第10章　10.4　一次函数与二元一次方程导学案 2024-2025学年青岛版数学八年级下学期

10.4　一次函数与二元一次方程 课时学习目标 素养目标达成 1.能理解一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间的关系,能根据方程、方程组的解求出点的坐标 几何直观、推理能力、抽象能力 2.会用图象法求二元一次方程组的解 应用意识 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.二元一次方程与一次函数的关系 每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标. 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2和直线y=ax+b(a≠0)相交于点P.根据图象可知,方程x+2=ax+b的解是x= .  2.二元一次方程组与一次函数的关系 每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的 坐标.  2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+1和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程组的解是 .  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】一次函数与二元一次方程(几何直观、抽象能力、推理能力) 【典例1】若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=x+b-1上,则常数b的值为 ( ) A.0 B.-1 C.2 D.1 【举一反三】 1.已知和都是方程y=ax+b的解,则一次函数y=ax+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为 .  2.已知二元一次方程2x-y=2. (1)请任意写出此方程的三组解; (2)若为此方程的一组解,我们规定(x0,y0)为某一点的坐标,请根据你在(1)中写出的三组解,对应写出三个点的坐标,并将这三个点描在平面直角坐标系中; (3)观察这三个点的位置,你发现了什么? 【重点2】一次函数与二元一次方程组(几何直观、抽象能力、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P150习题10.4T2拓展)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,点B,直线l1,l2交于点C. (1)求点D的坐标; (2)求直线l2的表达式; (3)求△ADC的面积; (4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标. 【举一反三】 (2024·榆林期末)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),与x轴分别交于A,B两点. (1)求直线l2的表达式,并结合图象直接写出关于x,y的方程组的解; (2)求△ABP的面积; (3)若垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,线段CD的长为2,求a的值. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力)若方程2x-6=0的解是一个一次函数的函数值为2时,对应的自变量的值,则这个一次函数可以是 ( ) A.y=2x-4 B.y=-2x+4 C.y=2x-6 D.y=-2x+6 2.(4分·推理能力)已知关于x,y的方程组的解是,则直线y=x-b与直线y=-2x+3的交点坐标是 .  3.(8分·推理能力、抽象能力)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(2,b). (1)求b的值; (2)直接写出关于x,y的方程组的值; (3)若l1交x轴于点A,l2交x轴于点B,且S△PAB=9,求直线l2对应的函数表达式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.4　一次函数与二元一次方程 课时学习目标 素养目标达成 1.能理解一次函数与二元一次方程、二元一次方程组之间的关系,能根据方程、方程组的解求出点的坐标 几何直观、推理能力、抽象能力 2.会用图象法求二元一次方程组的解 应用意识 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 1.二元一次方程与一次函数的关系 每个二元一次方程→一个一次函数;方程的解→函数图象上点的坐标. 1.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2和直线y=ax+b(a≠0)相交于点P.根据图象可知,方程x+2=ax+b的解是x=　5　.  2.二元一次方程组与一次函数的关系 每个二元一次方程组→两个一次函数;方程组的解→两个函数图象的　交点　坐标.  2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y=x+1和直线y=ax+b相交于点P,根据图象可知,方程组的解是 　.  重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】一次函数与二元一次方程(几何直观、抽象能力、推理能力) 【典例1】若以关于x,y的二元一次方程x-2y+b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=x+b-1上,则常数b的值为 (C) A.0 B.-1 C.2 D.1 【举一反三】 1.已知和都是方程y=ax+b的解,则一次函数y=ax+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积为  　.  2.已知二元一次方程2x-y=2. (1)请任意写出此方程的三组解; (2)若为此方程的一组解,我们规定(x0,y0)为某一点的坐标,请根据你在(1)中写出的三组解,对应写出三个点的坐标,并将这三个点描在平面直角坐标系中; (3)观察这三个点的位置,你发现了什么? 【解析】(1),,(答案不唯一). (2)(0,-2);(1,0);(2,2)(答案不唯一). (3)这三个点在一条直线上. 【重点2】一次函数与二元一次方程组(几何直观、抽象能力、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P150习题10.4T2拓展)如图,直线l1的表达式为y=-3x+3,且l1与x轴交于点D,直线l2经过点A,点B,直线l1,l2交于点C. (1)求点D的坐标; (2)求直线l2的表达式; (3)求△ADC的面积; (4)在直线l2上存在异于点C的另一点P,使得△ADP与△ADC的面积相等,请直接写出点P的坐标. 【自主解答】(1)令y=0,则x=1, ∴D(1,0); (2)设直线l2的表达式为y=kx+b, 把A(4,0),B(3,-)代入得, 解得, 所以直线l2的表达式为y=x-6; (3)解方程组,得, 则C(2,-3); 由(1)得D(1,0), 所以S△ADC=×(4-1)×3=; (4)因为△ADP与△ADC的面积相等,所以点P与点C到AD的距离相等, 所以P点的纵坐标为3, 当y=3时,x-6=3,解得x=6, 所以点P坐标为(6,3). 【举一反三】 (2024·榆林期末)如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b),与x轴分别交于A,B两点. (1)求直线l2的表达式,并结合图象直接写出关于x,y的方程组的解; (2)求△ABP的面积; (3)若垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别交于点C,D,线段CD的长为2,求a的值. 【解析】(1)把点P(1,b)代入y=2x+1, 得b=2+1=3,∴P(1,3). 把点P坐标代入y=mx+4,得 m+4=3, ∴m=-1,∴直线l2 的表达式为 y=-x+4, ∴关于x,y的方程组的解为; (2)∵l1:y=2x+1,l2:y=-x+4, ∴点A(-,0),B(4,0), AB=4-(-)=,h=3, ∴S△ABP=AB·h=××3=; (3)直线x=a与直线l1的交点C为(a,2a+1), 与直线l2的交点D为(a,-a+4), ∵CD=2, ∴|2a+1-(-a+4)|=2, 即|3a-3|=2, ∴3a-3=2或3a-3=-2, ∴a=或a=. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·推理能力)若方程2x-6=0的解是一个一次函数的函数值为2时,对应的自变量的值,则这个一次函数可以是 (A) A.y=2x-4 B.y=-2x+4 C.y=2x-6 D.y=-2x+6 2.(4分·推理能力)已知关于x,y的方程组的解是,则直线y=x-b与直线y=-2x+3的交点坐标是　(2,-1)　.  3.(8分·推理能力、抽象能力)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(2,b). (1)求b的值; (2)直接写出关于x,y的方程组的值; (3)若l1交x轴于点A,l2交x轴于点B,且S△PAB=9,求直线l2对应的函数表达式. 【解析】(1)根据题意可知:点P(2,b)在直线y=x+1上, 则2+1=b, 解得b=3; (2)∵b=3, ∴交点坐标是(2,3), ∴方程组的解是; (3)直线l1中,当y=0时,x=-1, 故点A坐标为(-1,0), 设点B坐标为(t,0), 故×3×(t+1)=9, 解得:t=5, 故点B坐标为(5,0), 将点B,点P坐标代入可得: , 解得m=-1,n=5, 故直线l2对应函数表达式为:y=-x+5. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 三十五” 学科网（北京）股份有限公司 $$