专题03 三角形全等的性质与判定重难点题型专训（17大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题03 三角形全等的性质与判定重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型七 格点作图题 题型八 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型九 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十二 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十五 尺规作图——作三角形 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点03全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点04全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 【答案】B 【分析】根据全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意； B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意； C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意； D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键． 1．（22-23七年级下·上海闵行·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．利用全等图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； B、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意； C、两个图形是全等图形，故此选项符合题意； D、两个图形不是全等图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题考查了全等图形的性质，如果两个图形全等，那么这两个图形的对应角相等、对应边相等． 【详解】解：四边形与四边形全等， ，，，． 故答案为：；；； ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【答案】是全等图形，理由见解析 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【详解】解：是全等图形，理由如下： 把两个图形放在一起，把和，和，和重合，发现能够完全重合， 因此和是全等图形． 【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形对应点的确认，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的定义．根据题意找出对应点，即可解题． 【详解】解：， 与相对应， ， 与相对应， ， 故选：D． 1．（22-23八年级上·上海崇明·期中）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【答案】A 【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案． 【详解】解：与是对应角，和是对应角， 和是对应角， 与是对应边， 故选A． 【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键． 2．（22-23八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】15 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 3．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【答案】(1)其他对应边：和，和；对应角：和，和； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的对应边和对应角的概念即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得：，结合等量代换即可求解 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；对应角：和，和； （2）∵， ∴， ∴，即 ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等，对应角相等，掌握全等三角形的概念是关键． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例3】（2025七年级下·上海静安·阶段练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据题意以及全等三角形的性质可得，即可得到答案． 【详解】解：图中两个三角形全等， ， ， ． 故选：C． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，，根据可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点Q运动速度为，则，， ， ， 或， 当时，，， ，， 解得，； 当时，，， ，， 解得，； 综上可知，点Q运动速度为或， 故选D． 2．（24-25七年级下·上海奉贤·单元测试）如图，已知在和中，，且，，，，则的周长为 cm，面积为 ． 【答案】 12 6 【分析】本题主要考查全等的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等的性质得到，即可求出面积和周长． 【详解】解：， ，，， 故的周长为， 面积为：， 故答案为：，． 3．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质． （1）由全等三角形的性质得到，，求出的长，即可得到长． （2）由全等三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，由对顶角的性质得到． 【详解】（1）解：， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 【经典例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据“”证明，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 故选B． 1．（23-24八年级上·上海长宁·阶段练习）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由“”证明，可得，可证是的角平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴是角平分线， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明用如图所示的方法画出了与全等的，他的具体画法是：①画射线，在射线上截取；②以点D为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接．这样就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判断方法中的 ． 【答案】/边边边 【分析】根据作图可得，进而根据，证明，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴ 故答案为：． 3．（2024八年级上·全国·阶段练习）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，已知，又公共，根据即可证明． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，与交于点，添加条件后，可使得成立，则判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据，，结合为公共边，利用可判定，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 则判断和全等的依据是， 故选：B． 1．（2011·上海徐汇·一模）如图，两根钢条的中点O连在一起，可绕点O自由转动，则的长等于内槽宽．判定的理由是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要全等三角形的判定，由O是的中点，可得，再有，可以根据全等三角形的判定方法，判定． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在和中，，已知，小亮说：若，则可判定，他的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，然后根据“”可判断． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据得到，利用“”即可证明． 【详解】解：．理由如下： ∵， ∴， 即． 在和中 ， ∴． 【经典例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例6】（21-22八年级上·上海松江·期中）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【详解】解：1、2块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第3块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的， 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意得出，进而得，据此即可判定和全等，从而得出答案． 【详解】解：如图，   ， 依题意得：， ， 在和中， ， ， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，解答此题的关键是理解题意，找出，进而找出判定三角形全等的判定条件． 2．（2024七年级下·全国·阶段练习）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 【答案】海岛在观测点B的正北方，理由见解析． 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质等知识点，证明得出，即可得解，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】由题意得：，， ∵海岛C，D分别到观测点B，A的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴海岛在观测点B的正北方， 故答案为：海岛在观测点B的正北方． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，，，，，，， (1)求证：； (2)求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明是解题的关键． （1）结合垂直的性质推出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：，于，于， ，， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ，， ． 【经典例题七 格点作图题】 【例7】（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)画出边上的高线；画出边上的中线； (3)在上画出一点，使得与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的平移、高线、中线、等积法等作图，解题的关键是熟知相关的作法与性质． （1）观察发现点B先向左平移6个单位，再向下平移1个单位到点，依此将点A与点C照同样平移的方法绘制出点与点，最后将各点相互连接起来构成． （2）如图，找到一个适当的格点P，连接，延长与交于点D，则即为所求的垂线；找到的中点格点E，则即为所求的中线． （3）如图，找到一个恰当的格点K，连接，使，与交于点Q，再连接，点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求的高线，即为所求的中线． （3）如图，Q点即为所求． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1；②所面图中不用标注顶点字母） (1)在图1中，画出一个与关于直线AC成轴对称的格点三角形． (2)在图2中，画出一个与关于直线BC成轴对称的格点三角形． (3)在图3中，画出一个与面积相等且形状不同的格点三角形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线AC成轴对称图形； （2）取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线BC成轴对称图形； （3）在网格中取三个格点，依次连接三点，则三角形的面积与面积相等且形状不同． 【详解】（1）解：取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线AC成轴对称图形，如图： （2）解：取点关于的对称点，与相连，则三角形与关于直线BC成轴对称图形，如图： （3）解：在网格中取三个格点，依次连接三点，则三角形的面积与面积相等且形状不同，如图： 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，的三个顶点都在方形网格的格点上．    (1)在图1中画一条直线，使它恰好平分的周长； (2)在图2中经过点画出一条线段，使它恰好平分的面积； (3)在图3中画出关于直线对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了格点作图，轴对称作图，解题的关键是熟练掌握格点特点． （1）根据格点特点进行解答即可； （2）根据中线的特点进行解答即可； （3）根据轴对称图形的特点，做的点A、C关于直线的对称点、，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，取格点、，连接，则直线即为所求作的直线；    根据格点特点可知，，，，， ∴， ∴． （2）解：取的中点，则即为所求；    （3）解：如图，即为所求作的三角形．    3．（22-23七年级下·上海闵行·期中）作图题：（利用无刻度的直尺作图） 如图，在方格纸中，有两条线段．利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作的平行线； (2)过点C作的平行线，与（1）中的平行线交于点D； (3)过点B作的垂线； (4)请在上找一点P，使得线段平分三角形的面积，在图上作出线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线； （2）在直线上取格点D，则直线即为所求； （3）取上的格点F，过B，F的直线即为所求； （4）取格点G、H，连接交于点P，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所作； ； （2）解：如图，直线即为所作； （3）解：如图，直线即为所作； （4）解：如图，线段即为所作． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，平行线的判定，三角形中线的性质等知识，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型． 【经典例题八 添加条件使三角形全等】 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，则一定能使的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 利用全等三角形判定定理对各个选项逐一分析即可得出答案． 【详解】解：A、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误； B、∵，为公共边，若，则，故本选项正确； C、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误； D、∵，为公共边，若，则不能使，故本选项错误； 故选：B． 1．（15-16七年级上·上海奉贤·期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可判断A；根据即可判断B；根据两三角形不一定全等即可判断C；根据即可判断D． 【详解】解：A、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意； B、根据，，能推出，正确，故本选项不符合题意； C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意； D、根据，，能推出，正确，故本不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 【答案】或或（任性一个即可） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：添加，可由证明； 添加，可由证明； 添加，可由证明； 故答案为：或或．（任性一个即可） 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等： （1）根据，，得到可以利用或使，据此添加条件即可； （2）利用或证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，利用可以使； 当时，利用可以使； 故答案为：①③； （2）选①时， 在和中， 所以； 选③时， 在和中， 所以． 【经典例题九 灵活选用判定方法证全等】 【例9】（21-22八年级上·上海闵行·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的判定条件及存在性，根据三角形全等的判定方法逐项判断即可得到答案，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵，，，不是，的夹角， ∴可以画出多个三角形，原选项符合题意； 、∵，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 、∵°，，，满足的要求， ∴可以画出唯一的三角形，原选项不符合题意； 故选：． 1．（16-17八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，平分，，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 根据角平分线的性质及全等三角形的判定可求得图中的全等三角形有3对，分别是：，，． 【详解】解：平分 ，，， ，， ，， ， ， 所以共有3对全等三角形， 故选：B． 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．已知，，先根据“”证明，则，，再证明，即可根据“”证明，得，，然后根据“”证明，同样方法可得，，从而可判断图中的全等三角形共有5对． 【详解】解：在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 综上所述，图中的全等三角形共有5对． 故答案为：5． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 【经典例题十 旋转模型】 【例10】（21-22七年级下·上海普陀·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 【答案】(1)90° (2)见解析 (3)CD= BE + DE，证明见解析 【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°； （2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根据等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根据AAS可证△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE = EA+AD = DC+BE． （3）同（2）易证△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由图可知AE = AD +DE，所以 CD= BE + DE． 【详解】（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了三角形全等的判定与性质． 1．（22-23九年级上·上海金山·阶段练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°． 【详解】解：如图，连接OA、OB、OC、． ∵O是等边三角形△ABC是中心， ∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC， ∵∠BA ＝∠AC＝α， ∴∠OA＝∠OC， 在△OA和△OC中， ， ∴△OA≌△OC（SAS）， ∴∠AO＝∠CO，O＝O， ∴∠O＝∠AOC＝120°， 同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O， 则有△O≌△O≌△O， ∴＝＝， ∴△是等边三角形， 在△O中， ∵∠O＝120°，O＝O， ∴当O最长时，最长， ∵O≤OC+C， ∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长， 此时＝•（+1）＝1+，α＝150°， ∴△的周长的最大值为3+3． 故选：D 【点睛】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题． 2．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 【答案】4 【分析】如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，求出∠GDB＝90°，可得△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米，由此利用三角形的面积公式即可求出DB的长． 【详解】解：如图，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△GDF，则△ADE≌△GDF，点G、F在BC上， ∴∠ADE＝∠GDF， ∵在正方形DECF中，∠EDF＝90°， ∴∠ADE＋∠FDB＝90°， ∴∠GDF＋∠FDB＝90°，即∠GDB＝90°， ∴△GDF与△DBF组成一个直角△DBG，直角边DG是3厘米，面积是6平方厘米， ∴DB的长为：6×2÷3＝12÷3＝4（厘米）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，解答此题的关键是巧妙地把阴影部分△ADE通过旋转与阴影部分△DBF 组成一个直角三角形． 3．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 【经典例题十一 垂线模型】 【例11】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 1．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算及等腰直角三角形的性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．作于，由得，，再证明得即可解决问题． 【详解】解：如图作于， ，， ， ， 又， ∴， ， 和都是等腰三角形， ，，， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ． ∴， ∴； 故答案为6． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【答案】（1）①②；（2）结论，理由见解析；（3） 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）①根据两个三角形全等的判定定理，结合已知求证即可得到答案； ②由①中，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由图中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点作于，如图所示，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点作于，如图所示，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】解：（1）①， ， ∵，， ，， ， ， ∵，，， ∴； 故答案为： ②由①知， ， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）结论：．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长，过点作于，如图所示： ，， ， ，， ∴， ，， ， 延长，过点作于，如图所示： ， ， ， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ． 故答案为：． 【经典例题十二 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例12】（2024八年级下·全国·阶段练习）如图，在中，，，在中，，，且点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，使得，则的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质．分两种情况讨论：当在内部时，当在外部时，分别根据全等三角形的性质以及角的和差计算即可求解． 【详解】解：如图，当在内部时，若， 又，，， ， ， ，， ； 当在外部时， 又，，， ， ， ； 故选：B． 1．（22-23八年级上·上海长宁·期中）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“”可证，可得，由外角的性质可求解． 【详解】解：设与的交点为O，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海静安·期中）如图，已知A，B，C在同一条直线上，且，，那么的角度是 ． 【答案】61 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识．先根据证明，即得出，，，又根据平角定义、三角形内角和定理、等边对等角等知识点即可解答． 【详解】解：如图， ∵在和中，， ， ，，， ，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)成立，不成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，证明三角形全等是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明； （2）由等边三角形的性质可得，，从而得出，由全等三角形的性质可得，利用证明，即可得出结论； （3）由等边三角形的性质可得，，，从而得出，再由即可证明，由已知条件不能证明，故不成立． 【详解】（1）解：， 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）解：、都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：成立，不成立， 理由如下： 、都是等边三角形， ，，， ，即， ， 由已知条件不能证明，故不成立． 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的高相交于点F，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵的高相交于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 1．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图， ， ，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发 向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（        ）   A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，与全等分两种情况，一种情况是，另一种情况是，根据全等三角形对应边相等分别求出点运动的时间，根据运动的时间和速度求出、的长度，再根据全等三角形对应边相等确定的长度． 【详解】解：设运动的时间为秒，则，， ，则， 若， 则有， 则， 解得：， 此时； 若， 则有， 则， 解得：, 此时， 综上所述，如果使与全等，则的长为或． 故选：D． 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．过做的平行线至于，通过求证和全等，推出，再通过证明是等边三角形和，推出，即可推出，可得，即可推出的长度． 【详解】解：过做的平行线至于， ， 等边， ，， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为1． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【答案】(1)为等腰直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质． （1）“”证明得到，，再利用得到，则可判断为等腰直角三角形； （2）由得到，，然后计算即可． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴， ∴． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例14】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤． 【详解】解：连接，作于点H， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积不随D，E的运动而变化， 故③错误； ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是2， 故④正确； ∵， ∴当取得最小值2时，取得最大值2， 故⑤错误， 故选：B． 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形的判定与性质，根据中线求三角形面积，解题的关键是：作辅助线构造全等三角形． 延长交于点，通过证明，得到，根据三角形中线的性质，即可求解， 【详解】解：延长交于点， 平分， ， 又于点， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：D． 2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，，求的面积 ． 【答案】 【分析】作，证，得到，即可求解， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：做出辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ∵， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：8． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）由得到，，进而得到，然后结合得证，推出，，即可求解； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，推出，，即可证明； （3）由，，得出，证明，得出，根据，得出，即可得出结果． 【详解】解：（1）， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）仍然成立，理由如下： ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3），， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， 与的面积之和为． 【经典例题十五 尺规作图——作三角形】 【例15】（18-19八年级上·上海宝山·期末）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【详解】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可． 【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接， 则正确作图步骤的顺序是①③②④， 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 【答案】③①② 【分析】本题考查的是学生利用基本作图做三角形的能力，根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答． 【详解】解：作法的合理顺序为：③作一条线段；①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形． 故答案为：③①②． 3．（23-24七年级下·奉贤·期末）（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①；②两直线平行，内错角相等；；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，作三角形； （1）①根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解； ②根据“两直线平行，内错角相等”，即可求解． （2）根据题意作，即可求解． 【详解】（1）①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得； ②若，则根据“两直线平行，内错角相等”，可得 ． 故答案为：①；②两直线平行，内错角相等； （2）如图所示，即为所求 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是根据角平分线构造全等． 利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则的最小值即为点C到的垂线段长度，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：在上取一点， 使，连接， ， ， ， ， 则最小值时垂直， 这时，，即， 解得． ∴的最小值为． 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故选D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 由，证明，再证明 ，得，即可解决问题． 【详解】解∶ ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即的度数为． 故答案为： 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立．理由见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟悉三角形全等的判定定理是基础，在不同图形中由得出是关键． （1）由知，即，又、，由可证； （2）由知，即，又、，由可证； （3）由（1）（2）知，所以，可由平行线的判定得出． 【详解】（1）解：因为， 所以， 即． 在和中， 所以． （2）解：成立．理由如下： 因为， 所以，即． 在和中， 所以． （3）解：．理由如下： 由（1）（2）知， 所以， 所以． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（24-25七年级上·上海金山·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； 根据全等三角形的判定对选项进行判定即可求解； 【详解】解：A、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故A选项正确，不符合题意； B、如图 由作图痕迹可得，，，， ， 故B选项正确，不符合题意； C、如图： 由作图痕迹可得，，，， ， 故C选项正确，不符合题意； D、如图： 由作图痕迹可得，，，， 不能得出与全等， 故D选项不正确，符合题意； 故选：D 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出④正确；判断出和不全等，从而得到，判断出③错误． 【详解】解：∵和是的轴对称图形， ∴， ∴，故①正确． ∴， 由翻折的性质得，， 又∵， ∴，故②正确． ∵， ∴，， ∴边上的高与边上的高相等，即点A到两边的距离相等， ∴平分，故④正确． 在和中，，，，， 则和不全等， ∴，故③错误； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，和的平分线，相交于点O，且交于点，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，根据角平分线的定义结合题意可得，再由全等三角形的判定与性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵，和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴，故③正确； 在和中， ， ∴，故④正确； 由已知条件不能证明出，，故②⑤不符合题意； 故答案为：①③④． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图（1）放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图（2）位置．小莹用作图软件按图（2）作出示意图，并连接，如图（3）所示，交于E，交于F，通过证明，可得．（1）请你证明：． 【迁移应用】延长分别交所在直线于点，如图（4），（2）猜想并证明与的位置关系． 【答案】（1）见解析；（2）垂直，证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据得出，再由等腰三角形的性质得，并运用三角形全等的判定得出，即可证出． （2）由（1）可知，由此得出，根据相等角的转换得出，即可证出． 【详解】（1）证明：由题意可知， ， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ． （2）猜想：，证明如下： 由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形性质的运用，运用全等三角形的性质，找对对应边，即可得三边边长，然后根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴的周长为． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知于点E，于点F，，则图中的全等三角形有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定方法确定全等三角形，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 综上：共有3对全等三角形； 故选：C． 3．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记并灵活应用全等三角形的判定定理三角形的解答本题的关键． 【详解】解：甲三角形的，边和所对的角分别与C中的边、角对应相等，无法构成两三角形全等所需的条件，故甲与不全等； 乙三角形的、边以及其夹角分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：乙与全等； 丙三角形的两角，边分别与中的边、角对应相等，依据两三角形全等的判定定理知：丙与全等； 故选A． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在和中，，，．连接，，并延长分别交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可证得，由全等三角形的性质即可判断结论、结论；由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，由平分可得，由全等三角形的性质可得，进而可得，由内错角相等两直线平行即可判断结论；根据已知条件无法证明，由此即可判断结论；综合以上，即可得出答案． 【详解】解：， ， 即：， 在和中， ， ， ，结论正确，故选项不符合题意； ，结论正确，故选项不符合题意； ， ， ， ， 平分， ， 又， ， ， ，结论正确，故选项不符合题意； 根据已知条件无法证明，结论错误，故选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，角平分线的有关计算，内错角相等两直线平行等知识点，证明是解题的关键． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 由、均垂直于，即可得出，结合、，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点C，F在线段上，，，，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，证明是本题的关键．根据题意证明，再利用全等三角形的性质求解，即可解题． 【详解】解：因为， 则， 所以． 在与中， ， 所以， 所以， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点B，且，点Q从点B向点D运动，每分钟走，点P从点B向点A运动．若P，Q两点同时出发，点P每分钟走 时，能使与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，分两种情况：①若，，则；②若，，则，即可得出结果． 【详解】解：设点P每分钟走， ∵， ∴， ①若，，此时， ∴， ∴； ②若，则，此时， ∴ ∴； 故答案为：或． 9．（20-21七年级下·上海松江·期末）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积 ∴阴影部分的面积； 故答案为：6． 10．（19-20八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，全等三角形的性质的应用，所以熟悉三角形全等的判定方法并应用，熟悉全等三角形的性质并应用是关键． 先证明与全等，再证明即可得到答案． 【详解】解：， ， 在与 中， ，故①正确， 在与 中， ()，故④正确， ，故③正确． 因为条件不足，无法证明②； 故答案为：①③④． 11．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键． （1）由三角形外角性质求得，然后由全等三角形的对应角相等来求的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ． ， ； （2）解：，， ， ， ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，∠B＝∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE． (1)运动 秒时，AE＝DC（不必说明理由） (2)运动多少秒时，∠ADE＝90°－∠BAC，并请说明理由； 【答案】（1）3；（2）运动秒时,∠ADE=90°−∠BAC. 【分析】（1）设运动的时间是t秒，则CD=12-2t，AE=9-2t，得出方程9-2t=（12-2t），求出方程的解即可；（2）求出∠B=∠C=∠ADE，推出∠BAD=∠EDC，根据AAS证△ABD≌△DCE，推出DC=AB=9即可． 【详解】(1)设运动的时间是t秒， 则CD=12−2t，AE=9−2t， 9−2t=(12−2t) t=3， 故答案为3. (2)设x秒后,∠ADE=90°−∠BAC， ∵∠B=∠C=90°−∠BAC， ∴∠B=∠C=∠ADE， ∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°,∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°， ∴∠BAD=∠EDC， 在△ABD和△DCE中， ∴△ABD≌△DCE(AAS)， ∴DC=AB=9， ∴BD=3， ∴x=， 即运动秒时,∠ADE=90°−∠BAC. 【点睛】本题考查全等三角形的判定(AAS)和性质、一元一次方程，解题的关键是掌握全等三角形的判定(AAS)和性质、一元一次方程的实际应用. 13．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）在数学活动课上，李老师让同学们试着用角尺平分（如图所示）．有两组同学设计了如下方案． 方案①：将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度位于上，且交点分别为，，即，过角尺顶点的射线就是的平分线． 方案②：在边上分别截取，将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点，重合，即，过角尺顶点的射线就是的平分线． 方案①与方案②是否可行？请说明理由． 【答案】方案①不可行，方案②可行；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，角平分线的定义；根据即可得出，则就是的平分线． 【详解】解：方案①不可行；理由如下：因为只有，不能判断， 所以不能判定就是的平分线； 方案②可行；理由如下： 在和中， ， 所以， 所以． 所以就是的平分线． 14．（24-25七年级下·上海闵行·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 【答案】不正确，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键； 根据已知条件得出，得，在和中，利用即可得出结论. 【详解】解：不正确，正确步骤为： 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 15．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）某中学七（2）班学生到户外活动，为了测量池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案： 如图，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为点A，B之间的距离． 阅读后回答下列问题： (1)此方案是否可行？请说明理由； (2)方案中作的目的是什么？若，方案是否仍然成立（无须说明理由）？ 【答案】(1)可行，见解析 (2)目的见解析，成立 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键： （1）证明，可得到，故此方案可行． （2）根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：此方案可行．理由如下： 由题意可知，， 所以． 在和中， 所以， 所以． 故此方案可行． （2）作的目的是为了使，同时简化测量过程，提高测量的准确性（合理即可）． 若，方案仍然成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形全等的性质与判定重难点题型专训（17大题型+15道提优训练） 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 题型四 用SSS证明三角形全等（SSS） 题型五 用SAS证明三角形全等（SAS） 题型六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 题型七 格点作图题 题型八 添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 题型九 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 题型十 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十一 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 题型十二 利用全等三角形的判定与性质求角度 题型十三 利用全等三角形的判定与性质求长度 题型十四 利用全等三角形的判定与性质求面积 题型十五 尺规作图——作三角形 题型十六 全等三角形中的动点问题 题型十七 全等三角形的综合问题 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点03全等三角形的性质 ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； 要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 全等变换：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点04全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【经典例题一 图形的全等】 【例1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同 C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形 1．（22-23七年级下·上海闵行·期中）下列各组中的两个图形为全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形与四边形全等，则 ， ， ， ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，画在透明纸上的和是全等图形吗？你是怎么判新的？ 【经典例题二 全等三角形的概念】 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，和全等，则下列表示正确的是（   ）    A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·上海崇明·期中）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 2．（22-23八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 3．（23-24八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，，与为对应角，与为对应边． (1)写出其他对应边及对应角； (2)若，，求的长． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例3】（2025七年级下·上海静安·阶段练习）如图，已知图中两个三角形全等，则与的和为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期末）如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动．若 与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（  ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25七年级下·上海奉贤·单元测试）如图，已知在和中，，且，，，，则的周长为 cm，面积为 ． 3．（23-24八年级上·上海松江·期末）如图，已知，点E在边上，与交于点F． (1)若 ，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【经典例题四 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例4】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，中，，则由“”可以判定（   ） A． B． C． D．以上都不对 1．（23-24八年级上·上海长宁·阶段练习）图1是数学实验课上小哲做的角平分仪，其工作原理如图2，其中，，将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，则射线就是的平分线．此角平分仪作图所运用的数学知识是（   ）                图1                                             图2 A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明用如图所示的方法画出了与全等的，他的具体画法是：①画射线，在射线上截取；②以点D为圆心，长为半径画弧，以点E为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点F；③连接．这样就是所要画的三角形，小明这样画图的依据是全等三角形判断方法中的 ． 3．（2024八年级上·全国·阶段练习）如图，，，求证：． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例5】（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图，已知，与交于点，添加条件后，可使得成立，则判断和全等的依据是（   ） A． B． C． D． 1．（2011·上海徐汇·一模）如图，两根钢条的中点O连在一起，可绕点O自由转动，则的长等于内槽宽．判定的理由是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在和中，，已知，小亮说：若，则可判定，他的依据是 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在和中，，，．与全等吗？请说明理由． 【经典例题六 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例6】（21-22八年级上·上海松江·期中）如图，一块三角形的玻璃碎成3块（图中所标1、2、3），小华带第3块碎片去玻璃店，购买形状相同、大小相等的新玻璃，这是利用三角形全等中的（    ）    A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，已知太阳光线和是平行的，在同一时刻，如果将两根高度相同的木杆竖直插在地面上，那么在太阳光照射下，其影子一样长．这里判断影长相等利用了全等图形的性质，其中判断的依据是(    )    A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·阶段练习）如图，海岸上有两个观测点，点在点的正东方，海岛C在观测点A正北方，海岛C,D在观测点A,B所在海岸的同一侧，如果从观测点A看海岛D的视角与从观测点B看海岛C的视角相等，海岛C,D分别到观测点B,A的距离相等，问海岛D在观测点B的正北方吗？请说明理由：_________． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，，，，，，， (1)求证：； (2)求的长度． 【经典例题七 格点作图题】 【例7】（23-24七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题： (1)补全； (2)画出边上的高线；画出边上的中线； (3)在上画出一点，使得与的面积相等． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点都在格点上．（提醒：①每个小正方形边长1；②所面图中不用标注顶点字母） (1)在图1中，画出一个与关于直线AC成轴对称的格点三角形． (2)在图2中，画出一个与关于直线BC成轴对称的格点三角形． (3)在图3中，画出一个与面积相等且形状不同的格点三角形． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，的三个顶点都在方形网格的格点上．    (1)在图1中画一条直线，使它恰好平分的周长； (2)在图2中经过点画出一条线段，使它恰好平分的面积； (3)在图3中画出关于直线对称的图形． 3．（22-23七年级下·上海闵行·期中）作图题：（利用无刻度的直尺作图） 如图，在方格纸中，有两条线段．利用方格纸完成以下操作： (1)过点A作的平行线； (2)过点C作的平行线，与（1）中的平行线交于点D； (3)过点B作的垂线； (4)请在上找一点P，使得线段平分三角形的面积，在图上作出线段． 【经典例题八 添加条件使三角形全等】 【例8】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，已知，则一定能使的条件是（   ） A． B． C． D． 1．（15-16七年级上·上海奉贤·期末）如图，若，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图点，分别在线段，上，，相交于点，，要使，只需添加一个条件是 （只需添加一个你认为适合的条件）． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【经典例题九 灵活选用判定方法证全等】 【例9】（21-22八年级上·上海闵行·期末）根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．°，， 1．（16-17八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，平分，，则图中的全等三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，点、分别在、上，与相交于点，连接，如果，，那么图中的全等三角形共有 对． 3．（23-24七年级下·上海普陀·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【经典例题十 旋转模型】 【例10】（21-22七年级下·上海普陀·阶段练习）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 1．（22-23九年级上·上海金山·阶段练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（   ） A．60° B．90° C．120° D．150° 2．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成二部分，AD=3厘米，阴影部分的面积是6平方厘米，长 厘米． 3．（20-21七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【经典例题十一 垂线模型】 【例11】（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 1．（23-24八年级上·上海闵行·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A．54 B．60 C．100 D．110 2．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）如图，线段，射线于点A，C是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰与等腰，连接交射线于点M，则的面积为 ． 3．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ①请在图1找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论； ， ， ∵，， ，， ， ， ∵ ， __________； ②，，则__________； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接CE，则的面积为__________． 【经典例题十二 利用全等三角形的判定与性质求角度】 【例12】（2024八年级下·全国·阶段练习）如图，在中，，，在中，，，且点在边上，连接，将线段绕点逆时针旋转一定角度得到线段，使得，则的度数为（　　） A． B．或 C． D．或 1．（22-23八年级上·上海长宁·期中）已知点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F，将图1中的绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在、中的一条线段上），如图2，则与α的数量关系为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海静安·期中）如图，已知A，B，C在同一条直线上，且，，那么的角度是 ． 3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知点是上一点，、都是等边三角形。 (1)吗？为什么？ (2)说明； (3)若绕着点旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？（此问只须写出判断结论，不要求说理） 【经典例题十三 利用全等三角形的判定与性质求长度】 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的高相交于点F，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图， ， ，、分别为线段和射线上的一点，若点从点出发 向点运动，同时点从点出发向点运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点，使与全等，则的长为（        ）   A． B． C．或 D．或 2．（22-23八年级上·上海静安·期中）如图，过边长为2的等边的边上点作于，为延长线上一点，当时，连交边于，则长为 ． 3．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，已知，D是直线上的点，．过点 A作，并截取，连接． (1)判断 的形状并证明； (2)若，求的长． 【经典例题十四 利用全等三角形的判定与性质求面积】 【例14】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 1．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，平分，若的面积是9，则的面积是（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2．（22-23七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，，，，求的面积 ． 3．（24-25八年级上·上海虹口·期中）在直线上依次取互不重合的三个点、、，在直线上方有，且满足． 【积累经验】 （1）如图1，当时，猜想线段、、之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是，请求出与的面积之和． 【经典例题十五 尺规作图——作三角形】 【例15】（18-19八年级上·上海宝山·期末）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 1．（23-24八年级上·上海杨浦·期末）已知线段a，c，，求作：，使，，． 以下是排乱的作图步骤： 正确作图步骤的顺序是（    ） A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③ 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知线段a，b，c，求作，使，作法的合理顺序为 ．（请填写序号） ①分别以点B，C为圆心，以c，b的长为半径作弧，两弧交于点A；②连接，，则就是所求作的三角形；③作一条线段． 3．（23-24七年级下·奉贤·期末）（1）根据图形填空： ①若，则根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得_______； ②若，则根据“_________”，可得________． （2）已知：．求作：，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题十六 全等三角形中的动点问题】 【例16】（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，，，，平分交于D点，E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A． B．5 C．3 D． 1．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（    ）秒时，与全等． A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在中，，是线段上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．当时，的度数为 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）（推理能力）如图，是上的两个动点，且． (1)若点运动至图①所示的位置，且．试说明：； (2)若点运动至图②所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由； (3)若点不重合，且，则和平行吗？请说明理由． 【经典例题十七 全等三角形的综合问题】 【例17】（24-25七年级上·上海金山·期中）小明同学在学习了利用尺规作一个三角形与已知三角形全等后，尝试用不同的方法作三角形，则在下列作出的图形中，不一定与全等的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接、、、．有如下结论：①；②；③；④平分．其中正确的结论正确的是（      ）    A．②③ B．③④ C．①②④ D．①②③ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，和的平分线，相交于点O，且交于点，交于点E．某同学分析图形后得出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的是 （填序号）． 3．（24-25八年级上·上海青浦·期中）【情境再现】甲、乙两个含角的直角三角尺如图（1）放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图（2）位置．小莹用作图软件按图（2）作出示意图，并连接，如图（3）所示，交于E，交于F，通过证明，可得．（1）请你证明：． 【迁移应用】延长分别交所在直线于点，如图（4），（2）猜想并证明与的位置关系． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，若，则的周长等于（   ）    A．7 B．9 C．10 D．13 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知于点E，于点F，，则图中的全等三角形有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（23-24七年级下·上海崇明·期末）已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中一定与△ABC全等的是（    ）    A．乙和丙 B．甲和丙 C．甲和乙 D．只有丙 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在和中，，，．连接，，并延长分别交，于点，．若恰好平分，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（   ） A． B． C． D．以上都不对 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数是 ． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，点C，F在线段上，，，，，则 ． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，于点A，于点B，且，点Q从点B向点D运动，每分钟走，点P从点B向点A运动．若P，Q两点同时出发，点P每分钟走 时，能使与全等． 9．（20-21七年级下·上海松江·期末）如图，在中，平分，于点P，已知的面积为，则阴影部分的面积为 ． 10．（19-20八年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，在和中，，，与相交于点，与相交于点，与相交于点，．有下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 11．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，∠B＝∠C，点D从B出发以每秒2厘米的速度在线段BC上从B向C方向运动，点E同时从C出发以每秒2厘米的速度在线段AC上从C向A运动，连接AD、DE． (1)运动 秒时，AE＝DC（不必说明理由） (2)运动多少秒时，∠ADE＝90°－∠BAC，并请说明理由； 13．（24-25七年级下·上海长宁·课后作业）在数学活动课上，李老师让同学们试着用角尺平分（如图所示）．有两组同学设计了如下方案． 方案①：将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度位于上，且交点分别为，，即，过角尺顶点的射线就是的平分线． 方案②：在边上分别截取，将角尺的直角顶点界于射线之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与点，重合，即，过角尺顶点的射线就是的平分线． 方案①与方案②是否可行？请说明理由． 14．（24-25七年级下·上海闵行·随堂练习）如图，和的顶点A和D在的同侧，，，交于点O，试说明：． 下面是小明的解答过程： 解：在和中，因为，，，所以，所以，所以． 请问小明的解法正确吗？如果不正确，请改正过来． 15．（24-25七年级下·上海静安·课后作业）某中学七（2）班学生到户外活动，为了测量池塘两端A，B之间的距离，设计了如下方案： 如图，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为点A，B之间的距离． 阅读后回答下列问题： (1)此方案是否可行？请说明理由； (2)方案中作的目的是什么？若，方案是否仍然成立（无须说明理由）？ 学科网（北京）股份有限公司 $$