精品解析：辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试题

抚顺一中2024-2025学年度高一年级下学期期初考试（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：高一数学组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则是向量与向量共线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 5. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 函数在上为减函数的充要条件为（ ） A B. C. D. 8. 已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________． 13. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 14. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 18. 已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 19. 已知函数，，满足且增函数. （1）求函数，的解析式； （2）存在使得不等式成立，求实数取值范围； （3）若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 抚顺一中2024-2025学年度高一年级下学期期初考试（数学） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：高一数学组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式得到，进而根据补集和交集求出答案. 【详解】或， ，故. 故选：A 2. 设函数f（x）=log2x+2x-3，则函数f（x）的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数，所以f（1）==﹣1＜0，f（2）==2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点． 故选：B． 点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件； 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件； 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点. 3. 已知向量，，则是向量与向量共线的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线解得的值，从而判断充分性和必要性. 【详解】当时，，，则向量与向量共线； 当向量与向量共线时，，即，解得或， 所以是向量与向量共线的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点O为圆心的单位圆的交点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用三角函数的定义及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为角的终边与单位圆相交于点，所以，所以 故选：A 5. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设扇形的半径为，由条件结合扇形面积公式列方程求结论. 【详解】设扇形的半径为， 由扇形面积公式可得，又， 可得（）， 故选：C. 6. 已知函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知为偶函数，且在内单调递增，进而根据函数性质分析判断. 【详解】因为的定义域为，且， 可知为偶函数，则， 又因为当时，在内单调递增， 且，， 可知，所以. 故选：D 7. 函数在上为减函数的充要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】我们先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性求出的取值范围. 【详解】要使函数有意义，则. 令，其对称轴为. 因为函数的二次项系数，所以其图象开口向上. 当时，函数在上单调递减. 因为函数在上为减函数， 根据复合函数单调性可知，函数在上也要为减函数且. 由，解得. 结合，所以. 故选：C 8. 已知为R上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由题意得到为偶函数且在上单调递增，由将原不等式转化为，然后利用的图象与性质将问题转化为，解不等式即可得解. 【详解】由，得， 设， 则在上单调递增，∵为奇函数， ∴为偶函数， 而，则，解得：， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知角的终边过，则（ ） A. 角为第二象限角 B. C. 当时， D. 的值与的正负有关 【答案】BC 【解析】 【分析】考虑，判断A错误；结合三角函数定义求，判断B，结合三角函数定义求判断C，结合三角函数定义求直接求判断D. 【详解】由，角的终边在第四象限，显然A错误； 由定义，，B项正确； 当时，， 所以，所以C项正确； 因为，与的正负无关，所以D项错误， 故选：BC. 10. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式可判断ABC的真假，利用二次函数的性质可判断D的真假． 【详解】对A：因为，所以，当且仅当，即时取“”，故A错误； 对B：因为， 当且仅当，即时取“”，故B正确； 对C：因为， 又，所以. 所以，当且仅当时取“”，故C正确； 对D：由且，得，. 所以，. 所以当时，取得最小值，此时，，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 若，则 C. 若，则 D. 若方程有两个不同的实数解，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性定义即可判断A；分析函数的单调性即可判断B；由函数的奇偶性和单调性得到即可判断C；依次作出函数、和的图象，数形结合即可得解判断D. 【详解】对于A，因为， 所以函数定义域为R，且， 故函数是奇函数，故A正确； 对于B，因为为增函数，所以为减函数， 所以若，则，故B错误； 对于C，因为，所以， 因为为减函数，所以， 所以，故C正确； 对于D，令， 依次作出函数、和的图象如图所示： 因为方程有两个不同实数解，所以由图得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：数形结合是解决函数与方程问题的常用方法，求方程有两个不同的实数解的参数m时，通过作出函数、和的图象可简化问题的难度而得解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在四边形ABCD中，，E为边BC的中点，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先连接，再利用向量加法的几何意义求解即可. 【详解】连接，如图所示： 所以，则. 故答案为： 13. 已知角为第二象限角，且满足，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用和的关系，先求出的值，再利用和的关系，开方时结合角的范围检验，即可求得结果. 【详解】由题意得， 所以， 因为，所以可得 ， 所以， 又因为是第二象限角，则，可得 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，由此将对任意实数恒成立，化为对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，再结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】由于，即恒成立， 故的定义域为R， 又 ， 故为R上的奇函数； 而在R上单调递增， 故在R上单调递增， 又不等式对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 而，当且仅当即时取等号， 故， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断函数的奇偶性以及单调性，从而脱去不等式中的函数符号，转化为关于自变量的不等式，继而分离参数，即可求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）1；（2）2 【解析】 【分析】（1）首先利用诱导公式化简，化简后得，计算的值；（2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值. 【详解】（1）原式可化： ， 即，得； （2）原式 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）若，解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得a的方程，解方程即可得解； （2）由函数的单调性得不等式组，解该不等式组即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 因为，所以， （2）因为，不等式， 所以， 即①， 因为在上单调递减， 所以①等价于， 由②得，解得， 由③得，解得， 取交集得不等式的解集是. 17. 某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）求频率分布直方图中的值.若从成绩不低于70分的同学中，按分层抽样方法抽取12人的成绩，求12人中成绩不低于90分的人数； （2）用样本估计总体，估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数（保留两位小数）； （3）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率． 【答案】（1）；12人中成绩不低于90分的人数为1； （2）平均数约为分，中位数约为分； （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1可求的值，再根据分层随机抽样可得12人中成绩不低于90分的人数； （2）根据频率分布直方图及平均数与中位数的定义计算即可； （3）根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，解得. 的频率为，的频率为， 的频率为，按分层抽样方法抽取12人的成绩， 则12人中成绩不低于90分的人数为. 【小问2详解】 该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为： . 的频率为， 的频率为， 设中位数为,则，则，解得， 故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分，中位数约为分. 【小问3详解】 设“至少有一位同学复赛获一等奖”， 则， 故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为. 18. 已知． （1）当时，求函数的定义域； （2）若，且关于的方程有唯一解，求实数的值； （3）设，若当时，函数在区间上的最大值与最小值的差均不超过，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由对数及分式的性质求函数定义域； （2）将问题化为有唯一解，且，利用二次函数的性质求参数范围，注意保证且即可； （3）根据解析式判断函数的区间单调性，进而化为在上恒成立，整理并应用换元法、对勾函数性质求右侧的最大值，即可得范围. 【小问1详解】 由题设，则且，即， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 由，则有唯一解， 所以，而在定义域上单调递增， 则有唯一解，而， 所以，即，此时， 又且，则，显然、时满足， 所以； 【小问3详解】 当，，在上的最大值与最小值的差都不超过， 由在上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，则， 所以，则在上恒成立， 由，显然时，， 若，，则， 而在上单调递减，故在上单调递增， 所以，故参数范围为. 【点睛】关键点点睛：第三问，把问题化为在上恒成立为关键. 19. 已知函数，，满足且为增函数. （1）求函数，的解析式； （2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围； （3）若，且关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1），. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性可得，即可代入求解， （2）将问题转化为成立，即可分离参数，结合换元法，可得，利用基本不等式即可求解, （3）根据为偶函数，结合函数图象可得的取值范围，将问题转化为方程有两个不同的正实数根，利用二次方程根的分布，即可结合韦达定理以及判别式求解. 【小问1详解】 因为为增函数，所以， 由，整理得， 解得或（舍去）， 所以，. 【小问2详解】 由是增函数，所以当时，， 存在不等式成立， 即成立， 成立， 令， 所以存在，不等式成立， 即成立， 设，则，， ， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 ， 则为偶函数，令， 当时，关于的方程只有一个实数解， 当时，关于的方程有两个不同的实数解， 当时，关于的方程没有实数解， 所以要使关于的方程有四个不同的实数解， 需关于的方程有两个不同的正实数根， 则，解得或， 所以的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，然后数形结合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$