专题01 三角形的有关概念重难点题型专训（10大题型+15道提优训练）-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题01 三角形的有关概念重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的分类 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 画三角形的高 题型六 三角形角平分线的定义 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 根据九 三角形中线求面积 题型十 三角形三边关系的应用 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点04 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点05 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形顶点与对边中点的连线是三角形的中线．根据折叠的性质可得出，得出点E为中点，即可得出结论． 【详解】 解：∵将三角形纸片折叠，使点B，C重合， ∴， ∴线段是的中线， 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个． 【答案】 【分析】根据三角形的定义得出三角形的个数即可． 【详解】解；图中以为边的三角形有，，共个． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，数三角形时做到不重不漏是解答本题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【分析】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【详解】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 【经典例题二 三角形的分类】 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的分类、钝角三角形的定义等知识点，确定各个钝角三角形成为解题的关键． 先列举出所有钝角三角形，然后再统计即可解答． 【详解】解：如图：钝角三角形有：、、、、，共5个． 故选D． 1．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形按角分类的方法．根据图示，露出的角是一个锐角，被遮住的两个角可能有两个锐角，有一个直角或钝角，据此解答． 【详解】解：如上图中被信封遮住的可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 【答案】 110 钝角 【分析】本题主要考查根据比的相关知识进行解答，三角形的内角和等于，度数之比为，则说明把180°平均分成三份，先求出一份的大小，再计算出较大角的度数，确定什么三角形即可． 【详解】解：(度)， 则这个三角形为钝角三角形． 故答案为：110；钝角． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1)3个，见解析；各三角形的名称分别为 (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）解：以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； （2）解：是等腰三角形，是钝角三角形． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， 不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、， 能构成三角形，符合题意； D、， 不能构成三角形，不符合题意， 故选：C． 1．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）下列说法，错误的有（    ）个 ①一个书包打六折出售，就是便宜了； ②把一个正方形按缩小后，面积缩小到原来； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④用三根长度分别为的小棒能拼成一个三角形． A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了折扣的意义、图形的放大与缩小、垂线段的性质三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①打六折出售，就是现价是原价的，比原价便宜了，据此判断即可；②把一个正方形按缩小后，边长缩小到原来的，面积缩小到原来的据此判断即可；③根据“垂线段最短”直接判断即可；④根据“三角形的两边之和大于第三边”判断即可． 【详解】解：①，则一个书包打六折出售，就是便宜了，则原题说法错误； ②把一个正方形按缩小后，边长缩小到原来的，面积缩小到原来的，则原题说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，则原题说法正确； ④，则用三根长度分别为的小棒不能拼成一个三角形． 综上，错误的有3个． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边的关系，小豫只能锯木条，因为组成三角形的任意两边之和大于第三边,分别锯成,或者,或者,或者． 【详解】解：填表如下： 三角形 a边 b边 c边 1 6 6 8 2 7 5 8 3 8 4 8 4 9 3 8 3．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： (1)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ (2)若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式、三角形的三边关系； （1）利用概率公式求解即可； （2）设，，小明再转动一次，转出的数字为c，根据三角形的三边关系求得，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字， ∴转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是； （2）解：设，，小明再转动一次，转出的数字为c， 由三角形的三边关系得：， 即， ∴， ∴或5或6或7或8， ∴这三条线段能构成三角形的概率为． 【经典例题四 确定第三边的取值范围】 【例4】（23-24七年级下·上海青浦·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，解一元一次不等式，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．根据“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”列出不等式，即可解答． 【详解】解：，，能构成三角形， ， ， 解得， 又， ， 选项D不符合要求． 故选D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系．根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】设第三边为， 根据三角形的三边关系，得：， 即， ∵为整数， ∴的最小值为6． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，先根据三角形三边关系得出，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边长分别是， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，倍长中线并证明两个三角形全等是解题的关键． （1）延长至E，使，连接，易证，得，由三角形三边关系即可求解； （2）延长到点G，使，连接，由得；再由证明，有，由三角形三边关系即可证明． 【详解】（1）解：如图2，延长至E，使，连接， 是中线， ， 又， ， ， ， ， ∴； （2）如图3，延长到点G，使，连接， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【经典例题五 画三角形的高】 【例5】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图基本作图，根据三角形高的定义即可得出结论，熟知三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：边的高垂直于，且过点B 由图形可得，选项不是，选项是， 故选：． 1．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，，是上两点，平分，平分，那么下列说法中不正确的是（      ） A．的长度等于D到的距离 B．是的高 C． D．是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，三角形的角平分线定义，三角形的性质定理．根据三角形的高线，三角形的角平分线定义逐一分析判断即可． 【详解】解：∵平分， ∴的长度等于D到的距离，选项A说法正确，不符合题意； ∵， ∴是的高，选项B说法正确，不符合题意； ∵平分，∴， ∵平分，∴， ∴，选项C说法正确，不符合题意； ∵平分， ∴是的角平分线，选项D说法错误，符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 【答案】AE 【分析】根据三角形的高的概念即可得答案． 【详解】∵H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点， ∴BE⊥AC，即AE⊥BH， ∴△BHA中边BH上的高是AE， 故答案为：AE 【点睛】本题考查三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）做出三角形的三条高． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了画三角形的高，利用基本作图，分别过三个顶点作对边的垂线即可，熟练掌握三角形的高的概念是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交延长线于点； 过作，交于点； 过作，交延长线于点； ∴即为所求． 【经典例题六 三角形角平分线的定义】 【例6】（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的性质，根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线．熟练掌握三角形的中线，角平分线的定义，是解题的关键．三角形的中线：连接三角形一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的平分线．先根据是中线，是角平分线得出，；根据这两个条件逐一判断即得． 【详解】∵是的中线， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，故D正确，不符合题意； ∵是的角平分线， ∴， ∴是的角平分线，故B正确，不符合题意； ∵是的中线，但不是的中线，故C错误，符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 3．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例7】（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是8厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（　　）平方厘米．    A．40 B．80 C．100 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据图形可知推出图中阴影部分的面积=平行四边形的面积的一半即可求解． 【详解】解：由题意可知，四边形、四边形都是平行四边形， 设平行四边形边，平行四边形的边边上的高分别为，， 则图中阴影部分的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵厘米， ∴图中阴影部分的面积（平方厘米）， 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形高的计算，解题的关键是正确作出辅助线．连接，根据，代入数据计算，即可求解． 【详解】解：连接， ∵的面积是15，， ∴， 即， ， 故答案为：5． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】（2024·上海金山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】C 【分析】图2中，证明，则，，，证明四边形是平行四边形，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法一可行；图3中，由题意知，是的中位线，则，由，可知是直角三角形，，则；可判断方法二可行． 【详解】解：图2中，∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法一可行； 图3中，由题意知，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴；方法二可行； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题的关键． 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确； B、直角三角形有三条高，故该选项错误； C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误； D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误； 故选：A． 2．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 【答案】(1)和的周长之差； (2)． 【分析】查考查了三角形的高、中线，等积法求三角形的高，理解三角形的高、中线的意义是解题的关键； （1）由是边上中线，得，则可得，从而求解； （2）利用同一三角形面积相等即可求得的长度． 【详解】（1）解：∵是边上中线， ∴， ∴ ， 即和的周长之差； （2）解：∵是边上的高， ， ， 即． 【经典例题九 三角形中线求面积】 【例9】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积，根据三角形的中线得出，，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，再根据三角形的面积公式求出即可，熟知上述知识是解此题的关键． 【详解】解：中，三条中线，，相交于点， ，， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．连接，设，四边形的面积为：，求出，中边上高的长为，根据等底同高的三角形的面积相等以及三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接，设，中边上高的长为， 、分别为的边、的中点，线段为的中线， ， ， ， ， 四边形的面积为：， ， 的面积为，即的面积， 解得：． 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，点D为边的中点，点E为边上，且，与相交于点F，若的面积比的面积大1，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，根据可得，根据点D为边的中点，可得即可求解． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴ ∵点D为边的中点， ∴ ∴ ∵的面积比的面积大1， ②-①得： ∴的面积为6 故答案为：6． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十 三角形中线求面积】 【例10】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是4，则的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 【答案】B 【分析】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据三角形的中线平分三角形的面积可得的面积的面积，的面积的面积，再由求出的面积的，可得结论． 【详解】解：连接， 是的中点， 的面积的面积，的面积的面积， ， 的面积， 的面积， 的面积的面积． 故选：B． 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，正确列出每种情况的代数式，然后根据三角形三边关系进行判断是本题解题的关键．分别列出P点在三角形内以及在B、C两点处时，所有学生走过路程的总和，根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图： 当点P在的内部时： 所有学生走过的路程为： ， 当点P在点C处： ， 当点P在点B处： ， ∴ 在和中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， ∴， ∵三条中线的交点处和和的角平分线的交点处均在三角形内， ∴B和D均不符合题意， 综上所述，P点应该在点B处． 故选：C． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长，题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形，解题的关键是验证能否组成三角形． 【详解】解：若3为腰长，7为底边长， ∵， ∴三角形不存在， 若7为腰长，3为底边长，则符合三角形的两边之各大于第三边， ∴这个三角形的周长， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，两点之间直线最短．连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小，在四边形内任找一点（如点，且与点不重合），比较它与点到四个顶点的距离之和即可得到结论． 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下： ∵，且， ∴， ∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系可得，即可确定的长度可以为3、4、5，再求出三角形的可能取值即可解答． 【详解】解：∵在中，若， ，即， ∴， ∵的长度为整数， ∴的长度可以为3、4、5， ∴的周长可能是9、10、11． 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为D， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 3．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长为不小于的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，当n取最大值时，有______种方法将该铁丝截成满足条件的n段．（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，数字规律探索，先根据题意得出这些最小段的长度只可能是…，根据，，得出n的最大值是8，然后分情况讨论即可得出答案． 【详解】解：因为n段之和为定值，故欲n尽可能的大，必须每段长度尽可能小，又每段长度为不小于的整数，且任意3段不能拼成三角形，从而任意3段中最长的一段的长度不小于其他2段长度之和，因此这些最小段的长度只可能是…， ∵， ， ∴n的最大值是8， 将长为的铁丝截成满足条件的8段，共有下列6种方式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ⑥； 综上分析可知：有6种方法将该铁丝截成满足条件的8段． 故选：D． 4．（2025·上海嘉定·一模）有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀 C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答． 【详解】由题图知在中，，， ∴小棒a的长度为． ∵小棒b的长度， ∴小棒a无论怎样剪，都不能和小棒b围成三角形，故选项A、C，不符合题意； 当小棒b剪成两根长度分别为1和5的小棒，小棒a的长度为3时． ∵， ∴不能围成三角形， 故选项B不符合题意； 当对小棒b正中间剪一刀时，两根长度分别为3和3的小棒，由三角形三边关系可知，此时3根小棒一定能围成三角形，故选项D符合题意； 故选：D． 5．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键． 利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，，，，，再得到，，所以即可得出． 【详解】解：∵，，分别是边，，上的中点， ∴，，，， ∴，， ∴ ∴ 故选：D． 6．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ． 【答案】第三边 【分析】此题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∴， 解得：， ∴它第三边的取值范围是， 故答案为：第三边． 7．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个． 【答案】4 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，用穷举法即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边， 列举法：当3是最大边时，有． 当3是中间的边时，有． 共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，难度一般，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 8．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）平行四边形的面积是（如图），甲、乙底边的比是，甲、乙、丙的面积比是 ，其中乙三角形的面积是 cm2． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟记平行四边形的性质，三角形的面积是解题的关键. 根据三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可求解. 【详解】解：由图形可知，三角形甲、乙、丙等高， ∴甲、乙、丙的面积比等于底之比， ∵甲、乙底边的比是，平行四边形对边相等， ∴甲、 乙、丙的底之比为, ∵平行四边形的面积是 ∴乙三角形的面积 故答案为: , . 9．（2024七年级下·上海松江·模拟预测习）如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ．    【答案】11 【分析】根据三角形的面积得出的面积为88，再利用中线的性质得出的面积为88，进而解答即可．此题考查三角形的面积问题，关键是根据三角形的面积得出的面积，掌握三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：，， 的面积为：， 是的中线， 的面积为88， 点到的距离是． 故答案为：11． 10．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据等底同高得出面积相等；根据等角的余角相等求出，根据角平分线的定义得出，再根据等角的余角相等求出，等量代换后得出． 【详解】解：是中线， ； 正确； ， ， 是高， ， ， 是角平分线， ， ， ， 正确； ，， ， 是角平分线， ， ． 正确； 综上所述，正确的有． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，掌握三角形的面积、三角形的角平分线、中线和高的综合应用，其中用等角的余角相等求出相等的角是解题关键． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置． (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查了三角形的分类，熟练掌握三角形的分类标准是解题的关键：主要有两种分类标准，一是按角分类，分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；二是按边分类，分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形． （1）由三角形的分类（按边分类）即可直接得出答案； （2）由三角形的分类（按角分类）即可直接得出答案． 【详解】（1）解：按边分类，由图可知： 三边均不相等的是不等边三角形， 两条边相等的是等腰三角形， 三条边相等的是等边三角形， 故答案为：，，； （2）解：按角分类，由图可知： 都是锐角的是锐角三角形， 有直角的是直角三角形， 有钝角的是钝角三角形， 故答案为：，，． 12．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积计算，构成三角形的条件，先由三角形中线平分三角形面积得到，进而根据三角形面积计算公式得到，再由构成三角形的条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，是中线，， ∴， ∵是高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的长为奇数且， ∴． 13．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查作图-基本作图， 解题的关键是掌握三角形高线的定义和三角形的面积公式． （1）根据三角形高的定义作图即可得； （2） 依据求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 【答案】(1)，， (2)的角平分线，，，，的角平分线 (3) (4)， 【分析】（1）由三角形的高的定义及垂线的定义即可直接得出答案； （2）由三角形角平分线的定义即可直接得出答案； （3）由三角形的中线的定义即可直接得出答案； （4）由三角形的中线的定义即可直接得出答案． 【详解】（1）解：在中，，垂足为，则是边上的高，， 故答案为：，，； （2）解：若平分，交于点，则叫的角平分线，，叫的角平分线， 故答案为：的角平分线，，，，的角平分线； （3）解：若，则的中线是， 故答案为：； （4）解：若，则是的中线，是的中线， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的定义，垂线的定义，三角形角平分线的定义，三角形的中线的定义等知识点，熟练掌握与三角形有关的线段的定义是解题的关键． 15．（23-24七年级下·上海闵行·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 【答案】(1)①，理由见解析；② (2) 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果；②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴点为的中点，， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形的有关概念重难点题型专训（10大题型+15道提优训练） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的分类 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 画三角形的高 题型六 三角形角平分线的定义 题型七 与三角形的高有关的计算问题 题型八 根据三角形中线求长度 根据九 三角形中线求面积 题型十 三角形三边关系的应用 知识点01 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点02 三角形的分类 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点03 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点04 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点05 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 1．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）如图，将三角形纸片折叠，使点B，C重合，折痕与，分别交于点D、点E，连接，下列是的中线的是（　　） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（23-24七年级下·上海奉贤·阶段练习）图中以为边的三角形共有 个． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【经典例题二 三角形的分类】 【例2】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，钝角三角形的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）同学们在玩“猜三角形”的游戏，图中被信封遮住的（      ）． A．只能是锐角三角形 B．只能是直角三角形 C．只能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形 2．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）一个三角形的三个角的比是，最大的角是 度．这是一个 三角形． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【经典例题三 构成三角形的条件】 【例3】（24-25七年级下·上海杨浦·期末）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）下列说法，错误的有（    ）个 ①一个书包打六折出售，就是便宜了； ②把一个正方形按缩小后，面积缩小到原来； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④用三根长度分别为的小棒能拼成一个三角形． A．2 B．3 C．4 D．1 2．（23-24七年级下·上海金山·阶段练习）【三角形的三边关系】小豫想制作一个三角形框架，他找到了 这样的两根木条（如图）： 小豫把其中一根木条锯成长度是整厘米数的两段，然后和另外一根木条围成一个三角形．请将可能组成的不同三角形的三条边（表格中分别用a，b，c表示，排列顺序与结果无关，数值相同即为同一个三角形）的长度填入表中．（表格不一定要全部填满） 三角形 a边 b边 c边 三角形 a边 b边 c边 1 5 2 6 3 7 4 8 3．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，现有一个圆形转盘被平均分成8份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（若指针指向分界线，则重新转）．求： (1)转动转盘一次，转出的数字为偶数的概率是多少？ (2)若小明转动两次后分别转到的数字是3和6，小明再转动一次，转出的数字与前两次转出的数字分别作为三条线段的长（长度单位均相同），求这三条线段能构成三角形的概率． 【经典例题四 确定第三边的取值范围】 【例4】（23-24七年级下·上海青浦·期末）圆圆想要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形．如图，这根铁丝的长度为，圆圆从，两处弯曲，其中，她一定不能成功的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海闵行·期中）一个三角形的两边长为12和7，第三边长为整数，则第三边长的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24七年级下·上海松江·阶段练习）已知三角形的三边长为，化简： ． 3．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 【经典例题五 画三角形的高】 【例5】（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，在中，，是上两点，平分，平分，那么下列说法中不正确的是（      ） A．的长度等于D到的距离 B．是的高 C． D．是的角平分线 2．（23-24七年级下·上海静安·阶段练习）如图，H若是△ABC三条高AD，BE，CF的交点，则△BHA中边BH上的高是 ． 3．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）做出三角形的三条高． 【经典例题六 三角形角平分线的定义】 【例6】（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，直线a、b被直线c所截，交点分别为B、C，且直线，平分，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，在中，角平分线与中线交于点O，则下列结论错误的是（    ）    A． B．是的角平分线 C．是的中线 D． 2．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 3．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【经典例题七 与三角形的高有关的计算问题】 【例7】（2024·上海嘉定·模拟预测）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）如图所示，平行四边形中，厘米，厘米，边上的高是8厘米．是和的平行线，图中阴影部分的面积是（　　）平方厘米．    A．40 B．80 C．100 2．（24-25七年级下·上海金山·阶段练习）如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是 ． 3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【经典例题八 根据三角形中线求长度】 【例8】（2024·上海金山·三模）对于题目：如图1，在钝角中，，，边上的中线，求的面积．李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法． 则下列说法正确的是（   ） A．只有方法一可行 B．只有方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 1．（23-24七年级下·上海闵行·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 2．（23-24七年级下·上海金山·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 3．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，在中，分别是边上的高和中线，，． (1)求和的周长之差； (2)求的长度． 【经典例题九 三角形中线求面积】 【例9】（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，中，三条中线相交于点，若的面积是36，则的面积是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，已知、分别为的边、的中点，线段为的中线，连接，若四边形的面积为，且，则中边上高的长为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，点D为边的中点，点E为边上，且，与相交于点F，若的面积比的面积大1，则的面积为 ． 3．（23-24七年级下·上海松江·期末）如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【经典例题十 三角形中线求面积】 【例10】（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是4，则的面积是（   ） A．24 B．32 C．36 D．40 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）A、B、C为三个小区，A、B、C三个小区的学生人数比为3：7：4，现在要在所在的平面上建造一个学校P，使得所有学生走的路程和最短，则学校P应该选在（　　） A．点C处 B．三条中线的交点处 C．点B处 D．和的角平分线的交点处 2．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ． 3．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）在中，若，且的长为整数，则的周长可能是（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 2．（23-24七年级下·上海宝山·阶段练习）在中，作出边上的高，正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）现有长为的铁丝，要截成小段，每小段的长为不小于的整数，如果其中任意3小段都不能拼成三角形，当n取最大值时，有______种方法将该铁丝截成满足条件的n段．（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2025·上海嘉定·一模）有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　） A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀 C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀 5．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，，，分别是边，，上的中点，若阴影的面积为6，则的面积是（     ） A．12 B．14 C．15 D．16 6．（23-24七年级下·上海青浦·期末）若某三角形的两条边分别是，，那么它第三边的取值范围是 ． 7．（23-24七年级下·上海虹口·阶段练习）已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是3，但它不是最短边，这样的三角形共有 个． 8．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）平行四边形的面积是（如图），甲、乙底边的比是，甲、乙、丙的面积比是 ，其中乙三角形的面积是 cm2． 9．（2024七年级下·上海松江·模拟预测习）如图，是的中线，是的高线，，，，则点到的距离是 ．    10．（23-24七年级下·上海长宁·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，下面说法中正确的有 请填写序号． ①；②；③． 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）把下列三角形进行分类，并把序号填入到正确的位置． (1)按边分类： 三边均不相等的______是不等边三角形； 两条边相等的______是等腰三角形； 三条边相等的______是等边三角形． (2)按角分类： 都是锐角的______是锐角三角形； 有直角的______是直角三角形； 有钝角的______是钝角三角形． 12．（23-24七年级下·上海普陀·期中）如图在中，分别是边上的中线和高，，，的长为奇数，求的长和的长． 13．（24-25七年级下·上海奉贤·阶段练习）如图，在中，是边上的高． (1)作出边上的高； (2)若，求边上的高． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图． (1)在中，，垂足为，则是___________边上的高，______________________； (2)若平分，交于点，则叫___________，_________________________________，叫___________； (3)若，则的中线是___________； (4)若，则是___________的中线，是___________的中线． 15．（23-24七年级下·上海闵行·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． 若是的中线，请判断与的大小关系，并说明理由． 若，则：______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形．直接写出，与之间的等量关系；_______． 学科网（北京）股份有限公司 $$