湖南省长沙市雅礼中学2025届高三一模数学试题

雅礼中学2025届高三一模试卷数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则的对应点均在（ ） A. 一条直线上 B. 一个圆上 C. 一条抛物线上 D. 一支双曲线上 4. 某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如图所示．已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线．若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度（即集装箱最高点距地面的距离）的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知三棱锥四个顶点都在球O面上，，，M为AB的中点，C在面APB内的射影为PM的中点，则球O的表面积等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知（常数）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则（ ） A. B. 展开式中奇数项的二项式系数的和为256 C. 展开式中的系数为 D. 若展开式中各项系数的和为1024，则第6项的系数最大 10. 设，已知函数（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，存在最小值 C. 设，则 D. 设，若存在最小值，则 11. 已知曲线C的方程为，下列说法正确的有（） A. 曲线C关于直线对称 B. ， C. 曲线C被直线截得的弦长为 D. 曲线C上任意两点距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则_____． 13. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集.如果为的1阶等距平面且1阶等距集为，则符合条件的有__________个，的所有可能取值构成的集合是__________. 14. 已知四棱柱中，底面是平行四边形，，底面，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则点的轨迹长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角，，的对边分别，，，已知． （1）求； （2）设是边中点，若，求． 16. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立． A B C（新药） 治愈率 患者占比 （1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点； （2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示） （3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表： 患者占比 最多投入生产线条数 1 2 3 若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？ 17. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 18. 在平行四边形中（如图1），，为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）点在线段上，且满足，求平面与平面所成角的余弦值． 19. 已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为． （1）证明：数列都是等比数列； （2）记，求数列的前n项和； （3）证明：当时，直线都过定点． 雅礼中学2025届高三一模试卷数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名、考场号、填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束，监考员将试题卷，答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 7 ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3）引入两条生产线 【17题答案】 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在与上单调递增，在与上单调递减 （2） 当时，函数无极值； 当时，函数的极大值为，无极小值 【18题答案】 【答案】（1）如图，连接，则， 由余弦定理得， 在中，有， 所以，又平面， 所以平面. （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得， 将点的坐标代入抛物线C的方程，有， 过点的切线的方程为，代入，有， 整理为，令，可得，有， 故数列是公比为的等比数列， 同理，数列也是公比为的等比数列； （2） （3）由（2）知，点的坐标为，点的坐标为， 直线的斜率为， 直线的方程为， 令 ，有， 故当时，直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $