是中点，时，，， ∵， ∴， ∴； ②时，时，，， ∴，即， 解得，； ③时， ∵点运动的速度大于点的速度，即， ∴此情况不存在， 综上所述，线段的长度为或， 故答案为：或． 69．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，与交于点E，连接．写出与相等的理由． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，再证明，即可证明． 【详解】证明：如图所示，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$