5.3.1 第2课时 等比数列的性质学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3.1 第2课时 等比数列的性质 学习目标：1. 了解等比数列与指数函数的关系；2. 理解等比中项的概念，能用公式求解；3. 掌握判断等比数列的常用方法；4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题. 【知识导学】 知识点 1：通项公式与函数的关系 问题1：在等比数列的通项公式中，an与的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 ， 所以如果记 ， 则可以看出的形式类似 函数，而且 （1）当公比1时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比1时，是与的乘积： ，{an}中的项 ， {an}是 数列， ，是指数函数， {an}增减性与和有关. 知识点2.等比数列的单调性：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当 时，等比数列{an}为递增数列； (2)当 时，等比数列{an}为递减数列. 例如判断这些数列，，是否是等比数列，是否具有单调性？ 知识点 3.等比中项的概念 等比中项的概念 1．如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项. 2．根据等比中项与等比数列的定义可知＝，因此G2＝ ．由此可知G＝ ． 例如 若x和100的等比中项是20，则 . 2与8的等比中项是． 【总结归纳】判断一个数列是不是等比数列的常用方法 (1)定义法：若(q为常数)，则数列为等比数列； (2)等比中项法：若()，则数列为等比数列； (3)通项法：若(k，b为非零常数)，则数列为等比数列； (4)性质法：若数列，为等比数列，k为非零常数，则，，也是等比数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公比. 等比中项的性质推广 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 ，即as是ap与aq的等比中项. 思考：这是充要条件吗？ 题型一　等比中项 例1. 在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 练习1.1在等比数列{an}中，a3 a5=14，则a1a7等于 . 练习1.2 已知在等比数列{an}中，a4 a8 = 25，a12= 320. 求 a9. 题型二　等比数列的性质 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝ . (2)在等比数列{an}中，an<an＋1，且a2a11＝6，a4＋a9＝5，则＝ . (3)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ . 练习2.1在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ . 练习2.2已知等比数列{an}中，a1，a101是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a21a51a81的值为 . 题型三　等比数列与等差数列的综合 例3 已知{an}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，n∈N＋，求数列{bn}的前n项和Sn. 练习3 已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a1，a2，a5成等比数列，且S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Tn＝＋＋…＋，求证：Tn<. 随堂检测 1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ ． 2．已知m，2m＋2，3m＋3是等比数列{an}的前3项，则a4＝ ． 3．(多选)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝ ． 4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________． 5．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9就成为等比数列，求这三个数． 6．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1. (1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程＋＋…＋＝的n的值． 7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足b1＝8，bn＝16bn＋1. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)是否存在常数p，q，使得对一切正整数n都有an＝logpbn＋q成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 5.3.1 第 2 课时 等比数列的性质 学习目标：1. 了解等比数列与指数函数的关系；2. 理解等比中项的概念，能用公式求 解；3. 掌握判断等比数列的常用方法；4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数 列的性质，并能灵活运用于解决问题. 【知识导学】 知识点 1：通项公式与函数的关系 问题 1：在等比数列的通项公式中，an 与𝑛的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1 = 𝑎1 𝑞 · 𝑞𝑛， 所以如果记 𝑓(𝑥) = 𝑎1 𝑞 · 𝑞𝑥， 则可以看出𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛)的形式类似 函数，而且 （1）当公比𝑞 =1 时， 𝑓(𝑥)是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比𝑞 ≠1 时，𝑓(𝑥)是 𝑎1 𝑞 与𝑦 = 𝑞𝑥的乘积： 𝑞 < 0，{an}中的项 ， {an}是 数列， 𝑞 > 0，𝑓(𝑥)是指数函数， {an}增减性与𝑎1和𝑞有关. 知识点 2.等比数列的单调性：已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则 (1)当 时，等比数列{an}为递增数列； (2)当 时，等比数列{an}为递减数列. 例如判断这些数列𝑎𝑛 = 2 2+𝑛，𝑏𝑛 = 2 1 𝑛，𝑐𝑛 = ( 1 3 ) 2+3𝑛 是否是等比数列，是否具有单调性？ 知识点 3.等比中项的概念 等比中项的概念 1．如果 x，G，y是等比数列，那么称 G为 x与 y的等比中项. 2．根据等比中项与等比数列的定义可知 G x ＝ y G ，因此 G2＝ ．由此可知 G＝ ． 例如 若 x 和 100 的等比中项是 20，则𝑥 = . 2 与 8 的等比中项是 ． 【总结归纳】判断一个数列是不是等比数列的常用方法 (1)定义法：若 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑞(q 为常数)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (2)等比中项法：若𝑎𝑛 2 = 𝑎𝑛+1𝑎𝑛−1(𝑛 ≥ 2)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (3)通项法：若𝑎𝑛 = 𝑘𝑞 𝑛(k，b 为非零常数)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (4)性质法：若数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}为等比数列，k 为非零常数，则{𝑘𝑎𝑛}，{𝑎𝑛𝑏𝑛}，{ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 }也是等比 数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公比. 2 等比中项的性质推广 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数 s，t，p，q 满足 s+t=p+q，则 . 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 ，即 as 是 ap与 aq的等比中项. 思考：这是充要条件吗？ 题型一 等比中项 例 1. 在 4 与 1 4 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，求插入的 3 个数. 练习 1.1 在等比数列{an}中，a3 a5=14，则 a1a7 等于 . 练习 1.2 已知在等比数列{an}中，a4 a8 = 25，a12= 320. 求 a9. 题型二 等比数列的性质 例2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ . (2)在等比数列{an}中，an<an＋1，且 a2a11＝6，a4＋a9＝5，则 a6 a11 ＝ . (3)已知等比数列{an}满足 an>0，n＝1，2，…，且 a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1 ＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ . 练习 2.1 在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝ . 练习 2.2 已知等比数列{an}中，a1，a101 是方程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a21a51a81 的值 为 . 题型三 等比数列与等差数列的综合 例 3 已知{an}是递增的等比数列，a1＝1，且 2a2， 3 2 a3，a4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝ 1 log2an＋1·log2an＋3 ，n∈N＋，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 3 练习 3 已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 a1，a2，a5成等比数列，且 S6 ＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Tn＝ 1 a1a2 ＋ 1 a2a3 ＋…＋ 1 anan＋1 ，求证：Tn< 1 2 . 随堂检测 1．公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数，且 a3a11＝16，则 log2a10＝ ． 2．已知 m，2m＋2，3m＋3 是等比数列{an}的前 3 项，则 a4＝ ． 3．(多选)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则 a20 a10 ＝ ． 4．在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝ 15 8 ，a8a9＝－ 9 8 ，则 1 a7 ＋ 1 a8 ＋ 1 a9 ＋ 1 a10 ＝ ________． 5．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别加上 1，3，9 就成为等比数 列，求这三个数． 4 6．已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋ 1 2 an＝1. (1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)设 bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝ 25 51 的 n 的值． 7．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足 b1＝8，bn＝16bn＋1. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)是否存在常数 p，q，使得对一切正整数 n 都有 an＝logpbn＋q 成立？若存在，求出 p，q 的值；若不存在，说明理由． 5.3.1 第 2 课时 等比数列的性质 学习目标：1. 了解等比数列与指数函数的关系；2. 理解等比中项的概念，能用公式求 解；3. 掌握判断等比数列的常用方法；4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数 列的性质，并能灵活运用于解决问题. 知识点 1：通项公式与函数的关系 问题 1：在等比数列的通项公式中， an与𝑛的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1 = 𝑎1 𝑞 · 𝑞𝑛， 所以如果记 𝑓(𝑥) = 𝑎1 𝑞 · 𝑞𝑥， 则可以看出𝑎𝑛 = 𝑓(𝑛)的形式类似指数函数，而且 （1）当公比𝑞 =1 时， 𝑓(𝑥)是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比𝑞 ≠1 时，𝑓(𝑥)是 𝑎1 𝑞 与𝑦 = 𝑞𝑥的乘积： 𝑞 < 0，{an}中的项正负交替， {an}是摆动数列， 𝑞 > 0，𝑓(𝑥)是指数函数， {an}增减性与𝑎1和𝑞有关. 【总结归纳】 1．等比数列与指数函数的异同点 类别 指数函数 等比数列 表达式 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑎＞0,且𝑎 ≠ 1) 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑞 ∙ 𝑞𝑛 (q＞0,且 q≠1,n∈N+) 不同点 ① 定义域为 R； ① 定义域为 N+； ② 图象是一条曲 线. ② 图象是一系列孤 立的点. 相同点 当公比𝑞＞0，且𝑞 ≠ 1时，等比数列与指 数函数都是随自变量乘指数型变化. 2.等比数列的单调性：已知等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则 (1)当   a1>0， q>1 或   a1<0， 0<q<1 时，等比数列{an}为递增数列； (2)当   a1>0， 0<q<1 或   a1<0， q>1 时，等比数列{an}为递减数列. 例 判断这些数列𝒂𝒏 = 𝟐 𝟐+𝒏，𝒃𝒏 = 𝟐 𝟏 𝒏，𝒄𝒏 = ( 𝟏 𝟑 ) 𝟐+𝟑𝒏 是否是等比数列，是否具有单调性？ 解：{𝒂𝒏}是等比，递增。{𝒃𝒏}不是是等比，递减。{𝒄𝒏}是等比，递减。 知识点 2：等比中项的概念 等比中项的概念 1．如果 x，G，y是等比数列，那么称 G为 x与 y的等比中项. 2．根据等比中项与等比数列的定义可知 G x ＝ y G ，因此 G2＝xy．由此可知 G＝ ± xy． 例如 1.若 x 和 100 的等比中项是 20，求 x. 例如 2. 2 与 8 的等比中项是±√2 × 8 = ±4. 分析：根据𝐺2= 𝑥𝑦 ，代入求解即可. 答案：𝑥 = 4； 【总结归纳】判断一个数列是不是等比数列的常用方法 (1)定义法：若 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑞(q 为常数)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (2)等比中项法：若𝑎𝑛 2 = 𝑎𝑛+1𝑎𝑛−1(𝑛 ≥ 2)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (3)通项法：若𝑎𝑛 = 𝑘𝑞 𝑛(k，b 为非零常数)，则数列{𝑎𝑛}为等比数列； (4)性质法：若数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}为等比数列，k 为非零常数，则{𝑘𝑎𝑛}，{𝑎𝑛𝑏𝑛}，{ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 }也是等比 数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公比. 等比中项的性质推广 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数 s，t，p，q 满足 s+t=p+q，则 𝑎𝑠𝑎𝑡 = 𝑎𝑝𝑎𝑞 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 𝑎𝑠 2=apaq，即 as是 ap与 aq的等比中项. 思考：这是充要条件吗？ 题型一 等比中项 例 1：在 4 与 1 4 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，求插入的 3 个数. 解：（方法一）依题意，𝑎1 = 4， 𝑎5 = 1 4 ， 由等比数列的通项公式𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1，得 1 4 = 4 × 𝑞4，解得𝑞 = ± 1 2 . 当𝑞 = 1 2 时，插入的 3 个数分别为4 × 1 2 = 2，2 × 1 2 = 1，1 × 1 2 = 1 2 ， 当𝑞 = − 1 2 时，插入的 3 个数分别为 4×(− 1 2 )=-2，-2×(− 1 2 )=1，1×(− 1 2 )=− 1 2 ， 因此插入的 3 个数分别为2，1， 1 2 或−2，1， − 1 2 . （方法二）因为等比数列共有 5 项，即𝑎1，𝑎2，𝑎3，𝑎4，𝑎5. 又因为2 × 3 = 1 + 5 ，所以𝑎3 2 = 𝑎1𝑎5 = 4 × 1 4 = 1， 即𝑎3 = ±1，又因为𝑎3要与𝑎1同号，所以𝑎3 = 1. 类似地，有𝑎2 2 = 𝑎1𝑎3，𝑎4 2 = 𝑎3𝑎5，而且𝑎2与𝑎4同号，因此 当𝑎2 = √𝑎1𝑎3 = √4 × 1 = 2时，𝑎4 = √𝑎3𝑎5 = √1 × 1 4 = 1 2 ； 当𝑎2 = −√𝑎1𝑎3 = −√4 × 1=−2 时，𝑎4 = −√𝑎3𝑎5 = −√1 × 1 4 =− 1 2 ； 因此插入的 3 个数分别为2，1， 1 2 或−2，1， − 1 2 练习 1.1 在等比数列{an}中，a3 a5=14，则 a1a7 等于 . 答案：14 分析：考查等比数列的性质，若 s + t = p + q，则 as at=ap aq. 练习 1.2 已知在等比数列{an}中，a4 a8 = 25，a12= 320. 求 a9. 分析：考查等比数列的性质推广，若 2s = p + q，则𝑎𝑠2 = apaq. 解：∵a4a8 = 𝑎62= 25，即 a6 = ±5， 又因为𝑎6要与𝑎12同号，所以𝑎6 = 5 ∵ 𝑎92 = a6a12 = 5×320=1600， ∴a9 =±40. 题型二 等比数列的性质 例2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则 a4a5a6＝ . [解析] 解法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5，a7a8a9＝a38＝10，a4a5a6＝a35＝ (± a2a8)3＝±5 2，因为 an>0，所以 a4a5a6＝5 2.故选 A． 解法二：因为 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)，即 a4a5a6 ＝±5 2.因为 an>0，所以 a4a5a6＝5 2． [答案] 5 2 (2)在等比数列{an}中，an<an＋1，且 a2a11＝6，a4＋a9＝5，则 a6 a11 ＝ . [解析] ∵a2a11＝a4a9＝6，而 a4＋a9＝5，∴a4，a9为方程 x2－5x＋6＝0 的两个根，解得 a4 ＝2，a9＝3 或 a4＝3，a9＝2，∵an<an＋1，∴a4＝2，a9＝3，∴ a4 a9 ＝ a1q3 a1q8 ＝ 1 q5 ＝ 2 3 ，故 a6 a11 ＝ a1q5 a1q10 ＝ 1 q5 ＝ 2 3 . [答案] 2 3 (3)已知等比数列{an}满足 an>0，n＝1，2，…，且 a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当 n≥1 时，log2a1 ＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ . [解析] 解法一：a5a2n－5＝a2n＝22n，注意到 an>0，所以 an＝2n，于是 log2a1＋log2a3＋…＋ log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故选 C. 解法二：a1a2n－1＝a3a2n－3＝…＝a2n＝22n， 所以 log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n 2＝ n2. [答案] n2 练习 2．1 在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝ . 答案 25 解析 运用等比数列的性质，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则 aman＝apaq，可得 a8a11＝a9a10＝a7a12＝5，所以 a8a9a10a11＝25.故选 B. 练习 2．2 已知等比数列{an}中，a1，a101 是方程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a21a51a81 的值 为 . 答案 64 解析 因为 a1，a101是方程 x2－10x＋16＝0 的两根，所以由根与系数的关系可得 a1a101＝ 16，a1＋a101＝10，即 a1(1＋q100)＝10，所以 a1>0，由等比数列的性质知 a1a101＝a21a81＝a251 ＝16，因为 a51＝a1q50>0，所以 a51＝4，所以 a21a51a81＝64. 题型三 等比数列与等差数列的综合 例 3 已知{an}是递增的等比数列，a1＝1，且 2a2， 3 2 a3，a4 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝ 1 log2an＋1·log2an＋3 ，n∈N＋，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. [解] (1)设等比数列{an}的公比为 q，由题意及 a1＝1，知 q>1. ∵2a2， 3 2 a3，a4成等差数列， ∴3a3＝a4＋2a2， ∴3q2＝q3＋2q，即 q2－3q＋2＝0， 解得 q＝2 或 q＝1(舍去)，∴q＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝a1qn －1＝2n －1. (2)∵bn＝ 1 log2an＋1·log2an＋3 ＝ 1 n（n＋2） ＝ 1 2   1 n － 1 n＋2 ，∴Sn＝ 1 2        1－ 1 3 ＋   1 2 － 1 4 ＋   1 3 － 1 5 ＋…＋    1 n－1 － 1 n＋1 ＋   1 n － 1 n＋2 ＝ 1 2   3 2 － 1 n＋1 － 1 n＋2 ＝ 3 4 － 1 2    1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＝ 3 4 － 2n＋3 2（n＋1）（n＋2） . 练习 3 已知等差数列{an}的公差 d≠0，其前 n 项和为 Sn，若 a1，a2，a5成等比数列，且 S6 ＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记 Tn＝ 1 a1a2 ＋ 1 a2a3 ＋…＋ 1 anan＋1 ，求证：Tn< 1 2 . 解 (1)因为 a1，a2，a5 成等比数列，S6＝36， 所以    （a1＋d）2＝a1（a1＋4d）， 6a1＋ 6×5 2 d＝36， 解得   a＝1， d＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)证明：因为 1 anan＋1 ＝ 1 （2n－1）（2n＋1） ＝ 1 2   1 2n－1 － 1 2n＋1 ， 所以 Tn＝ 1 2   1－ 1 3 ＋ 1 3 － 1 5 ＋…＋ 1 2n－1 － 1 2n＋1 ＝ 1 2   1－ 1 2n＋1 . 因为 n∈N＋，所以 1 2n＋1 >0， 所以 1－ 1 2n＋1 <1， 所以 Tn＝ 1 2   1－ 1 2n＋1 < 1 2 . 随堂检测 1．公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数，且 a3a11＝16，则 log2a10＝ ． 答案 5 解析 ∵a3a11＝16，∴a27＝16.又等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.又 a10＝a7q3＝4×23 ＝25，∴log2a10＝5. 2．已知 m，2m＋2，3m＋3 是等比数列{an}的前 3 项，则 a4＝ ． 答案 － 27 2 解析 由题意，知(2m＋2)2＝m(3m＋3)，解得 m＝－1(舍去)或 m＝－4，∴公比 q＝ 3 2 ，∴a4 ＝a1q3＝－4×   3 2 3 ＝－ 27 2 . 3．(多选)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则 a20 a10 ＝ ． 答案 2 3 或 3 2 解析 因为 a7a11＝a4a14＝6，又 a4＋a14＝5，所以   a4＝2， a14＝3 或   a4＝3， a14＝2， 因为 a20 a10 ＝q10＝ a14 a4 ， 所以 a20 a10 ＝ 3 2 或 a20 a10 ＝ 2 3 . 4．在等比数列{an}中，若 a7＋a8＋a9＋a10＝ 15 8 ，a8a9＝－ 9 8 ，则 1 a7 ＋ 1 a8 ＋ 1 a9 ＋ 1 a10 ＝ ________． 答案 － 5 3 解析 ∵ 1 a7 ＋ 1 a10 ＝ a7＋a10 a7a10 ， 1 a8 ＋ 1 a9 ＝ a8＋a9 a8a9 ，又 a8a9＝a7a10，∴ 1 a7 ＋ 1 a8 ＋ 1 a9 ＋ 1 a10 ＝ a7＋a8＋a9＋a10 a8a9 ＝ 15 8 － 9 8 ＝－ 5 3 . 5．三个正数成等差数列，它们的和等于 15，如果它们分别加上 1，3，9 就成为等比数 列，求这三个数． 解 设所求三个数为 a－d，a，a＋d， 则由题设得   a－d＋a＋a＋d＝15， （a＋3）2＝（a－d＋1）（a＋d＋9）， 解得   a＝5， d＝2 或   a＝5， d＝－10， 又 a－d，a，a＋d 为正数， ∴   a＝5， d＝－10 不符合题意，舍去，∴   a＝5， d＝2. ∴所求的三个数为 3，5，7. 6．已知数列{an}的前 n 项和是 Sn，且 Sn＋ 1 2 an＝1. (1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)设 bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝ 25 51 的 n 的值． 解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1，由 S1＋ 1 2 a1＝1，得 a1＝ 2 3 .当 n≥2 时，∵Sn＝1－ 1 2 an，∴Sn－1＝1 － 1 2 an－1，∴Sn－Sn－1＝ 1 2 (an－1－an)，即 an＝ 1 2 (an－1－an)， ∴an＝ 1 3 an－1， 故{an}是以 2 3 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 故 an＝ 2 3 ×   1 3 n－1 ＝2×   1 3 n . (2)∵1－Sn＝ 1 2 an＝   1 3 n ， ∴bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3   1 3 n＋1 ＝－n－1， ∴ 1 bnbn＋1 ＝ 1 （n＋1）（n＋2） ＝ 1 n＋1 － 1 n＋2 ， ∴ 1 b1b2 ＋ 1 b2b3 ＋…＋ 1 bnbn＋1 ＝ 1 2 － 1 n＋2 (n∈N＋)， 解方程 1 2 － 1 n＋2 ＝ 25 51 ，得 n＝100. 7．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足 b1＝8，bn＝16bn＋1. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)是否存在常数 p，q，使得对一切正整数 n 都有 an＝logpbn＋q 成立？若存在，求出 p，q 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)证明：因为数列{an}的前 n 项和为 Sn＝2n2＋5n， 当 n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)2＋5(n－1)， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n2＋5n－2(n－1)2－5(n－1)＝4n＋3， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2＋5＝7，满足 a1＝4×1＋3， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n＋3，n∈N＋， 所以 an＋1－an＝4(n＋1)＋3－4n－3＝4，n∈N＋， 所以数列{an}是首项为 7，公差为 4 的等差数列． (2)因为 bn＝16bn＋1，所以 bn＋1 bn ＝ 1 16 ， 所以数列{bn}是以 8 为首项， 1 16 为公比的等比数列， 所以 bn＝8×   1 16 n－1 ＝27 －4n， 所以 logpbn＝logp27 －4n＝(7－4n)logp2， 要使对一切正整数 n 都有 an＝logpbn＋q 成立， 即 4n＋3＝(7－4n)logp2＋q， 即 4n＋3＝－4nlogp2＋7logp2＋q， 所以   4＝－4logp2， 3＝7logp2＋q. 解得   p＝ 1 2 ， q＝10. 所以当 p＝ 1 2 ，q＝10 时，对一切正整数 n 都有 an＝logpbn＋q 成立． 5.3.1 第2课时 等比数列的性质 学习目标：1. 了解等比数列与指数函数的关系；2. 理解等比中项的概念，能用公式求解；3. 掌握判断等比数列的常用方法；4. 能通过等比数列的概念、通项公式了解等比数列的性质，并能灵活运用于解决问题. 知识点 1：通项公式与函数的关系 问题1：在等比数列的通项公式中， an与的关系与以前学过的什么函数有关? 因为 ， 所以如果记 ， 则可以看出的形式类似指数函数，而且 （1）当公比1时， 是常数函数，此时数列{an}是常数列； （2）当公比1时，是与的乘积： ，{an}中的项正负交替， {an}是摆动数列， ，是指数函数， {an}增减性与和有关. 【总结归纳】 1．等比数列与指数函数的异同点 类别 指数函数 等比数列 表达式 (q＞0,且q≠1,n∈N+) 不同点 1 定义域为R； 1 定义域为N+； 2 图象是一条曲线. ② 图象是一系列孤立的点. 相同点 当公比，且时，等比数列与指数函数都是随自变量乘指数型变化. 2.等比数列的单调性：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 (1)当或时，等比数列{an}为递增数列； (2)当或时，等比数列{an}为递减数列. 例 判断这些数列，，是否是等比数列，是否具有单调性？ 解：是等比，递增。不是是等比，递减。是等比，递减。 知识点 2：等比中项的概念 等比中项的概念 1．如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项. 2．根据等比中项与等比数列的定义可知＝，因此G2＝xy．由此可知G＝±． 例如1.若x和100的等比中项是20，求x. 例如2. 2与8的等比中项是 分析：根据= ，代入求解即可. 答案：； 【总结归纳】判断一个数列是不是等比数列的常用方法 (1)定义法：若(q为常数)，则数列为等比数列； (2)等比中项法：若()，则数列为等比数列； (3)通项法：若(k，b为非零常数)，则数列为等比数列； (4)性质法：若数列，为等比数列，k为非零常数，则，，也是等比数列. 注：(1)(2)(3)条前面已证，第(4)条可自行证明，求出各自的公比. 等比中项的性质推广 一般地，如果 {an} 是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则 性质推广：如果 2s = p + q ( s，p，q ∈N +)，则 =apaq，即as是ap与aq的等比中项. 思考：这是充要条件吗？ 题型一　等比中项 例1：在4与之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数. 解：（方法一）依题意，， ， 由等比数列的通项公式，得，解得 当时，插入的3个数分别为 当时，插入的3个数分别为4×()=-2，-2×()=1，1×()=， 因此插入的3个数分别为或. （方法二）因为等比数列共有5项，即，，，，. 又因为所以 即，又因为要与同号，所以 类似地，有而且与同号，因此 当时，； 当=2时，=； 因此插入的3个数分别为或 练习1.1在等比数列{an}中，a3 a5=14，则a1a7等于 . 答案：14 分析：考查等比数列的性质，若s + t = p + q，则as at=ap aq. 练习1.2 已知在等比数列{an}中，a4 a8 = 25，a12= 320. 求 a9. 分析：考查等比数列的性质推广，若2s = p + q，则 = apaq. 解：∵a4a8 = = 25，即 a6 = ±5， 又因为要与同号，所以 ∵ = a6a12 = 5×320=1600， ∴a9 =±40. 题型二　等比数列的性质 　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝ . [解析]　解法一：由等比中项的性质知a1a2a3＝a＝5，a7a8a9＝a＝10，a4a5a6＝a＝(±)3＝±5，因为an>0，所以a4a5a6＝5.故选A． 解法二：因为a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)，即a4a5a6＝±5.因为an>0，所以a4a5a6＝5． [答案]　 5 (2)在等比数列{an}中，an<an＋1，且a2a11＝6，a4＋a9＝5，则＝ . [解析]　∵a2a11＝a4a9＝6，而a4＋a9＝5，∴a4，a9为方程x2－5x＋6＝0的两个根，解得a4＝2，a9＝3或a4＝3，a9＝2，∵an<an＋1，∴a4＝2，a9＝3，∴＝＝＝，故＝＝＝. [答案]　 (3)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，…，且a5a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝ . [解析]　解法一：a5a2n－5＝a＝22n，注意到an>0，所以an＝2n，于是log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.故选C. 解法二：a1a2n－1＝a3a2n－3＝…＝a＝22n， 所以log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1a3…a2n－1)＝log2[(a1a2n－1)(a3a2n－3)…]＝log22n 2＝n2. [答案]　 n2 练习2．1在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝ . 答案　25 解析　运用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq，可得a8a11＝a9a10＝a7a12＝5，所以a8a9a10a11＝25.故选B. 练习2．2已知等比数列{an}中，a1，a101是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a21a51a81的值为 . 答案　64 解析　因为a1，a101是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以由根与系数的关系可得a1a101＝16，a1＋a101＝10，即a1(1＋q100)＝10，所以a1>0，由等比数列的性质知a1a101＝a21a81＝a＝16，因为a51＝a1q50>0，所以a51＝4，所以a21a51a81＝64. 题型三　等比数列与等差数列的综合 例3 已知{an}是递增的等比数列，a1＝1，且2a2，a3，a4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，n∈N＋，求数列{bn}的前n项和Sn. [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意及a1＝1，知q>1. ∵2a2，a3，a4成等差数列， ∴3a3＝a4＋2a2， ∴3q2＝q3＋2q，即q2－3q＋2＝0， 解得q＝2或q＝1(舍去)，∴q＝2， ∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n－1. (2)∵bn＝＝＝，∴Sn＝＝＝－＝－. 练习3 已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a1，a2，a5成等比数列，且S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记Tn＝＋＋…＋，求证：Tn<. 解　(1)因为a1，a2，a5成等比数列，S6＝36， 所以解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (2)证明：因为＝ ＝， 所以Tn＝＝. 因为n∈N＋，所以>0， 所以1－<1， 所以Tn＝<. 随堂检测 1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝ ． 答案　5 解析　∵a3a11＝16，∴a＝16.又等比数列{an}的各项都是正数，∴a7＝4.又a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5. 2．已知m，2m＋2，3m＋3是等比数列{an}的前3项，则a4＝ ． 答案　－ 解析　由题意，知(2m＋2)2＝m(3m＋3)，解得m＝－1(舍去)或m＝－4，∴公比q＝，∴a4＝a1q3＝－4×＝－. 3．(多选)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝ ． 答案　或 解析　因为a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以或因为＝q10＝，所以＝或＝. 4．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝________． 答案　－ 解析　∵＋＝，＋＝，又a8a9＝a7a10，∴＋＋＋＝＝＝－. 5．三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1，3，9就成为等比数列，求这三个数． 解　设所求三个数为a－d，a，a＋d， 则由题设得 解得或 又a－d，a，a＋d为正数， ∴不符合题意，舍去，∴ ∴所求的三个数为3，5，7. 6．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1. (1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式； (2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程＋＋…＋＝的n的值． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1，由S1＋a1＝1，得a1＝.当n≥2时，∵Sn＝1－an，∴Sn－1＝1－an－1，∴Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)， ∴an＝an－1， 故{an}是以为首项，为公比的等比数列， 故an＝×＝2×. (2)∵1－Sn＝an＝， ∴bn＝log3(1－Sn＋1)＝log3＝－n－1， ∴＝＝－， ∴＋＋…＋＝－(n∈N＋)， 解方程－＝，得n＝100. 7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋5n，数列{bn}满足b1＝8，bn＝16bn＋1. (1)证明：数列{an}是等差数列； (2)是否存在常数p，q，使得对一切正整数n都有an＝logpbn＋q成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，说明理由． 解　(1)证明：因为数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋5n， 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2＋5(n－1)， 所以an＝Sn－Sn－1＝2n2＋5n－2(n－1)2－5(n－1)＝4n＋3， 当n＝1时，a1＝S1＝2＋5＝7，满足a1＝4×1＋3， 所以数列{an}的通项公式为an＝4n＋3，n∈N＋， 所以an＋1－an＝4(n＋1)＋3－4n－3＝4，n∈N＋， 所以数列{an}是首项为7，公差为4的等差数列． (2)因为bn＝16bn＋1，所以＝， 所以数列{bn}是以8为首项，为公比的等比数列， 所以bn＝8×＝27－4n， 所以logpbn＝logp27－4n＝(7－4n)logp2， 要使对一切正整数n都有an＝logpbn＋q成立， 即4n＋3＝(7－4n)logp2＋q， 即4n＋3＝－4nlogp2＋7logp2＋q， 所以 解得 所以当p＝，q＝10时，对一切正整数n都有an＝logpbn＋q成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$