7.1.1 条件概率 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.1.1 条件概率 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的并事件(和事件), 记为: 2.事件 A 与 B 都发生的事件叫做 A 与B的交事件(积事件), 记为: A∪B 或 A＋B 温故知新 A∩B 或 AB 例：在掷一枚骰子的试验中，设A={出现1点}， B={出现2点}， 则A∪B={出现1点或2点} 例：在掷一枚骰子的试验中， 设A={出现1点或2点}， B={出现的点数是奇数}， 则A∩B={出现1点} 3.事件A与事件B互斥 即: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生 如果事件A与事件B互斥，则 4.事件A与事件B互为对立事件 事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 记事件A的对立事件为 A，则 若事件A，B为对立事件,则P(B)=1－P(A) A B W 注意: A与B互斥必须满足是 同一试验中的两个事件； 3 设A，B为两个事件，如果 则称事件A与事件B相互独立。 1.定义法:P(AB)=P(A)P(B) 2.经验判断:A发生与否不影响B发生的概率 B发生与否不影响A发生的概率 判断两个事件相互独立的方法 5.相互独立事件的定义： 如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是相互独立的？ ① ② ③ 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: 互斥事件 相互独立事件 不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 如果事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 . P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)= P(A)P(B) 互斥事件A、B中有一个发生，记作:A + B 相互独立事件A、B同时发生记作: AB 计算公式 符号 概念 互斥事件与相互独立事件的比较 独立事件一定不互斥.互斥事件一定不独立. 分析： 随机选择一人做代表 ，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.用B表示事件“ 选到男生” ， 由上表可知 ， n(Ω)=45 ， n(B)=25 问题1： 某个班级有45名学生 ， 其中男生、 女生的人数及团员的人数如下表所示， 根据古典概型知识可知 ， 选到男生的概率为： （1） 选到男生的概率是多大？ P(B) = = = 在班级里随机选择一人做代表： 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 分析： 用A表示事件“选到团员” ， “在选到团员的条件下 ， 选到男生”的概率就是 “在事件A发生的条件下 ， 事件B发生”的概率 ， 记为P(B|A).此时相当于以A为样本 空间来考虑事件B发生的概率 ， 而在新的样本空间中事件B就是积事件AB ，包含的样本点数n(AB)=16 ，根据古典概型知识可知， 条件概率 P(B|A) = = = （2）如果已知选到的是团员 ，那么选到的是男生的概率是多大？ 性别 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 分析： 用b表示男孩 ， g表示女孩 ，则样本空间Ω ={bb,bg,gb,gg} ，且所有样 本点是等可能的. 用A表示事件“选择的家庭中有女孩” ， B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩” ，则A ={bg,gb,gg} ， B ={gg} 问题2： 假设生男孩与生女孩是等可能的 ，现考虑有两个小孩的家庭 ， 随机选择一个家庭 ，那么： （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已经知道这个家庭有女孩 ，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ （1）根据古典概型知识可知 ，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为： P(B) = = 问题2： 假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭， 随机选择一个家庭，那么： (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？ 条件概率 （2） ”在选择的家庭有女孩的条件下 ， 两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下 ， 事件B发生”的概率 ， 记为P(B|A). 此时 ，A成为样本空间 , 事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知： P(B|A) = = 归纳：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是 P(B |A)相当于把 A 看作新的基本事件空间，求 A∩B 发生的概率. AB A B W 即 AB 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 一般地，设A ，B为两个随机事件，且P(A)>0 ，我们称 概率的乘法公式 条件概率 由这个定义可知，对任意两个事件A ，B ，若P(A)>0 ，则有 知识归纳 P(B | A) = P(AB) =P(A)P(B|A) 探究：在问题1和问题2中，都有P(B|A)≠P(B) ，一般地， P(B|A)与P(B)不一定相等，如果P(B|A)与P(B) 相等，那么事件A与B应满足什么条件？ 当P(A) >0时 ， 当且仅当事件A与B相互独立时 ，有P(B|A) =P(B) 若事件A与B相互独立 ， 即P(AB) =P(A)P(B) ，且P(A) >0 ，则 反之 ，若P(B|A) =P(B) ，且P(A) >0 ，则 即事件A与B相互独立. P(B|A)===P(B) P(B)=P(AB)=P(A)P(B) 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 方法1：（1）从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即。因为n(AB)= ∴P（AB） 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解：设A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”。“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. （2）“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率. 显然P（A）=.利用条件概率公式，得P（B|A） 方法2：（1） 因为2，n(AB)= P（B|A） P（B|A） 又P（A）= ，利用乘法公式可得P（AB）=P（A） P（B|A）= = 例1.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求: (1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； (2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 设P（A）>0，则 （1）P（Ω|A）=1； （2）如果B和C是两个互斥事件， 则P（B∪C |A）=P（B | A）+P（C | A）； （3）设B和互为对立事件，则P（ |A）=1 P（B|A）. （4）相互独立. 条件概率的性质： W A B C (5)有界性： 0≤P(B|A)≤1 例2 已知3张奖券中只有1张有奖， 甲、 乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 解：用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则B=. 因为P(A)= P(B)= P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关. 例3：一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0—9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时.忘记了密码的最后一位数字,求: (1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率; (2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就按对的概率. (2)用𝐵表示最后一位按偶数的事件,则 求解条件概率 P(B|A) 的一般步骤： (1)用字母表示有关事件. (3)利用条件概率公式求 (2)求P(AB) , P(A)或 n(AB) , n(A). 归纳总结 概率的乘法公式 P(AB) =P(A)P(B|A) 练1 盒中有球如下表. 任取一球 若已知取得是蓝球,问该球是玻璃球的概率. 玻璃 木质 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 P(B|A)＝ 4 11 解:设事件A为“能活到20岁”,事件B为“能活到25岁”, 则P(A)＝0.8 , P(B)＝0.4 ,而所求概率为P(B|A) , 由于B⊆A,故AB＝B, 于是 P(B|A)＝ 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0.5 . 练2：设某种动物能活到20岁的概率为0.8,能活到25岁的概率为0.4,现有一只20岁的这种动物,问它能活到25岁的概率是多少? W A AB 练3：甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天所占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 解：设A={甲地为雨天}， B={乙地为雨天}， 则P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%， 课堂小结 AB A B W 1. 条件概率的定义： 2. 条件概率的性质： 3. 条件概率的计算方法： (1)有界性. (2)可加性. （古典概型）； 4.概率的乘法公式 P(AB) =P(A)P(B|A) $$