1.6利用三角函数测高 学案 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

1.6利用三角函数测高 【学习目标】 1.会正确读取测角仪上的度数，并会根据测角仪提供的数据得出倾斜角的度数； 2.会求底部可到达的物体的高度； 3.会求底部不可到达的物体的高度； 4.会解决测高的综合应用问题. 【知识回顾】 1.仰角的定义：视线在水平线的 时，视线与水平线所成的角叫做仰角. 2.俯角的定义：视线在水平线的 时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 【预习探究】 1.(1)测量倾斜角：用测倾器. 简单的测倾器由 、 、和 组成.如图： (2)使用测倾器测量倾斜角的步骤： ①把支杆竖直插入地面，使支杆的 、 和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置； ②转动度盘：使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的 ； 2.(1)测量底部可以达到的物体的高度：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. (2)如图，测量底部可以到达的物体的高度的一般步骤： ①在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α； ②量得测点A到物体底部N的水平距离AN＝； ③量出测倾器的高度AC＝a(即顶线PQ水平位置时它与地面的距离). 3.(1)测量底部不可以到达的物体的高度：所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. (2)如图，测量底部不可以到达的物体的高度的一般步骤： ①在测点A处安装测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α； ②在测点A与物体之间的B处安装测倾器(A,B与N在一条直线上)，测得M的仰角∠MDE=β； ③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b,最后再利用三角函数相关知识求出物体MN之间的高度. 【新知精析】 ★题型一 测量底部可到达的物体的高度 例1.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地面1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了10米到达E，此时的仰角为60°，求旗杆的高度. 针对训练： 1.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：坝高BC＝10米，则坡面AB的长度是( ) A.15m B.20m C.10m D.30m 1. 如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝30°,则BC的长为 米.(结果保留根号) ★题型二 测量底部不可到达的物体的高度 例2.为了测量山坡上的信号塔PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度． 针对训练： 3.如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子斜靠在右侧的墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°,此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合。因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了 米(保留根号). 4.如图，为探测某座山的高度AB,某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°，此时飞机的飞行高度为CH=4千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据：tan31°≈0.6,tan50°≈1.2) 【拓展培优】 ★题型三 测高的综合应用 例3.冬季，成都西岭雪山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑段AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为，DE的长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，求一人从A出发到E处下降的垂直距离(参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数). 针对训练： 5.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°,测得大楼顶端A的仰角为45°(B,C,E在同一水平直线上)，已知AB=80m,DE=10m,求障碍物B,C两点间的距离．(结果精确到0.1m,参考数据：，) 【思维特训】 图①是一种淋浴喷头，图②是图①的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB=25cm，AB与墙壁DD'的夹角∠D'AB=37°,喷出的水流BC与AB形成的夹∠ABC=72°,现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE=50cm，CE=130 cm.问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？ (参考数据：sin 37°0.60，cos.37°0.80，tan 37°0.75，sin 72°0.95，cos 72°0.31，tan 72°3.08，sin 35°0.57，cos 35°0.82，tan 35°0.70) 学科网（北京）股份有限公司 $$