精品解析：天津市第二南开学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级 数学 一、选择题（共12小题） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y=﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（　　） A. x1＜x2＜0 B. x1＜0＜x2 C. x2＜x1＜0 D. x2＜0＜x1 5. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 图象的对称轴在轴的右侧 7. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 10. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 11. 如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 二、填空题（共6小题） 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 14. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 15. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m值为______． 16. 如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是________． 17. 如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则______________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，是小正方形边的中点． （1）的长等于___________； （2）是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 三、解答题（共7小题） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 21. 已知是的直径，交于点H． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，若H为弦的中点，过延长线上一点P作的切线，切点为F，若，求的大小． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度． 如图，在梯形平台上有一座高为的古塔，已知，点A在水平线上． 某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为． （1）求梯形平台的高的长； （2）设古塔的高为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）：______________． ②求古塔的高度（，取1.7，结果取整数）． 23. 已知小亮家、超市、体育场依次在同条直线上，超市离小亮家，体育场离小亮家，小亮从家骑车匀速骑行到体育场锻炼，在那里停留了后，又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 离开家的时间 5 10 30 88 离开家的距离 3 ②填空：体育场到超市的距离为______； ③当时，请直接写出小亮离家的距离关于的函数解析式． （2）当小亮离开体育场时，小亮的哥哥小明从家出发匀速步行直接去体育场，如果小明的速度为，那么小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 24. 在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为． （1）如图①，当时，求与的交点的坐标； （2）如图②，连接，当经过点A时，求的长； （3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级 数学 一、选择题（共12小题） 1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查识别中心对称图形．根据识别一个图形是否是中心对称图形，就是看是否存在一点，使图形绕着这个点旋转后能与原图形重合，逐项判断即可． 【详解】解：．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断简单组合体的三视图，根据立体图形，从左面看可得到该几何体的左视图，运用空间想象能力准确得到左视图是解题的关键． 【详解】解：左视图即从左面看该立体图形， 当从左面看时，最下面一层有两个小正方体，上面有一个小正方体，而且上面的小正方体是靠左侧，只有选项B符合题意， 故选：B． 3. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先整理，再进行二次根式的混合运算，即可作答． 【详解】解：依题意， 故选：B． 4. 若点A（x1，2），B（x2，5）都是反比例函数y=﹣图象上的点，则下列结论中正确的是（　　） A. x1＜x2＜0 B. x1＜0＜x2 C. x2＜x1＜0 D. x2＜0＜x1 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的解析式得出反比例函数y=﹣的图象在第二、四象限，求出点A（x1，2），B（x2，5）在第二象限的图象上，再根据反比例函数的性质判断即可． 【详解】∵反比例函数y=﹣中，k=﹣6＜0， ∴函数的图象在二、四象限，且y随x的增大而增大， ∵0＜2＜5 ∴x1＜x2＜0， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键． 5. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用位似图形的性质进而分别分析得出答案． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′，点C、点O、点C′三点在同一直线上，AB∥A′B′， AO：OA′=1：2， ∴ 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的性质是解题关键． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象与轴的交点坐标为 B. 的最小值为 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 图象的对称轴在轴的右侧 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴当时，，故选项A错误， 当时，y取得最小值，此时，故选项B正确， 当时，y随x的增大而减小，故选项C错误， 该函数的对称轴是直线，在轴的左侧，故选项D错误， 故选：B． 7. 如图，添加下列一个条件后，仍不能直接证明与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．结合已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断即可． 【详解】解：由题意可得，， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，，故本选项不符合题意； D、当时，不能推断与相似，故选项符合题意； 故选：D． 8. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 9. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在上，连接，则的长为（ ）． A. 10 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：，，， ， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ，，， ， ， 故选：C． 10. 如图，线段是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，若，则的长是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据作图知垂直平分，即可得，，根据圆的半径得，，根据圆周角的推论得，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，根据作图知垂直平分， ∴，， ∴， 即， ∵线段是半圆O的直径， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点． 11. 如图，一个等边三角形及其外接圆，随机往圆内投一粒米，落在等边三角形内的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半径长度为，结合等边三角形的性质，勾股定理，先计算出，从而得到，再表示出圆的面积，然后求比值即可． 【详解】如图，连接，，作，垂足为， 设半径长度为，那么 三角形是等边三角形 ， ， ， ， 同理可得 ， 则落在等边三角形内的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率，三角形的面积计算，圆面积计算，等边三角形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是( ) A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误； ②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确； ③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确； ④设函数解析式为：， 把代入得，解得， ∴函数解析式为， 把代入解析式得，， 解得：或， ∴小球的高度时，或，故④错误； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 二、填空题（共6小题） 13. 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______． 【答案】##0.3 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题的关键．用绿球的个数除以球的总数即可． 【详解】解：∵不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别， ∴从袋子中随机取出1个球， 它是绿球的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，点在边上，连接，交对角线于点．如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，由，则，再通过平行四边形的性质得，，则，由相似三角形的性质得，最后由线段和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若直线向上平移3个单位长度后经过点，则m值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的平移，解题的关键在于掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移的规律求出平移后的解析式，再将点代入即可求得的值． 【详解】解：直线向上平移3个单位长度， 平移后的直线解析式为：， 平移后经过， ∴， 解得：． 故答案为：． 16. 如图，是的直径，是弦，，，则扇形的面积是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据圆周角定理可以求得，然后根据扇形面积公式即可解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径，是弦，， ∴扇形的面积是：， 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，，过点C作，连接，交于点，点为中点，连接，，若，则______________． 【答案】5 【解析】 【分析】延长交于点，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得，进而证明是线段的垂直平分线，得，，再证明，得，则，进而由勾股定理求出，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，点为的中点， ， 点在线段的垂直平分线上， 是等腰直角三角形， ， 是线段的垂直平分线， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，在格点上，是小正方形边的中点． （1）的长等于___________； （2）是线段与网格线的交点，是外接圆上的动点，点在线段上，且满足．当取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】（1） （2）取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）先确定圆心，再作直径CP即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 由题意可知，，当为直径时，最大，故确定圆心即可，如图所示，取格点，以、为斜边的两个网格直角三角形全等，可得，为直径，同理，以、为斜边的两个直角三角形相似，可得，为直径，所以，为圆心，此时，最大； 故答案为：取格点，连接并延长，与圆相交于点，连接；取格点，，连接与网格线相交于点，连接与圆相交于点，连接与相交于点；连接并延长，与圆相交于点，则点即为所求． 【点睛】本题考查了作图和勾股定理，三角形的外接圆与外心等知识，解题关键是熟练运用圆周角定理和相似三角形判定与性质确定圆心． 三、解答题（共7小题） 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程的判别式Δ>0可得关于k的不等式，解不等式即得答案； （2）根据一元二次方程根与系数关系，，列式计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 20. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，． （1）求抛物线解析式； （2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为_______，顶点坐标为_______； （3）根据图象，当时，y的取值范围是_______． 【答案】（1） （2）与y轴的交点坐标为，顶点坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式． （1）将点，代入即可求解； （2）将代入解析式即可求出与y轴的交点坐标，然后将二次函数的解析式华为顶点式即可求出顶点坐标； （3首先画出图象，直接由图象可得出y的取值范围． 【小问1详解】 解：把点，代入得 ，解得 ， ∴； 【小问2详解】 解：当时， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； ∵ ∴顶点坐标为； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，；当时，． ∴根据图象，当时，y的取值范围是． 21. 已知是的直径，交于点H． （1）如图①，若，，求和的大小； （2）如图②，若H为弦的中点，过延长线上一点P作的切线，切点为F，若，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由是的直径，可证，根据圆周角定理可得，，再根据三角形外角的性质和内接四边形的性质可得， ； （2）连接交于K，根据圆周角定理得，从而求得，再根据切线的性质可得，从而可得，再利用垂径定理可得，再根据对顶角的定义可得，从而证明． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：连接交于K， ∵在中，， ∴， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∴， ∵是的直径，H为弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、切线的性质及对顶角的定义、三角形外角的性质和内接四边形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 22. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量古塔的高度． 如图，在梯形平台上有一座高为的古塔，已知，点A在水平线上． 某学习小组在梯形平台C处测得古塔顶部B的仰角为，在梯形平台D处测得古塔顶部B的仰角为． （1）求梯形平台的高的长； （2）设古塔的高为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）：______________． ②求古塔的高度（，取1.7，结果取整数）． 【答案】（1） （2）①；②古塔的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰俯角的问题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）过点D作于点H，根据直角三角形30度角所对的边为斜边的一半进行求解即可； （2）①在中，解直角三角形即可求解；②在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点H， ∴四边形为矩形， ， ，， ； 【小问2详解】 解：①由（1）得， 在中，，， ∴， ∴， ∴； ②在中，，，， ∴，即， 整理得：， 答：古塔的高度为． 23. 已知小亮家、超市、体育场依次在同条直线上，超市离小亮家，体育场离小亮家，小亮从家骑车匀速骑行到体育场锻炼，在那里停留了后，又匀速步行到超市，在超市停留了后，用了匀速散步返回家．下图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小亮离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 离开家的时间 5 10 30 88 离开家的距离 3 ②填空：体育场到超市的距离为______； ③当时，请直接写出小亮离家的距离关于的函数解析式． （2）当小亮离开体育场时，小亮的哥哥小明从家出发匀速步行直接去体育场，如果小明的速度为，那么小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①1.5，3，1.6；②；③； （2）小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可；②根据图象，直接计算体育场到超市的距离即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当小亮离开体育场时，即，求得哥哥小明离家的距离关于的函数解析式为，联立求解即可． 【小问1详解】 解：①， 由图填表： 离开家的时间 5 10 30 88 离开家的距离 3 3 1.6 故答案为：1.5，3，1.6； ②体育场到超市的距离为； 故答案为：； ②当时，； 当时，设y与x的函数解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴； 综上，小亮离家的距离关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当小亮离开体育场时，即，小亮的哥哥小明从家出发匀速步行直接去体育场， ，， 同理求得哥哥小明离家的距离关于的函数解析式为， 联立，， 解得， 当时，， 所以，小明在去体育场的途中遇到小亮时离家的距离是． 24. 在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为． （1）如图①，当时，求与的交点的坐标； （2）如图②，连接，当经过点A时，求的长； （3）设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【小问1详解】 解：如图，过点作轴，垂足为． ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，垂足为． 由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． 【小问3详解】 解：取线段的中点N，连接、，则 ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求周长的最小值； （3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为，将代入求解即可； （2）作点O关于直线的对称点E，连接，根据点坐特点及正方形的判定得出四边形为正方形，，连接AE，交于点D，由对称性，此时有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可； （3）由待定系数法确定直线的表达式为，直线的表达式为，设，然后结合图形及面积之间的关系求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， 所以抛物线的表达式为； 【小问2详解】 作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性， 此时有最小值为的长， ∵的周长为， ，的最小值为10， ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 由已知点，，， 设直线的表达式为， 将，代入中，，解得， ∴直线的表达式为， 同理可得：直线的表达式为， ∵， ∴设直线表达式为， 由（1）设，代入直线的表达式 得：， ∴直线的表达式为：， 由，得， ∴， ∵P，D都在第一象限， ∴ ， ∴当时，此时P点为. ． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $