第一章《直角三角形的边角关系-复习与测试》学案2024-2025学年北师大版数学九年级下学期

第一章 复习与测试 【学习目标】 1.会构建本章各节的知识导图，并在知识导图引导下回顾各章节内容； 2.会根据定义通过构造直角三角形求一个锐角的三角函数值； 3.会进行含特殊三角函数的代数式计算； 4.会解答较综合的实际测量问题. 【知识回顾】 1.锐角三角函数的概念： (1)三角函数的定义 = = = (2)三角函数书写： sinA,cosA,tanA都是一个完整的符号，单独的sin,cos,tan是没有意义的，当角是用一个字母表示时，“∠”一般省略不写. (3)求三角函数值的方法： ①求三角函数值的前提：在直角三角形中(没有直角时，需要作高构造 ，或把角转移到直角三角形中)； ②求三角函数值的条件：知道三边，或把三边用同一个字母表示出来，或把角转移到条件充分的直角三角形中； ③按定义求三角函数值：把三边的值代入三角函数定义式求值. (4)三角函数的作用：可替代三角形的相似转移线段之比. 2.锐角三角函数的性质： (1)同角的三角函数关系： ①勾股关系：sin²A+cos²A= ； ②倒数关系：tanA·cotA= ； ③求商关系：tanA= ； (2)余角的三角函数关系 ①cos(90°－∠A)= ; ② =sin(90° －∠A); ③ =cot(90°－∠A); ④tan(90°－∠A)= . (3)锐角三角函数值的取值范围：0＜sinA ＜1,0＜ cosA＜1,tan A＞0,cotA＞0. 3.如何解直角三角形： (1)解直角三角形的方法： ①求边：已知两边求第三边，用 ；已知一边一角，用 定义. ②求角：已知一个锐角求另一个锐角，用两锐角 ；已知两边求角，用 定义. ③设未知数：以上方法都不行时，先设最短边为未知 数，再建立方程求解。 (2)解非直角三角形： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解。 4.本章各节知识导图梳理： 【新知精析】 ★题型一 锐角三角函数及解直角三角形 例1.(1)计算： (2)在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，tanB=，试判断△ABC的形状并证明. 针对训练： 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为(　　) A． B． C． D． 2.如图，E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是 . 3.在△ABC中，，求∠C. ★题型二 解直角三角形 例2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解直角三角形： （1）c＝20，∠A＝45°； （2）a＝15，b＝15． 针对训练： 4．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，求AB的长． 4. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求： （1）AB的长； （2）四边形ABCD的面积． ★题型三 解直角三角形的实际应用 例2.成都电信为了提升新型冠状肺炎“停课不停学”期某片区网络信号，保证广大师生网络授课、听课的质量，临时在坡度为i=1:2.4的山坡上加装了信号塔PQ(如图所示)，信号塔底端Q到坡底A的距离为3.9米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块警示牌MN.当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为3米，求信号塔PQ的高(结果精确到十分位，参考数据：sin53°0.8,cos53°0.6,tan53°1.3) 针对训练： 6.如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°，楼高AB=60m，在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A，C，E在同一直线上. (1)求坡底C到大楼的距离AC； (2)求斜坡CD的长度. 【拓展培优】 ★题型三 锐角三角函数的综合应用 例3．在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝． （1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，若点B恰好是线段MN的中点，求tan∠BAM的值； （2）如图2，P是边BC延长线上一点，∠APB＝∠BAC，求tan∠PAC的值． 针对训练： 7.△ABC中，AB=4,BC=3,∠BAC=30°，则△ABC的面积是 . 8.如图，正方形ABCD的边长是，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= . 【思维特训】 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝∠ADB＝90°，tanA＝，AB＝5，点P在△BCD的边上或内部运动，过点P分别向边AD、AB所在直线作垂线，交射线AD于点E，交边AB于点F． （1）求边CD的长； （2）求线段AE的取值范围； （3）当点P在△BCD的边上运动时，若PE＝PF，直接写出线段PE的长． 2．如图，在Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高，中线，BC＝a，AC＝b． （1）若a＝3，b＝4，求DE的长； （2）直接写出：CD＝　 　（用含a，b的代数式表示）； （3）若b＝3，，直接写出a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$