5.3.2 等比数列的前n项和学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3.2 等比数列的前项和 学习目标：1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 了解等比数列的前 n 项和公式与函数的关系；3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题. 教学重点：等比数列的前n项和公式及其相关性质． 教学难点：应用等比数列的前n项和公式及其相关性质解决问题． 知识点 1：等比数列的前项和 情境：信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列1，3，9，27，81, … 问题1：如果信息按照上述方式共传播了19轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 问题2：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 例 1 (1) 已知等比数列的公比为，且，求这个数列前8项的和. (2)已知等比数列中，，求这个数列前10项的和. 练习1.已知数列{an}是等比数列. （1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ； （2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021； 知识点 2：等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 例 2 已知数列的前项和为，求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列. 练习2(1) 将例4中的改为，再次判断这个数列是否是等比数列 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋1＝2Sn＋1，试判断数列{an}是否为等比数列． (3)设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n. (1)求a3，a4； (2)证明：{an＋1－2an}是等比数列； (3)求{an}的通项公式． 归纳：时， (1) ⟺是等比数列； (2) (， )⟺从第2项起是 数列. 例3 求和：……. 练习3.已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn. 归纳：(1) 求和时先看通项；(2) 形如的数列，求和时可用 求和的方法. 【随堂检测】 1．已知等比数列{an}的公比q＝2，且前5项和S5＝1，那么前10项和S10＝ . 2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和S10＝ . 3．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a(a为常数)，则数列{an}(　　) A．是等比数列 B．仅当a＝－1时，是等比数列 C．不是等比数列 D．仅当a＝0时，是等比数列 4．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝ . 5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为 . 6．若数列{an}是等比数列，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝ . 7．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{log2an}是公差为2的等差数列 8．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则(　　) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列 C．a＋a＋…＋a＝ D．m＋n为定值 9．数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n－1，其前n项和为Sn，则a5＝________，S2n＝________． 10．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝________；数列的最大项是第k项，则k＝________． 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 12．已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． (1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式； (2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式． 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N＋，不等式(λ－n)an＋1＋an≤15恒成立，求实数λ的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.2 等比数列的前项和 学习目标：1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 了解等比数列的前 n 项和公式与函数的关系；3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题. 教学重点：等比数列的前n项和公式及其相关性质． 教学难点：应用等比数列的前n项和公式及其相关性质解决问题． 知识点 1：等比数列的前项和 情境：信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列1，3，9，27，81, … 问题1：如果信息按照上述方式共传播了19轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 问题2：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. （错位相减法） 设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是： Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即 Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 ③ 在③两边同时乘以q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④ 由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)； 当 q ≠ 1 时，Sn = ； 当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1； 等比数列的前 n 项和公式： 由可得： 已知a1，q，n 选用公式（1）更方便； 已知a1 ，q，an选用公式（2）更方便. 例 1 (1) 已知等比数列的公比为，且，求这个数列前8项的和. 解：，， n=8，因为 ， 所以， 因此255. (2)已知等比数列中，，求这个数列前10项的和. 解：由等比数列的通项公式可列方程组 两式相除约分解得 ，， 因此. 练习1.已知数列{an}是等比数列. （1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ； （2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021； 解：（1）因为 a1 = 1，q = 2，n=8，所以 S8 = = 28 – 1=225； （2）因为 a1 = 2，q = 1，所以 S2021 = 2021×2 = 4042； 知识点 2：等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 例 2 已知数列的前项和为，求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列. 解：当时，有， 当时，有=)=. 当时不满足此式，因此通项公式为=. 又因为= ，= 因此=，=2，可知不是等比数列. 练习2(1) 将例4中的改为，再次判断这个数列是否是等比数列 解：当时，有， 当时，有=)=. 当时也满足此式，因此数列的通项公式为= 因此是首项为3，公比为2的等比数列. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，an＋1＝2Sn＋1，试判断数列{an}是否为等比数列． [解]　∵an＋1＝2Sn＋1， ∴an＝2Sn－1＋1(n≥2). 两式相减，得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即an＋1＝3an(n≥2). 又a2＝2S1＋1＝2×2＋1＝5，a1＝2， ∴＝≠3. ∴数列{an}不是等比数列． (3)设数列{an}的前n项和Sn＝2an－2n. (1)求a3，a4； (2)证明：{an＋1－2an}是等比数列； (3)求{an}的通项公式． 解　(1)∵a1＝S1，S1＝2a1－2， ∴a1＝2，S1＝2. 由Sn＝2an－2n，即2an＝Sn＋2n知2an＋1＝Sn＋1＋2n＋1＝an＋1＋Sn＋2n＋1， ∴an＋1＝Sn＋2n＋1.① ∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8，a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24，a4＝S3＋24＝24＋24＝40. (2)证法一：由题设和①式知 an＋1－2an＝(Sn＋2n＋1)－(Sn＋2n)＝2n＋1－2n＝2n. ∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列． 证法二：由Sn＝2an－2n，② 得Sn＋1＝2an＋1－2n＋1.③ ③－②得an＋1＝2an＋1－2n＋1－2an＋2n，即an＋1－2an＝2n. ∴数列{an＋1－2an}是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由(2)知an＋1－2an＝2n， 等号两边同时除以2n＋1，得－＝， ∴数列是以＝1为首项，为公差的等差数列， ∴＝1＋(n－1)，即an＝(n＋1)×2n－1. 归纳：时， (1) (， )⟺是等比数列； (2) (， )⟺从第2项起是等比数列. 例3 求和：……. 分析：数列9，99，999，…不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为就容易解决了. 解：原式 练习3.已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn. 分析：显然此数列不是等比数列，但可以进行分组求和. 解： + . 归纳：(1) 求和时先看通项；(2) 形如的数列，求和时可用分组求和的方法. 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 1. 等比数列的前n项和公式是用什么方法推导的呢？回忆一下推导过程. 2. 如何判断一个数列是否是等比数列？ 3. 等比数列涉及到哪些量，它们之间又有什么关系呢？ 【随堂检测】 1．已知等比数列{an}的公比q＝2，且前5项和S5＝1，那么前10项和S10＝(　　) A．31 B．33 C．35 D．37 答案　B 解析　因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，所以a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＝q5＝25＝32，所以S10＝1＋32＝33. 2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和S10＝(　　) A．－6×(1－3－10) B．×(1－3－10) C．3×(1－3－10) D．3×(1＋3－10) 答案　C 解析　∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝－an，又a2≠0，∴{an}为等比数列，公比q＝－，又a2＝a1q＝－a1＝－，∴a1＝4，∴S10＝＝3×(1－3－10).故选C． 3．若数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a(a为常数)，则数列{an}(　　) A．是等比数列 B．仅当a＝－1时，是等比数列 C．不是等比数列 D．仅当a＝0时，是等比数列 答案　B 解析　an＝＝当a＝－1时，a1＝2适合通项an＝2×3n－1，故数列{an}是等比数列；当a≠－1时，{an}不是等比数列．故选B. 4．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 答案　C 解析　由题意知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题意知q＞0，所以q＝2，所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． 5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 B．18 C．54 D．152 答案　C 解析　解法一：因为an＋1＝2Sn＋2，所以当n≥2时，an＝2Sn－1＋2，两式相减，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an，所以数列{an}是公比q＝＝3的等比数列．当n＝1时，a2＝2S1＋2＝2a1＋2，又a2＝3a1，所以3a1＝2a1＋2，解得a1＝2，所以a4＝a1q3＝2×33＝54.故选C． 解法二：设等比数列{an}的公比为q，因为an＋1＝2Sn＋2，所以公比q≠1，且a1qn＝＋2＝－qn＋＋2，所以所以所以a4＝a1q3＝2×33＝54.故选C． 6．若数列{an}是等比数列，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋a＋…＋a＝(　　) A．(2n－1)2 B．(2n－1)2 C．4n－1 D．(4n－1) 答案　D 解析　设等比数列{an}的前n项和为Sn，由Sn＝2n－1，得a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－2＝2，∴数列{an}的公比为q＝2，可知数列{a}是等比数列，首项为1，公比为q2＝4，∴a＋a＋a＋…＋a＝＝(4n－1). 7．(多选)在公比q为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2＋a3＝12，则下列说法正确的是(　　) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{log2an}是公差为2的等差数列 答案　ABC 解析　因为数列{an}为等比数列，又a1a4＝32，所以a2a3＝32，又a2＋a3＝12，所以或又公比q为整数，则即an＝2n，Sn＝＝2n＋1－2.由上可得q＝2，故A正确；Sn＋2＝2n＋1，＝＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列，故B正确；S8＝29－2＝510，故C正确；log2an＋1－log2an＝(n＋1)－n＝1，即数列{log2an}是公差为1的等差数列，故D错误．故选ABC． 8．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an－2，若存在两项am，an，使得aman＝64，则(　　) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列 C．a＋a＋…＋a＝ D．m＋n为定值 答案　BD 解析　由题意，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，所以Sn－Sn－1＝an＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，所以＝2，数列{an}是首项a1＝2，公比q＝2的等比数列，an＝2n，故A错误，B正确；数列{a}是首项a＝4，公比q1＝4的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝＝，故C错误；因为aman＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以m＋n＝6为定值，故D正确．故选BD. 9．数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2n－1，其前n项和为Sn，则a5＝________，S2n＝________． 答案　4　2n＋1－2 解析　由递推关系可得anan＋1＝2n－1，an＋1·an＋2＝2n，两式相除可得＝2.则a5＝a1×22＝4，由anan＋1＝2n－1可得a2＝1，则奇数项、偶数项分别为首项为1，公比为2的等比数列，则S2n＝2×＝2n＋1－2. 10．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋r，则a3－r＝________；数列的最大项是第k项，则k＝________． 答案　19　4 解析　等比数列前n项和公式具有特征：Sn＝aqn－a，据此可知r＝－1，则Sn＝3n－1，a3＝S3－S2＝(33－1)－(32－1)＝18，a3－r＝19.令bn＝n(n＋4)，则＝·，由＝·>1可得n2<10，由＝·<1可得n2>10，据此可得，数列{bn}中的项满足b1<b2<b3<b4，且b4>b5>b6>b7>…，则k＝4. 11．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比q； (2)若a1－a3＝3，求Sn. 解　(1)依题意有S1＋S2＝2S3， 即a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于a1≠0，故2q2＋q＝0. 又q≠0，所以q＝－. (2)由已知可得a1－a1＝3，故a1＝4. 所以Sn＝＝. 12．已知数列{an}，{bn}满足2Sn＝(an＋2)bn，其中Sn是数列{an}的前n项和． (1)若数列{an}是首项为，公比为－的等比数列，求数列{bn}的通项公式； (2)若bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式． 解　(1)∵an＝＝－2， Sn＝＝， ∴bn＝＝＝. (2)若bn＝n，则2Sn＝nan＋2n， ∴2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)， 两式相减，得2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， 即nan＝(n－1)an＋1＋2， 当n≥2时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2， 两式相减，得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an， 即an－1＋an＋1＝2an， 又由2S1＝a1＋2，S1＝a1，得a1＝2，又a2＝3， ∴数列{an}是首项为2，公差为3－2＝1的等差数列， ∴数列{an}的通项公式是an＝n＋1(n∈N＋). 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的n∈N＋，不等式(λ－n)an＋1＋an≤15恒成立，求实数λ的最大值． 解　(1)∵Sn＝2an－2，　① ∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2).　② ①－②，得an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2). ∵S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2. ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＝a1×qn－1＝2×2n－1＝2n. (2)要使(λ－n)an＋1＋an≤15恒成立，则(λ－n)×2n＋1＋2n≤15， 参变分离，得λ≤. 令bn＝n＋－， ∵bn＋1－bn＝1－＝， ∴当n≥2时，bn＋1－bn>0，即bn＋1>bn. 当n＝1时，bn＋1－bn<0，即b2<b1. ∴b1>b2，且b2<b3<b4<…<bn<…， ∴当n＝2时，bn有最小值，为. ∴λ≤，∴实数λ的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$5.3.2 等比数列的前𝒏项和 学习目标：1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 了解等比数列的前 n 项和公式与 函数的关系；3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题. 教学重点：等比数列的前 n 项和公式及其相关性质． 教学难点：应用等比数列的前 n 项和公式及其相关性质解决问题． 知识点 1：等比数列的前𝒏项和 情境：信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后， 就将这个信息传递给 3 个不同的好友（称为第 1 轮传播），每个好友收到信息后又都传给了 3 个不同的好友（称为第 2 轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则 每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列 1，3，9，27，81, … 问题 1：如果信息按照上述方式共传播了 19 轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 问题 2：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. （错位相减法） 设等比数列 {an} 的首项为 a1，公比为 q，则{an}的前 n 项和是： Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an ，即 Sn = a1 + a1q1 + a1q2 + ··· + a1q n – 1 ③ 在③两边同时乘以 q qSn = a1q1 + a1q2 + ··· + a1qn – 1 + a1qn ④ 由 ③ – ④ 得： Sn – qSn = a1 – a1qn，即 (1 – q)Sn = a1(1 – qn)； 当 q ≠ 1 时，Sn = 𝑎1(1 – 𝑞𝑛) 1 – 𝑞 ； 当 q = 1 时，an = a1，Sn = na1； 等比数列的前 n 项和公式：𝑆𝑛 = { 𝑛𝑎1， 𝑞 = 1， 𝑎1(1 –𝑞 𝑛) 1 – 𝑞 ，𝑞 ≠ 1，(1) ) 由𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1可得：𝑆𝑛 = { 𝑛𝑎1， 𝑞 = 1， 𝑎1−𝑎𝑛𝑞 1 – 𝑞 ，𝑞 ≠ 1，(2) ) 已知 a1，q，n 选用公式（1）更方便； 已知 a1 ，q，an选用公式（2）更方便. 例 1 (1) 已知等比数列{𝑎𝑛}的公比为 1 2 ，且𝑎8 = 1，求这个数列前 8 项的和𝑆8. 解：𝑎8 = 1，𝑞 = 1 2 ， n=8，因为 𝑎8 = 𝑎1𝑞 7， 所以𝑎1 = 𝑎8 𝑞7 = 1 ( 1 2 )7 = 27， 因此S8 = 𝑎1(1−𝑞 8) 1−q = 27×[1−( 1 2 ) 8 ] 1− 1 2 = 28 − 1 =255. (2)已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3 = 3，𝑎10 = −384，求这个数列前 10 项的和. 解：由等比数列的通项公式可列方程组 { 3 = 𝑎1𝑞 2， −384 = 𝑎1𝑞 9. 两式相除约分解得 𝑞 = −2，𝑎1 = 3 4 ， 因此S10 = 𝑎1(1−𝑞 10) 1−q = 3 4 × [1−(−2)10] 1−(−2) = − 1023 4 . 练习 1.已知数列{an}是等比数列. （1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ； （2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021； 解：（1）因为 a1 = 1，q = 2，n=8，所以 S8 = 1×(1–28) 1 – 2 = 28 – 1=225； （2）因为 a1 = 2，q = 1，所以 S2021 = 2021×2 = 4042； 知识点 2：等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 例 2 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为Sn = 3 × 2 𝑛 − 1，求出数列的通项公式，并判断这个数列 是否是等比数列. 解：当𝑛 = 1时，有𝑎1 = 𝑆1 = 5， 当𝑛 ≥ 2时，有𝑎𝑛=Sn − Sn−1 = 3 × 2 𝑛 − 1 − (3 × 2𝑛−1 − 1)=3 × 2𝑛−1. 当𝑛 = 1时不满足此式，因此通项公式为𝑎𝑛={ 5 ，𝑛 = 1 3 × 2𝑛−1，𝑛 ≥ 2 ). 又因为𝑎2=3 × 2 2−1 = 6，𝑎3=3 × 2 3−1 = 12， 因此 𝑎2 𝑎1 = 6 5 ， 𝑎3 𝑎2 =2，可知{𝑎𝑛}不是等比数列. 练习 2(1) 将例 4 中的Sn改为Sn = 3 × 2 𝑛 − 3，再次判断这个数列是否是等比数列 解：当𝑛 = 1时，有𝑎1 = 𝑆1 = 3， 当𝑛 ≥ 2时，有𝑎𝑛=Sn − Sn−1 = 3 × 2 𝑛 − 3 − (3 × 2𝑛−1 − 3)=3 × 2𝑛−1. 当𝑛 = 1时也满足此式，因此数列的通项公式为𝑎𝑛=3 × 2 𝑛−1. 因此{𝑎𝑛}是首项为 3，公比为 2 的等比数列. (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＝2，an＋1＝2Sn＋1，试判断数列{an}是否为等 比数列． [解] ∵an＋1＝2Sn＋1， ∴an＝2Sn－1＋1(n≥2). 两式相减，得 an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，即 an＋1＝3an(n≥2). 又 a2＝2S1＋1＝2×2＋1＝5，a1＝2， ∴ a2 a1 ＝ 5 2 ≠3. ∴数列{an}不是等比数列． (3)设数列{an}的前 n 项和 Sn＝2an－2n. (1)求 a3，a4； (2)证明：{an＋1－2an}是等比数列； (3)求{an}的通项公式． 解 (1)∵a1＝S1，S1＝2a1－2， ∴a1＝2，S1＝2. 由 Sn＝2an－2n，即 2an＝Sn＋2n知 2an＋1＝Sn＋1＋2n ＋1＝an＋1＋Sn＋2n ＋1， ∴an＋1＝Sn＋2n ＋1.① ∴a2＝S1＋22＝2＋22＝6，S2＝8，a3＝S2＋23＝8＋23＝16，S3＝24，a4＝S3＋24＝24＋24＝ 40. (2)证法一：由题设和①式知 an＋1－2an＝(Sn＋2n ＋1)－(Sn＋2n)＝2n ＋1－2n＝2n. ∴数列{an＋1－2an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． 证法二：由 Sn＝2an－2n，② 得 Sn＋1＝2an＋1－2n ＋1.③ ③－②得 an＋1＝2an＋1－2n ＋1－2an＋2n，即 an＋1－2an＝2n. ∴数列{an＋1－2an}是首项为 2，公比为 2 的等比数列． (3)由(2)知 an＋1－2an＝2n， 等号两边同时除以 2n ＋1，得 an＋1 2n ＋1－ an 2n ＝ 1 2 ， ∴数列      an 2n 是以 a1 2 ＝1 为首项， 1 2 为公差的等差数列， ∴ an 2n ＝1＋ 1 2 (n－1)，即 an＝(n＋1)×2n －1. 归纳：𝑞 ≠ 1时， (1) Sn = −𝐴q n + 𝐴(𝐴 ≠ 0， 𝑞 ≠ 0 )⟺{𝑎𝑛}是等比数列； (2) Sn = 𝐴q n +𝐵(𝐴 + 𝐵 ≠ 0， 𝑞 ≠ 0 )⟺{𝑎𝑛}从第 2 项起是等比数列. 例 3 求和：9 + 99 + 999 +…+999…99. 分析：数列 9，99，999，…不是等比数列，不能直接用公式求和，但将它转化为10 − 1，100 − 1，1000 − 1，…，就容易解决了. 解：原式= (10 − 1) + (102 − 1) +⋯+ (10𝑛 − 1) = (10 + 102 +⋯+ 10𝑛) − 𝑛 = 10(10𝑛−1) 10−1 − 𝑛 = 10 9 (10𝑛 − 1) − 𝑛 练习 3.已知数列{an}的通项公式 an=2n+n,求该数列的前 n 项和 Sn. 分析：显然此数列不是等比数列，但可以进行分组求和. 解： 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) +⋯+ (2𝑛 + 𝑛) = (2 + 22 + 23 +⋯+ 2𝑛) + (1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛) = 2(1−2𝑛) 1−2 + (1+𝑛)𝑛 2 = 2𝑛+1 − 2 + (1+𝑛)𝑛 2 . 归纳：(1) 求和时先看通项；(2) 形如𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛的数列，求和时可用分组求和的方法. 回顾：结合本节课所学，回答下列问题？ 1. 等比数列的前 n 项和公式是用什么方法推导的呢？回忆一下推导过程. 2. 如何判断一个数列是否是等比数列？ 3. 等比数列涉及到哪些量，它们之间又有什么关系呢？ 【随堂检测】 1．已知等比数列{an}的公比 q＝2，且前 5 项和 S5＝1，那么前 10 项和 S10＝( ) A．31 B．33 C．35 D．37 答案 B 解析 因为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，所以 a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5) ＝q5＝25＝32，所以 S10＝1＋32＝33. 2．已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－ 4 3 ，则{an}的前 10 项和 S10＝( ) A．－6×(1－3－10) B． 1 9 ×(1－3－10) C．3×(1－3－10) D．3×(1＋3－10) 答案 C 解析 ∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝－ 1 3 an，又 a2≠0，∴{an}为等比数列，公比 q＝－ 1 3 ， 又 a2＝a1q＝－ 1 3 a1＝－ 4 3 ，∴a1＝4，∴S10＝ 4×       1－   － 1 3 10 1－   － 1 3 ＝3×(1－3－10).故选 C． 3．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋a(a 为常数)，则数列{an}( ) A．是等比数列 B．仅当 a＝－1 时，是等比数列 C．不是等比数列 D．仅当 a＝0 时，是等比数列 答案 B 解析 an＝   S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2 ＝   3＋a，n＝1， 2×3n－1，n≥2. 当 a＝－1 时，a1＝2 适合通项 an＝2×3n －1，故数列{an}是等比数列；当 a≠－1 时，{an}不是等比数列．故选 B. 4．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前 n 项和为 Sn，若 a1＝1，S5＝5S3 －4，则 S4＝( ) A． 15 8 B． 65 8 C．15 D．40 答案 C 解析 由题意知 1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即 q3＋q4＝4q＋4q2，即 q3＋q2－ 4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题意知 q＞0，所以 q＝2，所以 S4＝1＋2＋4＋8＝15. 故选 C． 5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前 n 项和，an＋1＝2Sn＋2，则 a4的值为( ) A．3 B．18 C．54 D．152 答案 C 解析 解法一：因为 an＋1＝2Sn＋2，所以当 n≥2 时，an＝2Sn－1＋2，两式相减，得 an＋ 1－an＝2an，即 an＋1＝3an，所以数列{an}是公比 q＝ an＋1 an ＝3 的等比数列．当 n＝1 时，a2＝ 2S1＋2＝2a1＋2，又 a2＝3a1，所以 3a1＝2a1＋2，解得 a1＝2，所以 a4＝a1q3＝2×33＝54.故 选 C． 解法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为 an＋1＝2Sn＋2，所以公比 q≠1，且 a1q n＝ 2a1（1－qn） 1－q ＋2＝－ 2a1 1－q qn＋ 2a1 1－q ＋2，所以   a1＝－ 2a1 1－q ， 0＝ 2a1 1－q ＋2， 所以   a1＝2， q＝3， 所以 a4＝a1q3＝ 2×33＝54.故选 C． 6．若数列{an}是等比数列，已知对任意 n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2 n－1，则 a21＋a22＋a23 ＋…＋a2n＝( ) A．(2n－1)2 B． 1 3 (2n－1)2 C．4n－1 D． 1 3 (4n－1) 答案 D 解析 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，由 Sn＝2n－1，得 a1＝S1＝1，a2＝S2－S1＝22－ 2＝2，∴数列{an}的公比为 q＝2，可知数列{a2n}是等比数列，首项为 1，公比为 q2＝4，∴a21 ＋a22＋a23＋…＋a2n＝ 1－4n 1－4 ＝ 1 3 (4n－1). 7．(多选)在公比 q 为整数的等比数列{an}中，Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 a1a4＝32， a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( ) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{log2an}是公差为 2 的等差数列 答案 ABC 解析 因为数列{an}为等比数列，又 a1a4＝32，所以 a2a3＝32，又 a2＋a3＝12，所以    a2＝4， a3＝8， q＝2 或    a2＝8， a3＝4， q＝ 1 2 ， 又公比 q 为整数，则    a2＝4， a3＝8， q＝2， 即 an＝2n，Sn＝ 2×（1－2n） 1－2 ＝2n＋1－2. 由上可得 q＝2，故 A 正确；Sn＋2＝2n＋1， Sn＋1＋2 Sn＋2 ＝ 2n＋2 2n＋1 ＝2，则数列{Sn＋2}是等比数列， 故 B 正确；S8＝29－2＝510，故 C 正确；log2an＋1－log2an＝(n＋1)－n＝1，即数列{log2an}是 公差为 1 的等差数列，故 D 错误．故选 ABC． 8．(多选)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝2an－2，若存在两项 am，an，使得 aman＝ 64，则( ) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列 C．a21＋a22＋…＋a2n＝ 4n－1 3 D．m＋n 为定值 答案 BD 解析 由题意，当 n＝1 时，S1＝2a1－2，解得 a1＝2，当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2，所 以 Sn－Sn－1＝an＝2an－2－(2an－1－2)＝2an－2an－1，所以 an an－1 ＝2，数列{an}是首项 a1＝2， 公比 q＝2 的等比数列，an＝2n，故 A 错误，B 正确；数列{a2n}是首项 a21＝4，公比 q1＝4 的 等比数列，所以 a21＋a22＋…＋a2n＝ a21（1－qn1） 1－q1 ＝ 4×（1－4n） 1－4 ＝ 4n＋1－4 3 ，故 C 错误；因为 aman＝2m2n＝2m＋n＝64＝26，所以 m＋n＝6 为定值，故 D 正确．故选 BD. 9．数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2 n－1，其前n项和为Sn，则a5＝________，S2n＝________． 答案 4 2n＋1－2 解析 由递推关系可得 anan＋1＝2 n－1，an＋1·an＋2＝2 n，两式相除可得 an＋2 an ＝2.则 a5＝a1 ×22＝4，由 anan＋1＝2 n－1可得 a2＝1，则奇数项、偶数项分别为首项为 1，公比为 2 的等比 数列，则 S2n＝2× 1×（1－2n） 1－2 ＝2n＋1－2. 10．已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n＋r，则 a3－r＝________；数列       n（n＋4）   2 3 n 的最大项是第 k 项，则 k＝________． 答案 19 4 解析 等比数列前 n 项和公式具有特征：Sn＝aqn－a，据此可知 r＝－1，则 Sn＝3n－1， a3＝S3－S2＝(33－1)－(32－1)＝18，a3－r＝19.令 bn＝n(n＋4)   2 3 n ，则 bn＋1 bn ＝ 2 3 · n2＋6n＋5 n2＋4n ，由 bn＋1 bn ＝ 2 3 · n2＋6n＋5 n2＋4n >1 可得 n2<10，由 bn＋1 bn ＝ 2 3 · n2＋6n＋5 n2＋4n <1 可得 n2>10，据此可得，数列{bn} 中的项满足 b1<b2<b3<b4，且 b4>b5>b6>b7>…，则 k＝4. 11．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 解 (1)依题意有 S1＋S2＝2S3， 即 a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)， 由于 a1≠0，故 2q2＋q＝0. 又 q≠0，所以 q＝－ 1 2 . (2)由已知可得 a1－a1   － 1 2 2 ＝3，故 a1＝4. 所以 Sn＝ 4       1－   － 1 2 n 1－   － 1 2 ＝ 8 3      1－   － 1 2 n . 12．已知数列{an}，{bn}满足 2Sn＝(an＋2)bn，其中 Sn是数列{an}的前 n 项和． (1)若数列{an}是首项为 2 3 ，公比为－ 1 3 的等比数列，求数列{bn}的通项公式； (2)若 bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式． 解 (1)∵an＝ 2 3   － 1 3 n－1 ＝－2   － 1 3 n ， Sn＝ 2 3      1－   － 1 3 n 1－   － 1 3 ＝ 1 2      1－   － 1 3 n ， ∴bn＝ 2Sn an＋2 ＝ 1－   － 1 3 n －2   － 1 3 n ＋2 ＝ 1 2 . (2)若 bn＝n，则 2Sn＝nan＋2n， ∴2Sn＋1＝(n＋1)an＋1＋2(n＋1)， 两式相减，得 2an＋1＝(n＋1)an＋1－nan＋2， 即 nan＝(n－1)an＋1＋2， 当 n≥2 时，(n－1)an－1＝(n－2)an＋2， 两式相减，得(n－1)an－1＋(n－1)an＋1＝2(n－1)an， 即 an－1＋an＋1＝2an， 又由 2S1＝a1＋2，S1＝a1，得 a1＝2，又 a2＝3， ∴数列{an}是首项为 2，公差为 3－2＝1 的等差数列， ∴数列{an}的通项公式是 an＝n＋1(n∈N＋). 13．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2an－2(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N＋，不等式(λ－n)an＋1＋an≤15 恒成立，求实数 λ 的最大值． 解 (1)∵Sn＝2an－2， ① ∴Sn－1＝2an－1－2(n≥2). ② ①－②，得 an＝2an－2an－1，即 an＝2an－1(n≥2). ∵S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2. ∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列． ∴an＝a1×qn－1＝2×2n－1＝2n. (2)要使(λ－n)an＋1＋an≤15 恒成立，则(λ－n)×2 n＋1＋2n≤15， 参变分离，得 λ≤      n＋ 15 2n＋1 － 1 2 min . 令 bn＝n＋ 15 2n＋1 － 1 2 ， ∵bn＋1－bn＝1－ 15 2n＋2 ＝ 2n＋2－15 2n＋2 ， ∴当 n≥2 时，bn＋1－bn>0，即 bn＋1>bn. 当 n＝1 时，bn＋1－bn<0，即 b2<b1. ∴b1>b2，且 b2<b3<b4<…<bn<…， ∴当 n＝2 时，bn有最小值，为 27 8 . ∴λ≤ 27 8 ，∴实数 λ 的最大值为 27 8 . 1 5.3.2 等比数列的前𝒏项和 学习目标：1. 推导并掌握等比数列的前 n 项和公式；2. 了解等比数列的前 n 项和公式与 函数的关系；3. 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关的计算问题. 教学重点：等比数列的前 n项和公式及其相关性质． 教学难点：应用等比数列的前 n项和公式及其相关性质解决问题． 知识点 1：等比数列的前𝒏项和 情境：信息技术高度发展的今天，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣”，否则要依 法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？如图所示，如果一个人得到某个信息之后， 就将这个信息传递给 3 个不同的好友（称为第 1 轮传播），每个好友收到信息后又都传给了 3 个不同的好友（称为第 2 轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则 每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列 1，3，9，27，81, … 问题 1：如果信息按照上述方式共传播了 19 轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？ 问题 2：求等比数列{an}的前 n 项和 Sn. 例 1 (1) 已知等比数列{𝑎𝑛}的公比为 1 2 ，且𝑎8 = 1，求这个数列前 8 项的和𝑆8. (2)已知等比数列{𝑎𝑛}中，𝑎3 = 3，𝑎10 = −384，求这个数列前 10 项的和. 练习 1.已知数列{an}是等比数列. （1）若 a1 = 1，q = 2，求 S8 ； （2）若 a1 = 2，q = 1，求 S2021； 2 知识点 2：等比数列的前 n 项和公式与函数的关系 例 2 已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为Sn = 3 × 2 𝑛 − 1，求出数列的通项公式，并判断这个数列 是否是等比数列. 练习 2(1) 将例 4 中的Sn改为Sn = 3 × 2 𝑛 − 3，再次判断这个数列是否是等比数列 (2)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 a1＝2，an＋1＝2Sn＋1，试判断数列{an}是否为等 比数列． (3)设数列{an}的前 n项和 Sn＝2an－2n. (1)求 a3，a4； (2)证明：{an＋1－2an}是等比数列； (3)求{an}的通项公式． 归纳：𝑞 ≠ 1时， (1) Sn = ⟺{𝑎𝑛}是等比数列； (2) Sn = 𝐴q n +𝐵(𝐴 + 𝐵 ≠ 0， 𝑞 ≠ 0 )⟺{𝑎𝑛}从第 2 项起是 数列. 3 例 3 求和：9 + 99 + 999 +…+999…99. 练习 3.已知数列{an}的通项公式 an=2n+n,求该数列的前 n项和 Sn. 归纳：(1) 求和时先看通项；(2) 形如𝑐𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛的数列，求和时可用 求和的方法. 【随堂检测】 1．已知等比数列{an}的公比 q＝2，且前 5 项和 S5＝1，那么前 10 项和 S10＝ . 2．已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－ 4 3 ，则{an}的前 10 项和 S10＝ . 3．若数列{an}的前 n项和 Sn＝3n＋a(a为常数)，则数列{an}( ) A．是等比数列 B．仅当 a＝－1 时，是等比数列 C．不是等比数列 D．仅当 a＝0 时，是等比数列 4．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前 n项和为 Sn，若 a1＝1，S5＝5S3 －4，则 S4＝ . 5．(2023·天津高考)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前 n项和，an＋1＝2Sn＋2，则 a4的值为 . 6．若数列{an}是等比数列，已知对任意 n∈N＋，a1＋a2＋…＋an＝2 n－1，则 a21＋a22＋a23 ＋…＋a2n＝ . 7．(多选)在公比 q 为整数的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前 n 项和，若 a1a4＝32， a2＋a3＝12，则下列说法正确的是( ) A．q＝2 B．数列{Sn＋2}是等比数列 C．S8＝510 D．数列{log2an}是公差为 2 的等差数列 8．(多选)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，Sn＝2an－2，若存在两项 am，an，使得 aman＝ 64，则( ) A．数列{an}为等差数列 B．数列{an}为等比数列 C．a21＋a22＋…＋a2n＝ 4n－1 3 D．m＋n为定值 4 9．数列{an}满足a1＝1，anan＋1＝2 n－1，其前n项和为Sn，则a5＝________，S2n＝________． 10．已知等比数列{an}的前 n项和 Sn＝3n＋r，则 a3－r＝________；数列       n（n＋4）   2 3 n 的最大项是第 k项，则 k＝________． 11．等比数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 S1，S3，S2成等差数列． (1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. 12．已知数列{an}，{bn}满足 2Sn＝(an＋2)bn，其中 Sn是数列{an}的前 n项和． (1)若数列{an}是首项为 2 3 ，公比为－ 1 3 的等比数列，求数列{bn}的通项公式； (2)若 bn＝n，a2＝3，求数列{an}的通项公式． 13．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，且满足 Sn＝2an－2(n∈N＋). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若对任意的 n∈N＋，不等式(λ－n)an＋1＋an≤15 恒成立，求实数 λ的最大值．