8.6一元二次方程的应用 解答题常考题型分类专题训练 2024-2025学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2024-2025学年鲁教版（五四学制）八年级数学下册《8.6一元二次方程的应用》 解答题常考题型分类专题训练（附答案） 一、增长率问题 1．国庆结束，各商场疯狂促销，某商品经过两次降价后，每件价格从 2500元降到1600元，则平均每次降价的百分率是多少？ 2．某农场去年种植南瓜10亩，总产量为，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增大到，已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率． 3．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染． (1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？ 4．电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某市某品牌电动自行车经销商1月份至3月份的统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，3月份销售288辆，两月间销量的月平均增长率相同. (1)求该品牌电动自行车销售量的月平均增长率； (2)若该品牌电动自行车的进价为2400元，售价为3000元，则该经销商1月份至3月份共盈利多少元？ 5．某企业为新能源汽车生产配件． 2022 年该配件销售单价为1000 元， 月均销售量 2 万件；每件配件的成本包括材料成本、人力成本和其他成本三部分，其中 材料成本是人力成本的 14 倍， 人力成本比其他成本多 20 元， 总成本合计 780 元． (1)求每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是多少元？ (2)2023 年，这种配件每件的材料成本下降了40 元，人力成本增加了 20% ，其他成本 保持不变． 从 2023 年开始，该企业对这种配件实行降价销售，与 2022 年相比，销 售单价降低的百分数为 0.5a，实现月均销售量增加，增加的百分数为 a． 这样，2023 年一季度销售总利润为1320 万元， 求 a 的值． （销售利润＝销售收入－总成本） 二、销售利润问题 6．某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)当时，利润为_____元； (2)若该公司要获得418元的利润，求每件的销售单价． 7．一个农业合作社以每斤40元的成本收获了某种农产品，销往外地．若销售价为每斤50元，平均每天能售出100斤．经市场调查发现，当销售价每降低1元时，平均每天多售出10斤． (1)设售价为元，每天能售出斤，请写出关于的函数表达式； (2)该合作社要想使平均每天的销售额达到6750元且获利，则售价应为多少元？ 8．一款服装每件进价为90元，销售价为130元时，每天可售出30件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件服装降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1500元？ 9．2020年1月，四川天府新区推出了农产品区域公用品牌“鹿溪荟”，旗下产品包括草莓、枇杷、葡萄等．其中，“天府鹿溪草莓”是该品牌的主打产品之一，具有品质优良、口感鲜美等特点．某种植基地2022年开始种植“天府鹿溪草莓”64亩，到2024年增长到100亩． (1)求2023年、2024年这两年的平均增长率； (2)市场调查发现，当草莓的售价为20元/千克时，每天能售出240千克，售价每降价2元，每天可多售出60千克．已知该种植基地草莓的平均成本价是8元/千克，为了宣传推广，基地决定降价促销，同时减少库存，若要使销售草莓每日获利2520元，则售价应降低多少元？ 10．2024年暑期，因连续高温和干旱，我区一居民小区的部分绿化树枯死，小区物业管理公司决定补种绿化树，计划找苗圃公司购买桂花树和香樟树共150棵进行补栽，其中桂花树每棵20元，香樟树每棵30元，一共需要4000元． (1)计划购买桂花树、香樟树各多少棵？ (2)实际购买时，物业管理公司与苗圃公司协商，给与一定优惠：每棵挂花树的价格降低2元；如果每棵香樟树的价格每降低1元（香樟树的价格不能低于桂花树的价格），则物业管理公司要多购买10棵香樟树，最后，物业管理公司购买的桂花树数量不变，香樟树的棵树增加了，实际付款金额比计划多260元．求物业管理公司实际购买香樟树多少棵？ 三、几何图形问题 11．如图，宽为、长为的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积为，求铺设的石子路的宽度． 12．如图，有一块矩形铁皮，长，宽，在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果制作的无盖的方盒的底面积为，那么铁皮各角应该切去的正方形的边长是多少？ 13．如图，某农场有两堵互相垂直的墙，长度分别为27米和15米，该农场打算借这两堵墙建一个长方形饲养场，其中和两边借助墙体且不超出墙体，其余部分用总长45米的木栏围成，中间预留1米宽的通道，在和边上各留1米宽的门、设长x米， (1)求的长度（用含x的代数式表示）． (2)若饲养场的面积为180平方米，求x的值． 14．某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米．    (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 15．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽． (3)建成花圃的面积可能为60平方米吗？请说明理由． 四、动态几何问题 16．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，，同时出发，各自到达终点后停止运动，那么运动几秒时，线段恰好平分的面积？    17．如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿以的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以的速度向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点同时停止运动．当运动多少时，的面积是． 18．如图，、、、为矩形的个顶点，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点、的运动速度均为，经过多长时间、两点之间的距离是？ 19．如图，在梯形中，，，，，．动点从点出发，沿线段的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动．点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动时间为，当为何值时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形？    20．如图，在中，， ， ，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 参考答案 1．解：设平均每次降价的百分率为x，则有： ， ∴ ∴， ∴（舍） 答：平均每次降价的百分率是． 2．解：（亩）， 设平均亩产量的增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去），， 答：平均亩产量的增长率为． 3．（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 根据题意得：，即， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑； （2）解：由题意可知，， 由（1）知， 则（台）， 答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台． 4．（1）解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x， 根据题意得：， 解得：或（舍去，不符合题意） 答：该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为； （2）解：由（1）知该品牌电动自行车销售量的月平均增长率为， 则2月的销售量为：（辆） 该经销商1月份至3月份共盈利（元） 答：该经销商1月份至3月份共盈利元． 5．（1）解：设人力成本为x元，则材料成本为元，其他成本为元，根据题意，得 解得： ∴ 答：每件配件的材料成本、人力成本和其他成本各是700元，50元，30元． （2）解：每件配件的成本为：（元）（万元）； 根据题意，得 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴a 的值为． 6．（1）解：当时， ， ∴销售量为件， 利润为：（元）， 故答案为：； （2）解：由题意得： 展开并整理方程： 解得： 答：每件的销售单价为元或元． 7．（1）解：根据题意可得，， 即 （2）设售价为元，每天能售出斤， 由题意可得，， 解得 ∵要获利， ∴，不符合题意，舍去， ∴售价应为元． 8．（1）解：设每件服装降价x元，由于每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件， 则每天销售量增加x件，每件服装盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价元，每件服装盈利元，平均每天的销量为件，依题意可得： 整理，得： 解得：，， 要让利于顾客， 应舍去， 故， 答：在让利于顾客的情况下，每件服装降价15元，商家平均每天能盈利1500元． 9．（1）解：设2023年、2024年这两年的平均增长率为， 根据题意列方程得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：2023年、2024年这两年的平均增长率为； （2）解：设售价应降低元， 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低元． 10．（1）解：设购买桂花树、香樟树各x、y棵， 根据题意，得， 解得． 答：桂花树50棵、香樟树100棵． （2）解：设每棵香樟树的价格下降了a元， 根据题意，得， 即， 解得，． ∵香樟树的价格不能低于桂花树的价格，， ∴不合题意，舍去， ∴， ． 答：实际购买香樟树120棵． 11．解：设铺设的石子路的宽度为， ∵宽为、长为的矩形花坛，种植花卉的面积为， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴铺设的石子路的宽度为． 12．解：设正方形的边长为，则盒子底的长为，宽为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵当时，，，不合题意，舍去， ∴． 答：铁皮各角应该切去的正方形的边长是． 13．（1）解：如图，， ∴， ∴米； （2）解：由题意知，， 解得，，， 又∵，且， ∴， ∴． 14．（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米； （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ∴， （元）． 答：应该月租金定价280元． 15．（1）解：∵长方形花圃的宽长为x米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为14米， ∴， ∴， ∴， ∴，， 答：此时花圃的长与宽边分别为9米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为60平方米，理由如下： ∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， ∴， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为60平方米． 16．解：设秒后线段恰好平分的面积， 由题意得 ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 当时， ， ，符合题意， 当时， ， ，,不符合题意，舍去， 当点到达点后，点继续运动，如下图所示，   ， ∴， 解得秒， 故当和时，线段恰好平分的面积． 17．解：设运动时间为，则，， 依题意，得． 整理，得， 解得，， 或时，的面积是． 18．解：设运动秒时，它们相距，则，，依题意有 ， 解得，． 故运动秒或秒时，它们相距． 19．解：①如图1，当时，作于，    ， 四边形是矩形 解得：． ②如图2，当时，作于    同①可证四边形是矩形 ，，， ，， 在中，，即 解得：． ③如图3，当时，作于    同①可证四边形为矩形 ，，， ，， 在中，，即 整理得： 故方程无解． 综上所述，或时，以，，三点为顶点的三角形为等腰三角形． 20．（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 学科网（北京）股份有限公司 $$