28.2解直角三角形及其应用课件 2024—2025学年人教版数学九年级下册

解直角三角形及其应用 学习内容 一、解直角三角形 知识串讲 合作探究 (1) 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A， ∠B，∠C的对边． 三边关系：_______________； 三角关系：_________________ ； 边角关系：sinA＝cosB＝_____ ， cosA＝sinB ＝____， tanA＝_________，tanB＝_______. a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 解直角三角形 (2) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = _____________， sin2α + cos2α = . tanα · tan(90°－α) =___. cos(90°－α) sin(90°－α) 1 1 知识串讲 (3) 直角三角形可解的条件和解法 条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素． 解法： ①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出 另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边； ②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角； ③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题． 例1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形. (1)∠A＝30°,a＝5;(2)∠B＝60°,c＝12;(3)a＝2,b＝2. 解直角三角形 解:(1)∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.∵tan A＝,∴b＝＝5.∵sin A＝,∴c＝＝10. (2)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.∵sin A＝,∴a＝c·sin A＝12×sin 30°＝12×＝6.∵sin B＝,∴b＝c·sin B＝12×sin 60°＝12×＝6. (3)c＝＝4.∵sin A＝,∴∠A＝60°. ∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 练1.1.在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形. ∠A＝60°,a＝10; 解:∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°,∵sin A＝,a＝10,∴c＝.∵ sin B＝,∴b＝c·sin 30°＝.　 例2.【例2】在△ABC中,∠A＝105°,∠B＝30°,AC＝2,求BC的长. 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠BAC＝105°,∠B＝30°,∴∠C＝45°.在Rt△ADC中,∵sin C＝,∴AD＝AC·sin C＝2×sin 45°＝.∴AD＝CD＝.在 Rt△ADB 中,∵tan B＝,∴BD＝.∴BC＝BD＋CD＝. 练2.1.如图,在△ABC中,AC＝6,∠C＝75°,∠B＝45°,求AB的长. 3＋3 学习内容 二、解直角三角形的应用 知识串讲 (1) 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 三角函数的应用 知识串讲 仰角、俯角问题的常见基本模型 模型一 A D B E C 模型二 A B D C α β 模型三 α β B C D A 模型四 α β 知识串讲 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 知识串讲 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i = tan α. 坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6. 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i = . (3) 坡度，坡角 知识串讲 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： ① 将实际问题抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． 仰角和俯角的应用 例3.1.如图,某初中数学兴趣小组想测量学校旗杆CD的高度,他们在地面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°,然后沿AC方向移动12.62 m到达测量点B,在点B测得点D的仰角为37°,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, sin 26.6°≈0.45,cos 26.6°≈0.89,tan 26.6°≈0.50). 解:设BC＝x m, 在Rt△BCD中,∠DBC＝37°,∴CD＝BC·tan 37°≈ 0.75x(m). ∵AB＝12.62 m,∴AC＝BC＋AB＝(x＋12.62)m. 在Rt△ADC中,∠DAC＝26.6°,∴tan 26.6°＝≈0.50. ∴x＝25.24,经检验,x＝25.24是原方程的根. ∴CD＝0.75x≈18.9(m). ∴旗杆CD的高度约为18.9 m. 某滑雪场举办冰雪嘉年华活动,采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如图,通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为 30°,另一端B处的俯角为 45°.若直升机镜头C处的高度CD为300 m,点A,D,B在同一直线上,则雪道AB的长度为(　　). A.300 m B.150 m C.900 m D.(300＋300)m D 例3.2如图,某学校的初中部教学楼对面是小学部教学楼,在初中部教学楼的窗口C(AC∥BD)处测得小学部教学楼顶部D的仰角为27°,小学部教学楼底部B的俯角为13°,量得两栋教学楼之间的距离AB＝15 m.求教学楼BD(BD⊥AB)的高度(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 13°≈0.22, cos 13°≈0.97,tan 13°≈0.23,sin 27°≈0.45,cos 27°≈0.89,tan 27°≈0.51). 解:如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H. 由题意,得∠DCH＝27°,∠HCB＝13°,AB＝CH＝15 m. 在Rt△DHC中,∵tan ∠DCH＝,∴DH＝tan 27°×15≈7.7(m). 在Rt△HCB中,∵tan∠HCB＝,∴HB＝tan 13°×15≈3.5(m). ∴BD＝HD＋HB≈7.7＋3.5＝11.2(m). ∴教学楼BD的高度约为11.2 m. 练3.1如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15 m,在实验楼顶部点B测得教学楼顶部点A的仰角是30°,底部点C的俯角是45°,则教学楼AC的高度是____________m.  (15＋15) 方向角的应用 例4.1.如图①,一艘轮船在小岛A的北偏东 60°方向距小岛80 n mile的B处,沿正西方向航行 3 h 后到达小岛的北偏西 45°的C处,则该船行驶的速度为________n mile/h.  解析:如图②,设过点A的正北方向线与BC相交于点Q.设该船行驶的速度为x n mile/h,由题意得AB＝80 n mile,BC＝3x n mile.在Rt△ABQ中, ∠BAQ＝60°,∴∠B＝90°－60°＝30°.∴AQ＝AB＝40,BQ＝AQ＝40.在Rt△AQC中,∠CAQ＝45°,∴CQ＝AQ＝40.∴BC＝CQ＋BQ＝40＋40＝3x.解得x＝,即该船行驶的速度为 n mile/h. 答案: 例4.2如图,轮船沿正南方向以30 n mile/h的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在南偏西22°方向上,航行2 h后到达N处,观测到灯塔P在南偏西44°方向上,若该轮船继续向南航行至离灯塔最近位置,则此时轮船离灯塔的距离约为(　　).(由计算器得到sin 68°≈0.927 2,sin 46°≈0.719 3, sin 22°≈0.374 6,sin 44°≈0.694 7) A.22.48 n mile B.41.68 n mile C.43.16 n mile D.55.63 n mile 解析:过点P作PA⊥MN,交MN的延长线于点A,若该轮船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置,此时轮船离灯塔的距离为PA的长度,利用锐角三角函数进行求解即可. 答案:B 练4.1.如图,海上有一艘客轮P,某时刻测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向,且相距 20 n mile.如果客轮P以60 n mile/h的速度沿北偏西60°方向航行 h到达B处,那么tan∠ABP等于(　　). A. B.2 C. D. 练4.2.如图,在一条笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A的北偏东60°的方向,在码头B的北偏西45°的方向,AC＝4 km.一名游客准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到码头A,B所用时间相等,则＝________.  坡度与坡角的应用 例5.如图,某商场门前的台阶共高出地面1.2 m,为帮助残疾人,便于轮椅行走,现准备拆除台阶换成斜坡.出于安全考虑,斜坡的坡角不得超过9°.已知此商场门前的人行道距门前垂直距离为8 m(斜坡不能修在人行道上),则此商场能否把台阶换成斜坡(参考数据:sin 9°≈0.156 4,cos 9°≈ 0.987 7,tan 9°≈0.158 4)?   解:方法一,由于台阶共高出地面1.2 m,商场门前的人行道距门前垂直距离为8 m,则拆除台阶换成斜坡后的坡角的正切值为tan α＝＝0.15＜tan 9°,即α＜9°.故此商场能把台阶换成斜坡. 方法二,设坡角为9°时斜坡的水平宽度为x m,则tan 9°＝,x＝≈7.576＜8.故此商场能把台阶换成斜坡. 练5.1如图,斜面AC的坡度为1∶2,AC＝3 m,坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端点B与点A由一条彩带相连,已知AB＝10 m,则旗杆BC的高度为(　　). A.5 m B.6 m C.8 m D.(3＋)m A 学习内容 三、综合训练 1.如图,在△ABC中,∠A＝30°,tan B＝,AC＝2,则AB的长是(　　). A.3＋ B.2＋2 C.5 D. 2.在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝AC,D为边AC上一点,AD＝AC,则sin∠DBC 的值为(　　). A. B. C. D. 3.如图,轮船从B处以60 n mile/h的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测到灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40 min到达C处,在C处观测到灯塔A位于北偏东10°的方向上,则C处与灯塔A的距离是(　　). A.20 n mile B.40 n mile C. n mile D. n mile D 4.如图,从小明家(A处)到学校有两条路.一条沿北偏东45°方向可直达学校前门(D处),另一条先从小明家一直往东到商店(B处),再向正北走200 m到学校后门(C处).若两条路的路程相等,学校的后门在小明家北偏东67.5°的方向上,则从学校前门到后门的距离是(　　). A.200 m B.200 m C.200 m D.200 m A 5.如图,一艘轮船先由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A,C两地之间的距离为________n mile.  40 6.在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝,三角形的面积为,则斜边长是________,sin A＝________.  7.在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,AC＝3, 解这个直角三角形. 7.如图,从地面上的C,D两点测得树顶A的仰角分别是45°和30°,已知CD＝20 m,点C在BD上,则树高AB＝____________m.  (10＋10) 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，AB＝5，BD＝1，tanB＝. （1）求AD的长； 解：（1）∵tanB＝， ∴可设AC＝3x，BC＝4x. ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴（3x）2＋（4x）2＝52， 解得x＝1（负值已舍去）， ∴AC＝3，BC＝4，∴CD＝BC－BD＝3， ∴AD＝＝3. （2）求sinα的值. 解：（2）过点D作DE⊥AB于点E，则∠BED＝90°. 在Rt△BDE中，tanB＝＝， ∴可设DE＝3y，BE＝4y. ∵DE2＋BE2＝BD2，∴（3y）2＋（4y）2＝12， 解得y＝（负值已舍去），∴DE＝. 由（1）知AD＝3，∴sinα＝＝. 9. 翼装飞行世界锦标赛在某风景区隆重举行,某选手飞行示意图如图所示.该选手从离水平地面1 000 m高的点A出发(AB＝1 000 m),沿俯角为30°的方向直线飞行1 400 m到达点D,然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的点C,求该选手飞行的水平距离BC. 解:过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.由题意知∠ADE＝ 30°,∠CDF＝30°,∴AE＝AD＝×1 400＝700(m),DE＝ AD·cos∠ADE＝1 400×＝700(m),EB＝AB－AE＝1 000－700＝300(m). ∵DF＝BE＝300 m,tan∠CDF＝,∴FC＝×300＝100(m). ∴BC＝BF＋FC＝DE＋FC＝700＋100＝800(m). ∴该选手飞行的水平距离BC为800 m.　 10.如图,海中有一个小岛A,它的周围25 n mile内有暗礁.某渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B测得小岛A在北偏东60°方向上,航行30 n mile 后到达点C,这时测得小岛A在北偏东30°方向上. (1)求渔船在点C时与小岛A的距离; 解:由题意得∠ABC＝30°,∠ACF＝60°,∴∠A＝∠ACF－∠ABC＝30°.∴∠ABC＝∠A.∴AC＝BC＝30 n mile.故渔船在点C时与小岛A的距离是30 n mile.　 解:作AH⊥BF于点H(图略),在Rt△ACH中,sin∠ACH＝,则AH＝AC·sin∠ACH＝15 n mile.∵15＞25,∴渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁危险. (2)若渔船不改变航线继续向东航行,是否有触礁危险?请说明理由. 11.如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面AB的坡度i＝1∶1.5,斜面CD的坡度i＝1∶3,根据图中数据,求: (1)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位); (2)梯形ABCD的周长(结果保留小数点后一位). (参考数据:≈1.73,≈3.16,≈3.61) 10.8 m 66.8 m 学习内容 四、课堂检测 2.如图,在△ABC中,∠C＝90°, D为边BC上一点.若∠DAC＝30°, BD＝2,AB＝2,则AC的长是(　　). A. B.2 C.3 D. 2.河堤横断面示意图如图所示,堤高BC＝5 m,迎水坡AB的坡比是1∶,则AC的长是(　　). A.5 m B.10 m C.15 m D.10 m A 3.如图,某飞机在空中A处探测到地平面目标B,此时从飞机上看目标B的俯角为α,飞行高度AC为h,飞机到目标B的距离AB为(　　). A.h·sin α B. C.h·cos α D. B 4.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA＝6 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船与观测站的距离OB的长为(　　). A.3 km B.3 km C.(3＋3)km D.8 km C 5.如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC和AB的长. 解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDB＝∠CDA＝90°. 在Rt△BCD中，∠B＝30°， ∴CD＝BC＝6， ∴BD＝＝6. 在Rt△ACD中，tanA＝＝， 即＝，解得AD＝8， ∴AC＝＝10， AB＝AD＋BD＝8＋6. 图19.4.5 $$