精品解析：上海市行知中学2024-2025学年高三下学期3月质量调研数学试卷

上海行知中学2024-2025学年第二学期 高三数学质量调研卷 （本试卷共4页，满分150分，时间120分钟） 一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．答案均需以最简形式填写） 1. 已知集合，，则_______________． 2. 设复数满足（为虚数单位），则的模为______． 3. 不等式的解集为__________________． 4. 已知，，若，则________________． 5. 抛物线的焦点到准线的距离是___________. 6 已知，则_________________． 7. 已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 8. 关于的方程的解集为________________． 9. 设分别是双曲线左、右焦点．若点在双曲线上，且，则______________． 10. 容量为的一组数据，若所有第百分位数（取遍）中至少两个相同，则正整数的最大值为______________． 11. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为________________． 12. 从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为______________． 二、选择题．（本题共4小题，均为单选题，前2题每小题4分，后2题每小题5分，共18分） 13. 幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A. B. C. D. 14. 已知直线m、n及平面，其中，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②④ 15. 关于下列两个命题正确的判断是（ ） 甲：； 乙：， A. 甲乙都不成立 B. 仅甲成立； C. 仅乙成立； D. 甲乙都成立. 16. 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下：①每人可发球次，每成功一次记分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加分. 例如：同学甲前次发球成功，第、次发球失败，后次发球成功，则得分为分. 假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得分的概率是（    ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共76分） 17. 在中，角的对边分别是，． （1）求； （2）若，的面积是，求的周长． 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （1）求X的分布； （2）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 20. 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点. （1）求的周长； （2）若以为圆心的圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程； （3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数和，其中，，. （1）若，求函数的图象的对称中心并说明理由. （2）定义， 即.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . （3）若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海行知中学2024-2025学年第二学期 高三数学质量调研卷 （本试卷共4页，满分150分，时间120分钟） 一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．答案均需以最简形式填写） 1. 已知集合，，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由交集运算即可求解； 【详解】由，， 所以， 故答案为： 2. 设复数满足（为虚数单位），则的模为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知根据复数的除法运算可得，再根据复数的模的运算求解即可. 【详解】由已知可得， 所以， 所以的模为. 故答案为：. 3. 不等式的解集为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式化整式不等式求解即可. 【详解】由，则， 不等式等价于且，得， 所以不等式解集为. 故答案为：. 4. 已知，，若，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角得向量垂直，再根据向量数量积坐标公式列式，解得即得结果. 【详解】由. 故答案为： 5. 抛物线的焦点到准线的距离是___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由抛物线的解析式求出，即可求解 【详解】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是 故答案为： 【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题 6. 已知，则_________________． 【答案】0或 【解析】 【分析】根据平方关系可得，进而结合两角差的正弦公式计算即可. 【详解】由，则， 所以或. 故答案为：0或. 7. 已知的展开式中二项式系数最大的项的系数为________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数性质可得第五项的二项式系数最大，由二项式展开的通项求解即可. 【详解】由已知可得的展开式中二项式系数最大的项为第五项， 第五项的系数为. 故答案为： 8. 关于的方程的解集为________________． 【答案】 【解析】 【分析】分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，即，恒成立； 当时，方程为，解得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 9. 设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直关系，结合向量的加法法则，即可求解. 详解】由可知， 因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 10. 容量为一组数据，若所有第百分位数（取遍）中至少两个相同，则正整数的最大值为______________． 【答案】97 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，分析计算即可得解. 【详解】设，， 如，，所以各个百分位数均不相同， ，，各个百分位数均不相同， ，， ，各个百分位数均不相同， ，令，得，和对应的百分位数都是第33个数， 所以 ，为所求. 故答案为：97 11. 圆锥的全面积为，则它的体积的最大值为________________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据圆锥全面积得出关系，利用体积公式及二次函数求最值. 【详解】因为，所以， 所以， 即， 当时， 故答案为： 12. 从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出切点坐标，根据两点坐标写出直线的斜率再根据切点的导数值等于切线的斜率列方程，因为有三条不同切线所以对应方程有三个不同的解，即对应函数有三个零点，通过函数的导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围从而求出的取值范围. 【详解】切点设为，其中 有三个不同的解 即有三个不同的解 设 ，该函数有三个不同零点, ， 令，则或， 令，则或， 令，则， 所以：函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在和处取得极值， 要想函数有三个不同零点， 则，即 所以： 故答案为： 二、选择题．（本题共4小题，均为单选题，前2题每小题4分，后2题每小题5分，共18分） 13. 幂函数在上是严格增函数，且经过，则a的值可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性可排除A；根据幂函数过点，可排除B和 D. 【详解】因为幂函数在上是严格增函数，所以，故A错误. 对于B，若，则，当时，，不经过，故B错误. 对于C ，若，则，当时，，经过，故C正确. 对于D，若，则，定义域为，不符合题意，故D错误. 故答案为：C. 14. 已知直线m、n及平面，其中，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集.其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】设一个平面，该面满足，且到平面的距离相等且异侧，全面考虑平面与平面位置关系的几种情况，判断即可. 【详解】设一个平面，该面满足，且到平面的距离相等且异侧，如图 则平面的所有点到两条直线m、n距离相等， 若平面与平面相交于时，则上的所有点到两条直线m、n距离相等，故①正确； 若平面与平面平行时，则平面上没有点到两条直线m、n距离相等，故④正确； 若平面与平面重合时，则平面上所有点到两条直线m、n距离相等，故②正确； 故任何时候都不可能只有一个点满足条件， 所以正确的有①②④. 故选：B. 15. 关于下列两个命题的正确的判断是（ ） 甲：； 乙：， A. 甲乙都不成立 B. 仅甲成立； C. 仅乙成立； D. 甲乙都成立. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数和，利用导数分析函数单调性，利用单调性解不等式，结合对数运算即可判断. 【详解】构造函数， 则，在上单调递减， 所以，即， 即； 构造函数，则， 令，可得， 当时，，在上单调递减， 所以，即， 所以，所以， 又为增函数， 所以. 故选：. 16. 在体育选修课排球模块的基本功发球测试中，计分规则如下：①每人可发球次，每成功一次记分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加分. 例如：同学甲前次发球成功，第、次发球失败，后次发球成功，则得分为分. 假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得分的概率是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可利用插空法并结合概率的加法公式计算可得结果. 【详解】根据题意，测试中恰好得分的情况有以下两种： 1、两个不相邻的两连发球成功， 2、一个三连另加一个不相邻的单发成功，由插空法计算可得. 故选：A 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共76分） 17. 在中，角的对边分别是，． （1）求； （2）若，的面积是，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求； （2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求得，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意在中，得， 故 ， 由于，所以. 【小问2详解】 由（1）及题意可知的面积是，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 于是的周长为. 18. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立； （2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）在三棱柱中，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则点、、、、、， ，，则， 因此，； （2），，设平面的法向量为， 由，取，可得，，所以，， 易知平面的一个法向量为，. 由图形可知，二面角为锐角，所以，二面角的余弦值为. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下： （1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）； （3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 19. 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）.若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （1）求X的分布； （2）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？并说明理由. 【答案】（1） 16 17 18 19 20 21 22 ； （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）由柱状图，易得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求得其相应概率，列出分布列； （2）购买零件所需费用含两部分：一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，结合（1）分别求出、时费用的期望即可下结论. 【小问1详解】 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9， 10，11的概率分别为， 从而， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 16 17 18 19 20 21 22 【小问2详解】记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)， 当时， 当时， 因为， 可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值， 故应选． 20. 已知曲线的左､右焦点分别为，直线经过且与相交于两点. （1）求的周长； （2）若以为圆心圆截轴所得的弦长为，且与圆相切，求的方程； （3）设的斜率为，在轴上是否存在一点，使得且？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）周长为6 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由椭圆方程求出，，然后根据椭圆的定义可求出的周长， （2）设圆的方程为，由题意可求得，由与圆相切，利用点到直线的距离公式列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线方程， （3）假设在轴上存在一点，设直线的方程为，，将直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，表示出线段的中点的坐标，从而可表示出线段中垂线的方程，则可表示点的坐标，然后表示出到直线的距离，再利用列方程可求出的值，从而可得答案. 【小问1详解】 根据题设条件，可得， 故，，所以， 根据椭圆定义，可知， 因为， 所以，得的周长为6， 【小问2详解】 设圆的方程为，令，得， 故，得. 由题意可得直线的斜率存在， 由与圆相切，得到直线的距离.解得， 故直线的方程为 【小问3详解】 假设在轴上存在一点，设直线的方程为， 将直线的方程和椭圆的方程联立，得， 消去并整理，得，必有 令，则 故线段的中点的坐标为， 则线段中垂线的方程为 令，得，点到直线的距离， 又因为，所以， 即 化简得，解得， 故. 21. 已知函数和，其中，，. （1）若，求函数的图象的对称中心并说明理由. （2）定义， 即为.若存在正整数，使得对一切均成立，求证：只能为 . （3）若函数和的图象在上有三个不同的交点，求的取值范围. 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由函数的对称中心的求法和正弦函数的诱导公式可得； （2）求导后利用穷举法得到不等式组，再求解即可； （3）先将问题转化为曲线和直线有三个不同的交点，然后求导分析的单调性和极值，数形结合求出即可； 【小问1详解】 猜函数的图象的对称中心为 在图象上任取点，关于的对称点为， 因为，所以即点也在函数的图象上. 所以，为所求. 【小问2详解】 ， ， ，， ，，， 从第三项起，每隔四项重复出现，且连续四项均为不同函数. 若要符合题意，唯有，于是恒成立， 所以且是唯一可能的值. 总之，存在，使对一切正整数均成立，只可能为. 【小问3详解】 原问题等价于：方程在上有三个不同的解， 等价于：曲线和直线有三个不同的交点. ，由，得， 如下列表 … … … 极值所成数列，正负交替且绝对值单调递减，极限为，横轴为渐近线.另一方面，当时， 综上，如图所示， 于是或，解得或为所求. 【点睛】关键点点睛：本题的第三问的关键是能够将图象交点问题转化成两函数交点问题，再利用单调性和极值分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$