5.3.1 第1课时 等比数列的定义学案-2024-2025学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

5.3.1 第 1 课时 等比数列的定义 学习目标：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与 指数函数的关系． 学习重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 学习难点：等比数列通项公式的推导过程． 阅读教材 29-30页，完成下面内容 问题 1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 1，2，4，8，16，32，… ① 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，… ② 1000 × 1.03，1000 × 1.032，…，1000 × 1.035. ③ 知识点 1：等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数 q，即 an＋1 an ＝q 恒成立，则称{an}为等比数列，其中 q 称为等比数列的公比． 例 1.判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）0，1，2，4，8； （3）4，– 8，16，– 32，64，– 128. （4）常数列 a，a，…，a，…； 解：（1）不是；∵ 9 3 ≠ 15 9 ，即后一项与前一项的比不等于同一个常数； （2）不是；∵ 1 0 没有意义，等比数列每一项均不能为0； （3）是； −8 4 = 16 −8 = 16 −32 = 64 −32 = −128 64 =– 2 = 𝑞. （4）不一定是等比数列，当常数列的各项都为 0 时，它不是等比数列，当常数列的各项不 为 0时，是等比数列； 知识点 2：等比数列的通项公式 一般地,若等比数列{an}的首项为 a1,公比为𝑞,则通项公式为：𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1(𝑞 ≠ 0 ,𝑛 ∈ 𝑁+) 知三求一：等比数列的通项公式𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1中共含有四个基本元素，即𝑎1，𝑞，𝑛，𝑎𝑛，如果 知道其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量. 例 2：已知等比数列{an} 的首项为 a1 =27，公比𝑞 = 1 3 . (1)求 a8 ； (2)判断 18 是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：(1)由题意知，𝑎1 = 27，𝑞 = 1 3 ，𝑛 = 8， 根据等比数列的通项公式 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1， 可得𝑎8 = 27 × ( 1 3 ) 8−1 = 1 81 ， (2)设 18是数列中的第 𝑛项，𝑎1 = 27，𝑞 = 1 3 ，𝑎𝑛 = 18， 根据等比数列的通项公式 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1， 可得 18 = 27 × ( 1 3 ) 𝑛−1 32−𝑛 = 2， 因为这个方程无正整数解，所以 18不是数列中的项. 练习 2. 在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n. 解：(2)解法一：由题意，知   a2＋a5＝a1q＋a1q 4＝18， ③ a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9， ④ 由④÷③，得 q＝ 1 2 ，从而 a1＝32. 又 an＝1，所以 32×   1 2 n－1 ＝1，即 26－n＝20，所以 n＝6. 解法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以 q＝ 1 2 . 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 n＝6. 例 3：已知等比数列{an}的公比为𝑞，求证：对于任意的正整数𝑚, 𝑛 ，有 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑞 𝑛−𝑚 解：设等比数列的首项为𝑎1,则 { 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞 𝑛−1 𝑎𝑚 = 𝑎1𝑞 𝑚−1， 两式相除，整理可得 𝑎𝑛 𝑎𝑚 = 𝑞𝑛−𝑚， 即𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑞 𝑛−𝑚 小结：已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公比，即可求出其通项公式. 练习 3(1)：已知等比数列{an}中，𝑎3 = 9，𝑎6 = −243，求𝑎8. 解：（方法一）设等比数列的首项为𝑎1，公比为𝑞，则 { 𝑎3 = 𝑎1𝑞 3−1 𝑎6 = 𝑎1𝑞 6−1)， { 9 = 𝑎1𝑞 2 −243 = 𝑎1𝑞 5) 解得𝑎1 = 1，𝑞 = −3，因此𝑎8 = 1 × (−3) 8−1 = −2187. （方法二）设等比数列的公比为𝑞 根据推导公式 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑞 𝑛−𝑚 所以 𝑎6 = 𝑎3𝑞 6−3 将已知条件代入，可得 𝑞 = −3， 又𝑎8 = 𝑎6𝑞 8−6，解得𝑎8 = −2187. 练习 3(2):在等比数列{an}中，𝒂𝟓 = 𝟑𝟑，𝒂𝟖 = 𝟏𝟏 𝟗 ，则该数列的第 10 项是多少？请用两种 方法求解. 答案： 11 81 . 知识点 3：等比数列的判定与证明 例 4：(1)已知数列{an}的通项公式为𝒂𝒏 = 3 × 2 𝑛，判断这个数列是否是等比数列，如果 是求出公比，如果不是说明理由. 解：因为 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 3 × 2𝑛+1 3 × 2𝑛 = 2 所以数列{an}是等比数列,且公比为 2. (2) 已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3. (1)求证:{an+3}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:由 an+1=2an+3,得 an+1+3=2an+6=2(an+3), ∴ 𝑎𝑛+1+3 𝑎𝑛+3 =2. ∴{an+3}是以 a1+3=5 为首项,以 2 为公比的等比数列. (2)解:由(1)知 an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3. 方法归纳：1．等比数列的判定或证明 1．数列{an}是等比数列的充要条件是𝑎𝑛 = k𝑞 𝑛,其中k, q都是不为0的常数.(判定) 2．利用定义： an＋1 an ＝q(q 为与 n 无关的常数，且不等于 0). 3．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明． 练习 4(1)已知数列{an}满足 a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且 n∈N).求证：数列      1 an － 1 2 是 等比数列． 证明：∵an＋an－1＝anan－1，∴ 1 an－1 ＋ 1 an ＝1， ∴ 1 an ＝－ 1 an－1 ＋1，∴ 1 an － 1 2 ＝－      1 an－1 － 1 2 (n≥2)， ∴      1 an － 1 2 是以 1 a1 － 1 2 ＝－ 1 6 为首项，－1 为公比的等比数列． (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，S1＝2a1－3，且 an＝2an－1－2(n≥2). ①求数列{an}的通项公式； ②记 bn＝log2(an＋1－2)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 ①由 S1＝a1＝2a1－3，解得 a1＝3. 因为 an＝2an－1－2， 所以 an－2＝2(an－1－2)(n≥2). 又 a1－2＝1， 所以数列{an－2}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 所以 an－2＝1×2n－1＝2n－1， 所以 an＝2n－1＋2. ②由①得 an－2＝2n－1，所以 an＋1－2＝2 n， 所以 bn＝log2(an＋1－2)＝n， 所以 Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝ n（1＋n） 2 ＝ n2＋n 2 . [备选]在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ 5 2 － 1 an ，bn＝ 1 an－2 ，求数列{bn}的通项公式． [解] an＋1－2＝ 5 2 － 1 an －2＝ an－2 2an ， 1 an＋1－2 ＝ 2an an－2 ＝ 4 an－2 ＋2， 即 bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋ 2 3 ＝4   bn＋ 2 3 . 又 a1＝1，故 b1＝ 1 a1－2 ＝－1， 所以       bn＋ 2 3 是首项为－ 1 3 ，公比为 4 的等比数列， 所以 bn＋ 2 3 ＝－ 1 3 ×4n－1，bn＝－ 4n－1 3 － 2 3 . 【达标检测】 1．下列各组数成等比数列的是( ) ①1，－2，4，－8；②－ 2，2，－2 2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 答案 C 解析 由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当 x＝0 时，不是等比数列． 2．(多选)已知数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2成等差数列，则 q 的值可 能为( ) A． 1 2 B．1 C．－ 1 2 D．－2 答案 BC 解析 由题意，可知 2a3＝a1＋a2，即 2a1q2＝a1＋a1q.又 a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1 或 － 1 2 .故选 BC. 3．若等比数列{an}满足 anan＋1＝16 n，则公比为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B 解析 由 anan＋1＝16 n，知 a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得 q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2 ＝a21q＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 4．等比数列中，首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比为 2 3 ，则项数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 答案 B 解析 等比数列中的第 2 项为 9 8 × 2 3 ＝ 3 4 ，第 3 项为 3 4 × 2 3 ＝ 1 2 ，第 4 项为 1 2 × 2 3 ＝ 1 3 ，故此等比数 列的项数为 4. 5. 2 8 是等比数列 4 2，4，2 2的第________项． 答案 11 解析 ∵公比 q＝ 4 4 2 ＝ 1 2 ，由通项公式，得 2 8 ＝4 2×    1 2 n－1 ，∴    1 2 n－1 ＝ 1 32 ＝ 1 （ 2）10 ＝    1 2 10 ，∴n－1＝10，n＝11. 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为 . 答案 an={ 1,𝑛 = 1, 3 × 4𝑛-2,𝑛 ≥ 2 解析 ∵an+1=3Sn,① ∴an=3Sn-1(n≥2).② ①-②,得 an+1-an=3an,即 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =4(n≥2). 又 a2=3,a1=1,∴ 𝑎2 𝑎1 =3, ∴an=3×4n-2(n≥2). 当 n=1 时,3×41-2= 3 4 ≠1, ∴an={ 1,𝑛 = 1, 3 × 4𝑛-2,𝑛 ≥ 2. 7．已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝ an n . (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解 (1)由条件可得 an＋1＝ 2（n＋1） n an. 将 n＝1 代入，得 a2＝4a1， 而 a1＝1，所以 a2＝4. 将 n＝2 代入，得 a3＝3a2，所以 a3＝12. 从而 b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列．理由如下： 由条件可得 an＋1 n＋1 ＝ 2an n ，即 bn＋1＝2bn，又因为 b1＝1， 所以数列{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列． (3)由(2)可得， an n ＝2n－1，所以 an＝n×2n－1. 5.3.1 第 1 课时 等比数列的定义 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2025＝8a2022，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 答案 A 解析 ∵a2025＝8a2022，∴q3＝ a2025 a2022 ＝8，∴q＝2. 2．“ a ，b ，c成等比数列”是“ 2a ， 2b ， 2c 成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 详解 解：若a ，b ，c成等比数列，则 2b ac= ，此时 ( ) 22 2 4a c ac b= = ，则 2a ， 2b ， 2c 成等比数列，即充分性成立，反之当 1a = ， 1b = ， 1c = − 时满足 2a ， 2b ， 2c 成 等比数列，但a ，b ，c不成等比数列，即必要性不成立，即“ a ，b ，c成等比数列”是 “ 2a ， 2b ， 2c 成等比数列”的充分不必要条件，故选：A. 3．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比 q＝( ) A． 3 2 B． 2 5 2 C． 5－1 2 D． 1＋ 5 2 答案 C 解析 由题意有 an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，∵an≠0，∴q2＋q－1＝0，∴q＝ －1± 5 2 ， 又 an>0，∴q>0，∴q＝ 5－1 2 . 4．设 a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比 q 为 2，则 2a1＋a2 2a3＋a4 的值为( ) A． 1 4 B． 1 2 C． 1 8 D．1 答案 A 解析 ∵a1，a2，a3，a4成等比数列，∴ 2a1＋a2 2a3＋a4 ＝ 2a1＋a2 2a1q2＋a2q2 ＝ 1 q2 ＝ 1 4 . 5．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝λ·2n－2，则 λ＝( ) A．4 B．3 C．2 D．1 答案 C 解析 当 n＝1 时，a1＝S1＝2λ－2，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(λ·2 n－2)－(λ·2n－1－2)＝ λ·2n－1，故当 n≥2 时，an＋1＝λ·2 n＝2·λ·2n－1＝2an，因为数列{an}为等比数列，易知该数列的 公比为 2，则 a2＝2a1，即 2λ＝2(2λ－2)，解得 λ＝2.故选 C. 6．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是( ) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 答案 AC 解析 对于A，由 an＋1＝4an－3n＋1，得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又 a1－1＝1≠0， 所以 an－n≠0，所以 an＋1－（n＋1） an－n ＝4，所以数列{an－n}是首项为 1，公比为 4 的等比数 列，故 A 正确；对于 B，由 A 项可知 an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－1＋n， 故 B 错误；对于 C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列， 故 C 正确；对于 D，log4an＝log4(4n－1＋n)不是等比数列，故 D 错误．故选 AC. 二、填空题 7．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝________． 答案 64 解析 设等比数列{an}的公比为 q，则 a2＋a3 a1＋a2 ＝q＝2.又 a1＋a2＝3，∴a1＝1.∴a7＝1×26 ＝64. 8．设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an的最大值为________． 答案 64 解析 设等比数列{an}的公比为 q，由    a1＋a3＝10， a2＋a4＝5， 得    a1(1＋q2)＝10， a1q(1＋q2)＝5， 解得    a1＝8， q＝ 1 2 . 所以 a1a2…an＝an1q1＋2＋…＋(n－1)＝8n×   1 2 n(n－1) 2 ＝2 － 1 2 n2＋ 7 2 n，于是当 n＝3 或 4 时，a1a2…an取 得最大值 26＝64. 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数 n，3an＋1－an＝0，bn是 an与 an＋1的等 差中项，则数列{bn}的通项公式为 bn＝________． 答案 4 3 ×   1 3 n－1 解析 由题意可得 an＋1 an ＝ 1 3 ，又 a1＝2，∴数列{an}是等比数列，公比为 1 3 ，∴an＝2×   1 3 n－1 ，∴bn＝ 1 2 (an＋an＋1)＝ 1 2      2×   1 3 n－1 ＋2×   1 3 n ＝ 4 3 ×   1 3 n－1 . 三、解答题 10．在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝2，a5＝8，求 a7； (2)已知 a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求数列{an}的通项公式． 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 q2＝ a5 a3 ＝ 8 2 ＝4， 所以 a7＝a5q2＝8×4＝32. (2)设等比数列{an}的公比为 q，a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15， 所以 q2－1＝3，所以 q2＝4， 所以 a1＝1，q＝±2， 当 q＝2 时，an＝a1qn－1＝2n－1； 当 q＝－2 时，an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 11．已知数列{an}满足 a1＝ 7 3 ，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋). (1)求 a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解 (1)由已知得 a2＝3a1－4＋2＝3× 7 3 －4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. (2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即 an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n). ∵a1－2＝ 7 3 －2＝ 1 3 ，∴an－2n≠0，n∈N＋. ∴ an＋1－2（n＋1） an－2n ＝3， ∴数列{an－2n}是首项为 1 3 ，公比为 3 的等比数列． ∴an－2n＝ 1 3 ×3n－1，∴an＝3n－2＋2n. 12．设关于 x 的二次方程 anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两个根 α 和 β，且满足 6α ＋2αβ＋6β＝3. (1)试用 an表示 an＋1； (2)求证：当 a1≠ 2 3 时，数列       an－ 2 3 是等比数列； (3)当 a1＝ 7 6 时，求数列{an}的通项公式． 解 (1)根据根与系数的关系，得   α＋β＝ an＋1 an ， αβ＝－ 1 an ． 代入题设条件 6α＋2αβ＋6β＝6(α＋β)＋2αβ＝3， 得 6an＋1 an － 2 an ＝3，所以 an＋1＝ 1 2 an＋ 1 3 . (2)证明：因为 an＋1＝ 1 2 an＋ 1 3 ， 所以 an＋1－ 2 3 ＝ 1 2   an－ 2 3 . 因为 a1≠ 2 3 ，所以 a1－ 2 3 ≠0， 所以数列       an－ 2 3 是以 1 2 为公比的等比数列． (3)当 a1＝ 7 6 时，a1－ 2 3 ＝ 1 2 ， 所以数列       an－ 2 3 是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列， 所以 an－ 2 3 ＝ 1 2 ×   1 2 n－1 ＝   1 2 n ， 所以 an＝ 2 3 ＋   1 2 n ，n∈N＋， 即数列{an}的通项公式为 an＝ 2 3 ＋   1 2 n ，n∈N＋. 1 5.3.1 第 1 课时 等比数列的定义 学习目标：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与 指数函数的关系． 学习重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 学习难点：等比数列通项公式的推导过程． 【自主学习】 阅读教材 29-30页，完成知识点 1，知识点 2.（分割线之前） 问题 1：以下的数列中请同学们结合递推公式找出共同规律. 1，2，4，8，16，32，… ① 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，… ② 1000 × 1.03，1000 × 1.032，…，1000 × 1.035. ③ 知识点 1：等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第 2 项起，每一项与它的前一项之比都等于 常数 q，即 an＋1 an ＝ 恒成立，则称{an}为 数列，其中 q 称为等比数列的 ． 例 1.判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）0，1，2，4，8； （3）4，– 8，16，– 32，64，– 128. （4）常数列 a，a，…，a，…； 知识点 2：等比数列的通项公式 一般地,若等比数列{an}的首项为 a1,公比为𝑞,则通项公式为：𝑎𝑛 = (𝑞 ≠ 0 ,𝑛 ∈ 𝑁+) 思考：确定一个等比数列需要几个条件？ 例 2：已知等比数列{an} 的首项为 a1 =27，公比𝑞 = 1 3 . (1)求 a8 ；(2)判断 18 是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 练习 2. 在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n. 例 3：已知等比数列{an}的公比为𝑞，求证：对于任意的正整数𝑚, 𝑛 ，有𝑎𝑛 = 𝑎𝑚𝑞 𝑛−𝑚. 总结：已知数列的 以及 ，即可求出其通项公式. 2 练习 3(1)：已知等比数列{an}中，𝑎3 = 9，𝑎6 = −243，求𝑎8. 解：（方法一）设等比数列的首项为𝑎1，公比为𝑞，则 解得𝑎1 = ，𝑞 = ，因此𝑎8 = = . （方法二）设等比数列的公比为𝑞 将已知条件代入，可得𝑞 = −3， 所以𝑎8 = = . 练习 3(2) 在等比数列{an}中，𝑎5 = 33，𝑎8 = 11 9 ，则该数列的第 10 项是多少？ 知识点 3：等比数列的判定与证明 例 4：(1)已知数列{an}的通项公式为𝒂𝒏 = 3 × 2 𝑛，判断这个数列是否是等比数列，如果是求 出公比，如果不是说明理由. (2)已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3. ①求证:{an+3}是等比数列. ②求数列{an}的通项公式. 方法归纳：等比数列的判定或证明 1．数列{an}是等比数列的充要条件 ,其中k, q都是不为0的常数.(判定) 2．利用定义： an＋1 an ＝q(q 为与 n 无关的常数，且不等于 0). 3．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明． 3 练习 4(1)已知数列{an}满足 a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且 n∈N).求证：数列      1 an － 1 2 是等比 数列． (2)已知数列{an}的首项 a1＝3 且满足 an＝2an－1－2(n≥2). ①求数列{an}的通项公式； ②记 bn＝log2(an＋1－2)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [选做]在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ 5 2 － 1 an ，bn＝ 1 an－2 ，求数列{bn}的通项公式． 4 【达标检测】 1．(多选)下列各组数成等比数列的是( ) A．1，－2，4，－8； B．－ 2，2，－2 2，4； C．x，x2，x3，x4； D．a－1，a－2，a－3，a－4. 2．(多选)已知数列{an}是公比为 q 的等比数列，且 a1，a3，a2成等差数列，则 q 的值可 能为( ) A． 1 2 B．1 C．－ 1 2 D．－2 3．若等比数列{an}满足 anan＋1＝16 n，则公比为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 4．等比数列中，首项为 9 8 ，末项为 1 3 ，公比为 2 3 ，则项数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 5. 2 8 是等比数列 4 2，4，2 2的第________项． 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为 . 7．已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝ an n . (1)求 b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 5 5.3.1 第 1 课时 等比数列的定义 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2025＝8a2022，则公比 q 的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．8 2．“ a，b ，c成等比数列”是“ 2a ， 2b ， 2c 成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比 q＝( ) A． 3 2 B． 2 5 2 C． 5－1 2 D． 1＋ 5 2 4．设 a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比 q 为 2，则 2a1＋a2 2a3＋a4 的值为( ) A． 1 4 B． 1 2 C． 1 8 D．1 5．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝λ·2n－2，则 λ＝( ) A．4 B．3 C．2 D．1 6．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是( ) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 二、填空题 7．已知等比数列{an}满足 a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则 a7＝________． 8．设等比数列{an}满足 a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则 a1a2…an的最大值为________． 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数 n，3an＋1－an＝0，bn是 an与 an＋1的等 差中项，则数列{bn}的通项公式为 bn＝________． 三、解答题 10．在等比数列{an}中， (1)已知 a3＝2，a5＝8，求 a7；(2)已知 a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求数列{an}的通项公式． 6 11．已知数列{an}满足 a1＝ 7 3 ，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋). (1)求 a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 12．设关于 x 的二次方程 anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两个根 α 和 β，且满足 6α＋2αβ＋6β＝3. (1)试用 an表示 an＋1； (2)求证：当 a1≠ 2 3 时，数列       an－ 2 3 是等比数列； (3)当 a1＝ 7 6 时，求数列{an}的通项公式． 5.3.1　第1课时　等比数列的定义 学习目标：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系． 学习重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 学习难点：等比数列通项公式的推导过程． 【自主学习】 阅读教材29-30页，完成知识点1，知识点2.（分割线之前） 问题1：以下的数列中请同学们结合递推公式找出共同规律. ① ② ③ 知识点 1：等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于 常数q，即＝ 恒成立，则称{an}为 数列，其中q称为等比数列的 ． 例1.判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）0，1，2，4，8； （3），，，，，. （4）常数列a，a，…，a，…； 知识点 2：等比数列的通项公式 一般地,若等比数列{an}的首项为a1,公比为,则通项公式为： (,) 思考：确定一个等比数列需要几个条件？ 例 2：已知等比数列{an} 的首项为a1 =27，公比. (1)求a8 ；(2)判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 练习2. 在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 例 3：已知等比数列{an}的公比为，求证：对于任意的正整数有. 总结：已知数列的 以及 ，即可求出其通项公式. 练习3(1)：已知等比数列{an}中，，，求. 解：（方法一）设等比数列的首项为，公比为，则 解得 ， ，因此 （方法二）设等比数列的公比为 将已知条件代入，可得， 所以 练习3(2) 在等比数列{an}中，，，则该数列的第10项是多少？ 知识点 3：等比数列的判定与证明 例4：(1)已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由. (2)已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3. ①求证:{an+3}是等比数列. ②求数列{an}的通项公式. 方法归纳：等比数列的判定或证明 1．数列{an}是等比数列的充要条件 ,其中都是不为的常数.(判定) 2．利用定义：＝q(q为与n无关的常数，且不等于0). 3．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明． 练习4(1)已知数列{an}满足a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且n∈N).求证：数列是等比数列． (2)已知数列{an}的首项a1＝3且满足an＝2an－1－2(n≥2). ①求数列{an}的通项公式； ②记bn＝log2(an＋1－2)，求数列{bn}的前n项和Tn. [选做]在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式． 【达标检测】 1．(多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2，4，－8； B．－，2，－2，4； C．x，x2，x3，x4； D．a－1，a－2，a－3，a－4. 2．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q的值可能为(　　) A． B．1 C．－ D．－2 3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 4．等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 5.是等比数列4，4，2的第________项． 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为　　　　　.  7．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 5.3.1　第1课时　等比数列的定义 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2025＝8a2022，则公比q的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 2．“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比q＝(　　) A． B． C． D． 4．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比q为2，则的值为(　　) A． B． C． D．1 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·2n－2，则λ＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 6．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是(　　) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 二、填空题 7．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________． 8．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________． 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 三、解答题 10．在等比数列{an}中， (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7；(2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求数列{an}的通项公式． 11．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋). (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 12．设关于x的二次方程anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两个根α和β，且满足 6α＋2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：当a1≠时，数列是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3.1　第1课时　等比数列的定义 学习目标：1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.体会等比数列与指数函数的关系． 学习重点：1.等比数列的概念.2.等比数列的通项公式． 学习难点：等比数列通项公式的推导过程． 阅读教材29-30页，完成下面内容 问题1：以下情境中的数列请同学们结合递推公式找出共同规律. 知识点 1：等比数列的概念 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比． 例1.判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）0，1，2，4，8； （3），，，，，. （4）常数列a，a，…，a，…； 解：（1）不是；，即后一项与前一项的比不等于同一个常数； （2）不是；没有意义，等比数列每一项均不能为； （3）是； （4）不一定是等比数列，当常数列的各项都为0时，它不是等比数列，当常数列的各项不为0时，是等比数列； 知识点 2：等比数列的通项公式 一般地,若等比数列{an}的首项为a1,公比为,则通项公式为：(,) 知三求一：等比数列的通项公式中共含有四个基本元素，即，，，，如果知道其中任意三个量,就可由通项公式求出第四个量. 例 2：已知等比数列{an} 的首项为a1 =27，公比. (1)求a8 ； (2)判断18是不是这个数列中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，说明理由. 解：(1)由题意知，，， 根据等比数列的通项公式 ， 可得 ， (2)设18是数列中的第 项，，， 根据等比数列的通项公式 ， 可得 ， 因为这个方程无正整数解，所以18不是数列中的项. 练习2. 在等比数列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 解：(2)解法一：由题意，知 由④÷③，得q＝，从而a1＝32. 又an＝1，所以32×＝1，即26－n＝20，所以n＝6. 解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1，知n＝6. 例 3：已知等比数列{an}的公比为，求证：对于任意的正整数有 解：设等比数列的首项为,则 ， 两式相除，整理可得 ， 即 小结：已知数列的任意一项（不一定是首项）以及公比，即可求出其通项公式. 练习3(1)：已知等比数列{an}中，，，求. 解：（方法一）设等比数列的首项为，公比为，则 ， 解得 ，，因此 （方法二）设等比数列的公比为 根据推导公式 所以 将已知条件代入，可得 ， 又，解得. 练习3(2):在等比数列{an}中，，，则该数列的第10项是多少？请用两种方法求解. 答案：. 知识点 3：等比数列的判定与证明 例4：(1)已知数列{an}的通项公式为判断这个数列是否是等比数列，如果是求出公比，如果不是说明理由. 解：因为 所以数列{an}是等比数列,且公比为2. (2) 已知数列{an},a1=2,an+1=2an+3. (1)求证:{an+3}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 解：(1)证明:由an+1=2an+3,得an+1+3=2an+6=2(an+3), ∴ =2. ∴{an+3}是以a1+3=5为首项,以2为公比的等比数列. (2)解:由(1)知an+3=5·2n-1,∴an=5·2n-1-3. 方法归纳：1．等比数列的判定或证明 1．数列{an}是等比数列的充要条件是其中都是不为的常数.(判定) 2．利用定义：＝q(q为与n无关的常数，且不等于0). 3．如果证明数列不是等比数列，可以选择通过具有三个连续项不成等比数列来证明． 练习4(1)已知数列{an}满足a1＝3，an＋an－1＝anan－1(n≥2，且n∈N).求证：数列是等比数列． 证明：∵an＋an－1＝anan－1，∴＋＝1， ∴＝－＋1，∴－＝－(n≥2)， ∴是以－＝－为首项，－1为公比的等比数列． (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，S1＝2a1－3，且an＝2an－1－2(n≥2). ①求数列{an}的通项公式； ②记bn＝log2(an＋1－2)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　①由S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3. 因为an＝2an－1－2， 所以an－2＝2(an－1－2)(n≥2). 又a1－2＝1， 所以数列{an－2}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an－2＝1×2n－1＝2n－1， 所以an＝2n－1＋2. ②由①得an－2＝2n－1，所以an＋1－2＝2n， 所以bn＝log2(an＋1－2)＝n， 所以Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝＝. [备选]在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式． [解]　an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2， 即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4. 又a1＝1，故b1＝＝－1， 所以是首项为－，公比为4的等比数列， 所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－. 【达标检测】 1．下列各组数成等比数列的是(　　) ①1，－2，4，－8；②－，2，－2，4；③x，x2，x3，x4；④a－1，a－2，a－3，a－4. A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 答案　C 解析　由等比数列的定义，知①②④是等比数列；③中当x＝0时，不是等比数列． 2．(多选)已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列，则q的值可能为(　　) A． B．1 C．－ D．－2 答案　BC 解析　由题意，可知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2＝1＋q，∴q＝1或－.故选BC. 3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　B 解析　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.∵a1a2＝aq＝16＞0，∴q＞0，∴q＝4. 4．等比数列中，首项为，末项为，公比为，则项数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　B 解析　等比数列中的第2项为×＝，第3项为×＝，第4项为×＝，故此等比数列的项数为4. 5.是等比数列4，4，2的第________项． 答案　11 解析　∵公比q＝＝，由通项公式，得＝4×，∴＝＝＝，∴n－1＝10，n＝11. 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则数列{an}的通项公式为　　　　　.  答案 an= 解析 ∵an+1=3Sn,① ∴an=3Sn-1(n≥2).② ①-②,得an+1-an=3an,即=4(n≥2). 又a2=3,a1=1,∴=3, ∴an=3×4n-2(n≥2). 当n=1时,3×41-2=≠1, ∴an= 7．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解　(1)由条件可得an＋1＝an. 将n＝1代入，得a2＝4a1， 而a1＝1，所以a2＝4. 将n＝2代入，得a3＝3a2，所以a3＝12. 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下： 由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又因为b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得，＝2n－1，所以an＝n×2n－1. 5.3.1　第1课时　等比数列的定义 一、选择题 1．在等比数列{an}中，a2025＝8a2022，则公比q的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．8 答案　A 解析　∵a2025＝8a2022，∴q3＝＝8，∴q＝2. 2．“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 详解 解：若，，成等比数列，则，此时，则，，成等比数列，即充分性成立，反之当，，时满足，，成等比数列，但，，不成等比数列，即必要性不成立，即“，，成等比数列”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，故选：A. 3．一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面相邻两项之和，则公比q＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　由题意有an＝an＋1＋an＋2＝anq＋anq2，∵an≠0，∴q2＋q－1＝0，∴q＝，又an>0，∴q>0，∴q＝. 4．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比q为2，则的值为(　　) A． B． C． D．1 答案　A 解析　∵a1，a2，a3，a4成等比数列，∴＝＝＝. 5．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝λ·2n－2，则λ＝(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　C 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2λ－2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(λ·2n－2)－(λ·2n－1－2)＝λ·2n－1，故当n≥2时，an＋1＝λ·2n＝2·λ·2n－1＝2an，因为数列{an}为等比数列，易知该数列的公比为2，则a2＝2a1，即2λ＝2(2λ－2)，解得λ＝2.故选C. 6．(多选)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N＋，则下列说法正确的是(　　) A．{an－n}是等比数列 B．an＝4n－1 C．{log2(an－n)}是等差数列 D．{log4an}是等比数列 答案　AC 解析　对于A，由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N＋.又a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，故A正确；对于B，由A项可知an－n＝4n－1，所以数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n，故B错误；对于C，log2(an－n)＝log24n－1＝log222(n－1)＝2n－2，所以{log2(an－n)}是等差数列，故C正确；对于D，log4an＝log4(4n－1＋n)不是等比数列，故D错误．故选AC. 二、填空题 7．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝________． 答案　64 解析　设等比数列{an}的公比为q，则＝q＝2.又a1＋a2＝3，∴a1＝1.∴a7＝1×26＝64. 8．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________． 答案　64 解析　设等比数列{an}的公比为q，由 得解得 所以a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝8n×＝2－n2＋n，于是当n＝3或4时，a1a2…an取得最大值26＝64. 9．在数列{an}，{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则数列{bn}的通项公式为bn＝________． 答案　× 解析　由题意可得＝，又a1＝2，∴数列{an}是等比数列，公比为，∴an＝2×，∴bn＝(an＋an＋1)＝＝×. 三、解答题 10．在等比数列{an}中， (1)已知a3＝2，a5＝8，求a7； (2)已知a3＋a1＝5，a5－a1＝15，求数列{an}的通项公式． 解　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为q2＝＝＝4， 所以a7＝a5q2＝8×4＝32. (2)设等比数列{an}的公比为q，a3＋a1＝a1(q2＋1)＝5，a5－a1＝a1(q4－1)＝15， 所以q2－1＝3，所以q2＝4， 所以a1＝1，q＝±2， 当q＝2时，an＝a1qn－1＝2n－1； 当q＝－2时，an＝a1qn－1＝(－2)n－1. 11．已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝3an－4n＋2(n∈N＋). (1)求a2，a3的值； (2)证明数列{an－2n}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式． 解　(1)由已知得a2＝3a1－4＋2＝3×－4＋2＝5，a3＝3a2－4×2＋2＝3×5－8＋2＝9. (2)∵an＋1＝3an－4n＋2，∴an＋1－2n－2＝3an－6n，即an＋1－2(n＋1)＝3(an－2n). ∵a1－2＝－2＝，∴an－2n≠0，n∈N＋. ∴＝3， ∴数列{an－2n}是首项为，公比为3的等比数列． ∴an－2n＝×3n－1，∴an＝3n－2＋2n. 12．设关于x的二次方程anx2－an＋1x－1＝0(n＝1，2，3，…)有两个根α和β，且满足6α＋2αβ＋6β＝3. (1)试用an表示an＋1； (2)求证：当a1≠时，数列是等比数列； (3)当a1＝时，求数列{an}的通项公式． 解　(1)根据根与系数的关系，得 代入题设条件6α＋2αβ＋6β＝6(α＋β)＋2αβ＝3， 得－＝3，所以an＋1＝an＋. (2)证明：因为an＋1＝an＋， 所以an＋1－＝. 因为a1≠，所以a1－≠0， 所以数列是以为公比的等比数列． (3)当a1＝时，a1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以an－＝×＝， 所以an＝＋，n∈N＋， 即数列{an}的通项公式为an＝＋，n∈N＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$