精品解析：江苏省盐城市建湖县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 （时间：120分钟 试卷满分：150分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. x﹣3＝0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程中未知数最高次数是3，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意； C、方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 2. 一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查极差的定义，熟练掌握极差的定义是解题的关键，根据极差的定义：一组数据中最大数减去最小数的值，计算即可得到答案． 【详解】解：由题可得：这组数据中最大数为：，最小数为：3， ∴这组数据的极差为：， 故选：A． 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查点与圆的位置关系，点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外． 【详解】点到圆心的距离为，的半径为， 点在圆外． 故选：C． 4. 抛物线顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是； 故选C． 5. 点、在二次函数的图象上，则（　 ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断函数值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：在二次函数的图象对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴点、在二次函数的图象上，则， 故选：D． 6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ） A. 36° B. 54° C. 18° D. 28° 【答案】A 【解析】 【分析】由圆周角定理即可求出. 【详解】根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°，则∠ACB=36°，故选A． 【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 7. 已知，，且的周长为15，则的周长为（ ） A. 30 B. 5 C. 15 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查对相似三角形性质，因为，相似比为，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【详解】解：∵，， ∴的周长：的周长， ∵的周长为15， ∴的周长为45． 故选：D． 8. 在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，正切的定义等，解题的关键是利用格点构造直角三角形．取格点，连接，利用正切的定义即可求出的值． 【详解】解：如图所示，取格点，连接 ∵， ∴ 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置．） 9 设，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例性质，直接根据比例性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 请写出一个以为顶点，且开口向上的抛物线表达式为________________． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数的顶点坐标是，结合开口向上解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴a可以取1， ∴（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 11. 在中，若，则________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值计算得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴，， ∴ 故答案为：． 12. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，过作垂直于地面， ∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为， 故答案为：60． 13. 学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为______分． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，最终得分为（分）， 故答案为：9． 14. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．盐城市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键；将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积为， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 16. 如图，正方形，，E、F分别为、上的两个动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理求距离等知识．以点B为坐标原点，建立以所在直线为轴，以所在直线为轴的平面直角坐标系，则，设，则，则得到，，设轴上动点为点，则，则当点三点共线时，最小，此时，，则的最小值为，即可得到的最小值为． 【详解】解：以点B为坐标原点，建立以所在直线为轴，以所在直线为轴的平面直角坐标系，则， 设，则，则 ∴， 设轴上动点为点， 则， 则当点三点共线时，最小，此时， ， 则的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请把答案填写在答题卡相应位置．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，一元二次方程的解法，熟记解方程的步骤与特殊角的三角函数值是解本题的关键； （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）直接利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ∴， ∴或， 解得：，． 18. 实验初中九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩分别是： 九（1）班：92，86，85，85，77；九（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 班级 平均分 中位数 众数 九（1） 85 b 85 九（2） a 85 85 请解决下面问题： （1）填空：________，________； （2）计算九年级（2）班前5名成绩的方差； （3）已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 【答案】（1）86，85 （2） （3）九年级（2）班前五名的整体成绩比较好 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数、平均数与方差，熟练掌握方差和平均数的意义是解题关键． （1）根据中位数的定义和平均数的计算公式求解即可得； （2）根据方差的计算公式求解即可得； （3）从中位数与众数、平均数与方差的角度进行分析即可得． 【小问1详解】 解：， 将九（1）班前5名成绩按从小到大进行排序为77，85，85，86，92， 则其中位数， 故答案为：86，85． 【小问2详解】 解： ， 答：九年级（2）班前5名成绩的方差为． 【小问3详解】 解：因为九年级（1）班和九年级（2）班的前五名同学的成绩的中位数与众数相同；九年级（2）班的平均分比九年级（1）的平均分高；九年级（2）班的方差比九年级（1）的方差小，说明九年级（2）班前五名的成绩更稳定， 所以九年级（2）班前五名的整体成绩比较好． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，方程有两个实数根； （2）若、是方程的两根，且，求m的值． 【答案】（1）时方程有两个实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式大于等于0列式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴时方程有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 20. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩． （1）小华选择C项目的概率是_________； （2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表法如图， 小华 小丽 共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种， ∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）则________，________； （2）该二次函数图象的顶点坐标为________； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y的取值范围是________． 【答案】（1），； （2）； （3）见解析； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、画二次函数的图象、求自变量的取值范围，熟练掌握待定系数法和函数图象法是解题关键． （1）将点代入二次函数的解析式，可得关于的方程组，解方程组即可得； （2）将代入二次函数的解析式， 求得的二次函数配方后即可确定顶点坐标； （3）令即可求得值，从而确定其与轴的交点坐标，根据对称性得出抛物线与轴的另一交点坐标，然后画出函数图象即可；； （4）根据图形得出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数的解析式， 可得， 解得， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 把代入二次函数的解析式， 即， 其顶点坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由（2）可知， 二次函数的解析式对称轴为直线， 当时，， 当时，， 即，解得或， 则此抛物线与轴的另一交点坐标为， 此抛物线与轴的另一交点坐标为 根据这些信息，先描出顶点，与轴交点，与轴交点、的关键点，然后用平滑的曲线连接起来，可画出二次函数的图象，如图所示， ； 【小问4详解】 解：由图像可知，当满足时，， 故答案为：． 22. 如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可求，进而求出，利用等边对等角可得，结合条件得出，最后利用切线的判定即可得证； （2）证得，根据相似三角形的性质求得，则，即可求出的半径． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又 ∴，即， ∴， 又是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 23. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴． 24. 如图，中，，为边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理、直角三角形斜边上中线的性质等知识． （1）根据勾股定理求出，由得到，即可得到的长； （2）由是边上的中线得到，则，根据勾股定理得到，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 25. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程、得到二次函数关系式是解题的关键 任务1：设增长率为a ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量,即可得出关于a的一元二次方程； 任务2：根据售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个列代数式； 任务3：利用二次函数的最值求解即可 【详解】解：任务1：设增长百分率为a，依题意列方程为：； 故答案为：； 任务2：该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为； 故答案为：； 任务3：设总利润为w元，销售量为y个 ∴ ， ∴当时，元， ∴当x为65时，销售总利润达到最大，最大总利润为12250元． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则________； ②求的取值范围． 【答案】（1），， （2）①4；②且 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征． （1）令，解方程，可得出点A，B的坐标；再根据顶点式可直接得出点C的坐标； （2）①设二次函数为，用待定系数法求出函数解析式，再根据图象过，得，进而可以判断得解； ②依据题意，由，在二次函数的图象上，则二次函数图象的对称轴是直线，又B、D两点关于对称轴对称，点，从而，又D在线段上，且与端点不重合，得，结合时，过点B、C、M三点的二次函数不存在，最后可以判断得解． 【小问1详解】 解：令， 解得或， ∴，； ∵二次函数的图象的顶点为C，， ∴； 【小问2详解】 解：①由题意得，图象过，，， 设二次函数为， ∴， ∴， ∴， 又∵图象过， ∴， ∴或4， ∵， ∴， 故答案为：4； ②∵，在二次函数的图象上， ∴二次函数图象的对称轴为：直线， ∵B，D两点关于对称轴对称，点， ∴， ∵点D在线段上，且与端点不重合， ∴， 解得：， ∵时，过点B，C，M三点的二次函数不存在， ∴且． 27. 【问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 聪明的小敏立即想到：作，交的延长线于点E． ∵平分， ∴． 请根据小敏的思路，完成证明． 【理解应用】 （2）填空：如图2，中，，，，平分交于点D，则长度为________． 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【深度思考】 （4）如图3，是的角平分线，若，，则的面积最大值是________． 【答案】（1）见解析（2）3（3）见解析（4）3 【解析】 【分析】（1）作，交的延长线于点E．根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，由平分交于点D，，得到，进而可求； （3）①作角：先作等边三角形，再作的角平分线，交于点Q；②再作的角平分线即可； （4）由是的角平分线，得到，设，过A作于H，根据勾股定理得到，，然后根据的面积列出函数解析式，再根据二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）证明：作，交的延长线于点E． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴ ∴， 故答案为：3； （3）如图所示， 作法：①作角：先作等边三角形，再作的角平分线，交于点Q，则； ②作角平分线：作的平分线交于点P，则点P即为所求； （4）∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 设， 过A作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积 ， ∴当，的面积有最大值，的面积的最大值为， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，解直角三角形，以及二次函数的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末考试 九年级数学试题 （时间：120分钟 试卷满分：150分 考试形式：闭卷） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. x﹣3＝0 D. 2. 一组数据：7，5，9，3，9，15，则这组数据的极差是（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 8 3. 已知的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 无法确定 4. 抛物线的顶点坐标是 （ ） A. B. C. D. 5. 点、在二次函数的图象上，则（　 ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则∠ACB等于（ ） A. 36° B. 54° C. 18° D. 28° 7. 已知，，且的周长为15，则的周长为（ ） A. 30 B. 5 C. 15 D. 45 8. 在正方形网格中，如图放置，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案填写在答题卡相应位置．） 9. 设，则_______． 10. 请写出一个以为顶点，且开口向上的抛物线表达式为________________． 11. 中，若，则________． 12. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 13. 学校从德、智、体、美、劳五方面对学生进行评定，分别按2∶3∶2∶2∶1确定最终成绩．小明同学本学期五方面得分如图所示，则小明的最终得分为______分． 14. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．盐城市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为________． 15. 在平面直角坐标系中，将二次函数图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则______． 16. 如图，正方形，，E、F分别为、上的两个动点，且，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请把答案填写在答题卡相应位置．） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 实验初中九年级（1）班和（2）班进行了一次数学测试，各班前5名的成绩分别是： 九（1）班：92，86，85，85，77；九（2）班：92，89，85，85，79． 两班前5名成绩的有关统计数据见表： 班级 平均分 中位数 众数 九（1） 85 b 85 九（2） a 85 85 请解决下面问题： （1）填空：________，________； （2）计算九年级（2）班前5名成绩的方差； （3）已知九年级（1）班前5名成绩的方差为，根据以上信息，说明哪个班前5名的整体成绩比较好． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，方程有两个实数根； （2）若、是方程的两根，且，求m的值． 20. 小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩． （1）小华选择C项目的概率是_________； （2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率． 21. 已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）则________，________； （2）该二次函数图象的顶点坐标为________； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当时，y的取值范围是________． 22. 如图，为的直径，为上一点，为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 23. 如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，中，，为边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 25. 根据背景素材，探索解决问题． 素材1 电动车是重要的出行工具之一．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． 素材2 若此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 为求该品牌头盔销售量月增长率，设增长百分率为a，依题意列方程为：________． 任务2 若该品牌头盔定价为x元/个，则销售量为________（用含x的代数式表示） 任务3 当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润． 26. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过B、C、三点，其中，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则________； ②求取值范围． 27. 问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 聪明的小敏立即想到：作，交的延长线于点E． ∵平分， ∴． 请根据小敏的思路，完成证明． 【理解应用】 （2）填空：如图2，中，，，，平分交于点D，则长度为________． 【迁移应用】 （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在线段上作一点P，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 【深度思考】 （4）如图3，是的角平分线，若，，则的面积最大值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$