6.1平行四边形及其性质 同步练习2024-2025学年青岛版数学八年级下册

　平行四边形及其性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的性质——对角线 1. (2024·贵州中考)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ( ) A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 2.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是 ( ) A.2<x<6 B.3<x<9　 C.1<x<9 D.2<x<8 3.如图,在▱ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为( ) A.10 B.11 C.12 D.14 4.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则▱ABCD的面积为 .  5.(2024·聊城模拟)如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OA,OC的中点,过点O作任一条直线交AD于点H,交BC于点F, 求证:(1)OH=OF; (2)HG=FE. 知识点2　平行四边形性质的综合运用 6.(2024·菏泽模拟)平行四边形ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为 ( ) A.6<AC<10 B.6<AC<16 C.10<AC<16 D.4<AC<16 7. (2024·潍坊寒亭区期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F.若四边形ABFE周长为12,EO=2,则AB+BC= .  8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为▱ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF. 【B层 能力进阶】 9.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有 ( ) A.2对 B.4对 C.6对 D.8对 10.(2024·聊城临清期末)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为 ( ) A.24 B.36 C.40 D.48 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 12.(2024·菏泽期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB⊥AC,AB=6,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,点B的对应点为点F,此时△CDE恰为等腰直角三角形.则重叠部分△AEC的面积是 .  13.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E,F, (1)求证:△BPC为直角三角形; (2)若BC=16,CD=3,求EF的长. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(2024·聊城质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB边上的一动点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,求对角线PQ的长的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形及其性质(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的性质——对角线 1. (2024·贵州中考)如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 (B) A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD 2.在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=12,则边AD的长度x的取值范围是 (B) A.2<x<6 B.3<x<9　 C.1<x<9 D.2<x<8 3.如图,在▱ABCD中,AD=5,对角线AC与BD相交于点O,AC+BD=12,则△BOC的周长为(B) A.10 B.11 C.12 D.14 4.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,若△BOC的面积为3,则▱ABCD的面积为　12　.  5.(2024·聊城模拟)如图,平行四边形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,E,G分别是OA,OC的中点,过点O作任一条直线交AD于点H,交BC于点F, 求证:(1)OH=OF; 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,OA=OC,OD=OB, ∴∠ADO=∠CBO,∠DHO=∠BFO, 且OD=OB, ∴△DHO≌△BFO(AAS), ∴OH=OF; (2)HG=FE. 【证明】(2)∵E,G分别是OA,OC的中点,且OA=OC, ∴OG=OE,且OH=OF, ∵∠GOH=∠EOF, ∴△GOH≌△EOF(SAS),∴HG=FE. 知识点2　平行四边形性质的综合运用 6.(2024·菏泽模拟)平行四边形ABCD的周长为32,5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为 (D) A.6<AC<10 B.6<AC<16 C.10<AC<16 D.4<AC<16 7. (2024·潍坊寒亭区期末)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,EF经过点O,交AD于点E,交BC于点F.若四边形ABFE周长为12,EO=2,则AB+BC=　8　.  8.(2023·济南中考)已知:如图,点O为▱ABCD对角线AC的中点,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:DE=BF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO,∠OEA=∠OFC. ∵点O为对角线AC的中点, ∴AO=CO, 在△AOE和△COF中, , ∴△AOE≌△COF(AAS), ∴AE=CF, ∴AD-AE=BC-CF,∴DE=BF. 【B层 能力进阶】 9.如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,过点O作直线EF分别交AD,BC于点E,F,那么图中全等的三角形共有 (C) A.2对 B.4对 C.6对 D.8对 10.(2024·聊城临清期末)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且▱ABCD的周长为40,则▱ABCD的面积为 (D) A.24 B.36 C.40 D.48 11.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确结论的个数为 (D) A.1 B.2 C.3 D.4 12.(2024·菏泽期末)如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB⊥AC,AB=6,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,点B的对应点为点F,此时△CDE恰为等腰直角三角形.则重叠部分△AEC的面积是　9　.  13.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC,∠BCD的平分线交于P,且分别与AD交于E,F, (1)求证:△BPC为直角三角形; 【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°, ∵∠ABC,∠BCD的平分线交于P, ∴∠PBC=∠ABC,∠BCP=∠BCD, ∴∠PBC+∠BCP=(∠ABC+∠BCD)=90°, ∴∠BPC=90°,即△BPC为直角三角形; (2)若BC=16,CD=3,求EF的长. 【解析】(2)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥CB, ∴∠CBE=∠BEA,∠BCF=∠CFD, ∴∠ABE=∠BEA,∠DCF=∠CFD, ∴AB=AE=3,CD=DF=3, ∵AD=BC=16,EF=AD-AE-DF, ∴EF=10. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(2024·聊城质检)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3,P为AB边上的一动点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,求对角线PQ的长的最小值. 【解析】过点Q作QH⊥BC,交BC的延长线于点H,如图, ∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDC=∠DCQ+∠QCH, ∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ, ∴∠ADP=∠QCH, 又∵PD=CQ,∠A=∠CHQ=90°, ∴△ADP≌△HCQ(AAS),∴AD=HC, ∵AD=1,BC=3,∴BH=4, ∴当PQ⊥AB时,PQ的长最小,即为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形及其性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的性质——边 1.如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 ( ) A.1和4 B.4和1 C.2和3 D.3和2 2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是 ( ) A.(-3,3) B.(3,-3)　 C.(7,3)　 D.(-5,3) 3.(2024·广州中考)如图,▱ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .  4.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:AE=CF. 知识点2　平行四边形的性质——角 5.如图所示,在▱ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连接EF,则∠E+∠F的度数为 ( ) A.120° B.30° C.50° D.60° 6.在▱ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为 ( ) A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5 C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3 7.如图▱ABCD,点M是边AD上的一点,且BM平分∠ABC,MN⊥CD于点N,若∠DMN=30°,则∠BMN的度数为 .  8.如图,在▱ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE= .  9.(2022·烟台中考)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数. 【B层 能力进阶】 10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一条直线上,请添加一个条件使得△ABE≌△CDF,下列不正确的是 ( ) A.AE=CF B.∠AEB=∠CFD C.∠EAB=∠FCD D.BE=DF 11.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是 ( ) A.6 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 12.(2024·眉山中考)如图,在▱ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形C DOF,其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(2024·盐城期中)若E是▱ABCD内任意一点,▱ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是 .  14. (2023·兰州中考)如图,在▱ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE= °.  15.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F. (1)如果AB=2,AD=3,那么AF= ,BE= ;  (2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(教材拓展题)(2024·潍坊寿光质检)如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F. 求证:(1)△ABE是等边三角形; (2)△BAC≌△AED; (3)S△ABE=S△CEF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 　平行四边形及其性质(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　平行四边形的性质——边 1.如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为 (D) A.1和4 B.4和1 C.2和3 D.3和2 2.在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),则顶点D的坐标是 (A) A.(-3,3) B.(3,-3)　 C.(7,3)　 D.(-5,3) 3.(2024·广州中考)如图,▱ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=　5　.  4.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:AE=CF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD, ∴∠ABD=∠CDB. ∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB, ∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB. ∴∠ABE=∠CDF, 在△ABE和△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(ASA),∴AE=CF. 知识点2　平行四边形的性质——角 5.如图所示,在▱ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连接EF,则∠E+∠F的度数为 (D) A.120° B.30° C.50° D.60° 6.在▱ABCD中,它的四个内角按一定顺序的度数比可能为 (B) A.3∶4∶5∶6 B.4∶5∶4∶5 C.2∶3∶3∶2 D.2∶4∶3∶3 7.如图▱ABCD,点M是边AD上的一点,且BM平分∠ABC,MN⊥CD于点N,若∠DMN=30°,则∠BMN的度数为　120°　.  8.如图,在▱ABCD中,DB=DC,∠A=65°,CE⊥BD于E,则∠BCE=　25°　.  9.(2022·烟台中考)如图,在▱ABCD中,DF平分∠ADC,交AB于点F,BE∥DF,交AD的延长线于点E.若∠A=40°,求∠ABE的度数. 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,∴∠A+∠ADC=180°, ∵∠A=40°,∴∠ADC=140°, ∵DF平分∠ADC, ∴∠CDF=∠ADC=70°, ∴∠AFD=∠CDF=70°, ∵DF∥BE, ∴∠ABE=∠AFD=70°. 【B层 能力进阶】 10.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一条直线上,请添加一个条件使得△ABE≌△CDF,下列不正确的是 (A) A.AE=CF B.∠AEB=∠CFD C.∠EAB=∠FCD D.BE=DF 11.如图,在平行四边形纸片ABCD中,AB=3 cm,将纸片沿对角线AC对折,BC边与AD边交于点E,若△CDE恰为等边三角形,则AD的长度是 (A) A.6 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 12.(2024·眉山中考)如图,在▱ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形C DOF,其中正确结论的个数为 (C) A.1 B.2 C.3 D.4 13.(2024·盐城期中)若E是▱ABCD内任意一点,▱ABCD的面积是6,则阴影部分的面积是　3　.  14. (2023·兰州中考)如图,在▱ABCD中,BD=CD,AE⊥BD于点E,若∠C=70°,则∠BAE=　50　°.  15.如图,在平行四边形ABCD中,点H是边AB上一点,连接CH.作∠ADC的平分线DF,分别交CH,BC及AB的延长线于G,E,F. (1)如果AB=2,AD=3,那么AF=　3　,BE=　1　;  【解析】(1)∵DF是∠ADC的平分线, ∴∠ADF=∠CDE. ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD=2,BC=AD=3, ∴∠ADF=∠DEC,∠AFD=∠CDE, ∴∠ADF=∠AFD,∠DEC=∠CDE, ∴AF=AD=3,CE=CD=2, ∴BE=BC-CE=3-2=1. (2)若点G恰好是线段CH的中点,求证:BF=AH. 【解析】(2)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠AFD=∠CDF. ∵G为CH的中点,∴CG=HG. ∵∠CGD=∠HGF,∴△CDG≌△HFG(AAS), ∴FH=CD,∴FH=AB, ∴FH-BH=AB-BH,∴BF=AH. 【C层 创新挑战(选做)】 16.(教材拓展题)(2024·潍坊寿光质检)如图,平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,且AB=AE,延长AB与DE的延长线交于点F. 求证:(1)△ABE是等边三角形; 【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∴∠EAD=∠AEB, 又∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠BEA,∴AB=BE, ∵AB=AE,∴△ABE是等边三角形; (2)△BAC≌△AED; 【证明】(2)∵△ABE是等边三角形, ∴∠ABE=∠EAD=60°, ∵AB=AE,BC=AD, ∴△ABC≌△EAD(SAS); (3)S△ABE=S△CEF. 【证明】(3)∵△FCD与△ABC等底(AB=CD)等高(AB与CD间的距离相等), ∴S△FCD=S△ABC, 又∵△AEC与△DEC同底等高, ∴S△AEC=S△DEC, ∴S△ABE=S△CEF. 学科网（北京）股份有限公司 $$