2025年九年级中考数学复习导学案 专题七 方案设计问题专题

专题七 方案设计问题专题 【专题解读】 方案设计问题涉及面较广，内容比较丰富，题型变化较多，不仅有方程、不等式、函数，还有几何图形的设计等。方案设计题型是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析、计算、证明等，确定出最佳方案。 【专题讲解】 考点一 利用方程确定方案 例1在全面推进“乡村振兴”活动中，某慈善机构捐资购买了120吨化肥支援山区春耕，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部化肥都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）若慈善机构决定用甲、乙、丙三种车共16辆同时均参与运送，你有哪几种安排方案刚好运完？哪种方案运费最省？ 考点二 利用不等式（组）确定方案 例2．（2024•绵阳）为进一步美化环境，提升生活品质，某部门决定购买甲、乙两种花卉布置公园走廊．预算资金为2700元，其中1200元购买甲种花卉，其余资金购买乙种花卉．已知乙种花卉每株的价格是甲种花卉每株价格的1.2倍，且购买乙种花卉的数量比甲种花卉多2株． （1）求甲、乙两种花卉每株的价格； （2）购买当日正逢花卉促销，甲、乙两种花卉均按原价八折销售．已知该部门需购买甲、乙两种花卉共120株，总费用不超预算，其中甲花卉的资金不超过1000元．求购买这两种花卉有几种方案？并计算所需费用的最小值． 考点三利用函数性质设计方案 例3．某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表： A方案 B方案 C方案 每月基本费用（元） 20 56 266 每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限 超出后每兆收费（元） n n A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示． （1）请直接写出m，n的值． （2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式． （3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？ 考点四 与图形有关的方案设计 例4．在一平直河岸l同侧有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水． 方案设计： 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案： 图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）； 图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA+PB（km）（其中点A'与点A关于l对称，A'B与l交于点P）． 观察计算： （1）在方案一中，d1＝　 　km（用含a的式子表示）； （2）在方案二中，组长小强为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小强同学的思路计算，d2＝　 　km（用含a的式子表示）． 探索归纳： （3）①当a＝4时，比较大小：d1　 　d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②当a＝6时，比较大小：d1　 　d2（填“＞”、“＝”或“＜”）； （4）请你把a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，如何对这两个方案进行选择？ 【专题训练】 1．（2024•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2.要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）： 对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（　　） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行 3. 小红家粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成，用了某种涂料150升，购买涂料费用为4800 元，粉刷面积是150m2，最后计算时，有以下几种方案： 方案一：按工计算，每个工30元（1个人干一天是1个工）； 方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱； 方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元： 请你帮小红家出主意，选择最合算的付钱方案，是　 　元． 4．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 如图，在一个圆锥形状的包装盒的底部A处有一只壁虎，在侧面B处有一只小昆虫，壁虎沿着什么路线爬行，才能以最短的路线接近小昆虫？ 请你设计一种最短的爬行路线． 下面是班内三位同学提交的设计方案： 根据以上信息，你认为________同学的方案最正确，理由是__________ _________． 5．某市要在一块矩形的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是矩形面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在矩形的四条边上，请你设计两种方案： 方案1：如图1所示，两个出入口E、F已确定，请在图1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法； 方案2：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2上画出符合条件的平行四边形花园，并简要说明画法． 6．（2024•深圳）数学项目小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了实地调研，获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸如图1所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图2所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为1.6米. 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次性最多能转运2列长度均为2.6米的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，完成下列问题： （1）当n辆购物车按图2的方式叠放时，形成购物车列的长度为L米，则L与n的关系式是 　　； （2）求该超市直立电梯一次最多能转运的购物车数量； （3）若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种使用电梯次数的分配方案？请说明理由． 7. 为提高耕地灌溉效率，小明的爸妈准备在耕地A、B、C、D四个位置安装四个自动喷洒装置（如图1所示），A、B、C、D四点恰好在边长为50米的正方形的四个顶点上，为了用水管将四个自动喷洒装置相互连通，爸妈设计了如下两个水管铺设方案（各图中实线为铺设的水管）． 方案一：如图2所示，沿正方形ABCD的三边铺设水管； 方案二：如图3所示，沿正方形ABCD的两条对角线铺设水管． （1）请通过计算说明上述两方案中哪个方案铺设水管的总长度更短； （2）小明看了爸妈的方案后，根据“蜂集原理”重新设计了一个方案（如图4所示）．满足∠AEB＝∠CFD＝120°，AE＝BE＝CF＝DF，EF∥AD．请将小明的方案与爸妈的方案比较，判断谁的方案中铺设水管的总长度更短，并说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7） 学科网（北京）股份有限公司 $$