9.2.2 第2课时 向量共线定理及其应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

向量共线定理及其应用 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.理解向量共线的概念,掌握向量共线定理及简单应用. 2.会应用向量共线定理证明两直线平行及三点共线问题. 1.向量共线定理 设a为非零向量,如果有一个实数λ,使_______,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使_______. 2.常用结论 (1)设a,b均为实数,若,不共线,点P满足=a+b,a+b=1,则A,B,P三点共线. (2)中线向量公式:在△ABC中,若D是BC的中点,则=(+). (3)与同方向的单位向量为,与共线的单位向量为±. (4)O是△ABC的重心的充要条件是++=0. b=λa b=λa CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　向量共线的判定 题型(二) 向量共线中的参数问题 课时跟踪检测 题型(一)　向量共线的判定 01 [例1]　已知非零向量a,b,且=a+2b,=-3a+4b,=a-3b,则一定共线的三点是(　 ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 解析:∵=a+2b,=-3a+4b,=a-3b, ∴=++=-a+3b. ∴=+=-2a+6b=2. 又与有公共点A,∴A,C,D三点共线. √ |思|维|建|模| 　　证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.具体依据如下: 若存在实数λ,使=λ,则A,B,C三点共线. 针对训练 1.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则(　 ) A.P,A,C三点共线 B.P,A,B三点共线 C.P,B,C三点共线 D.以上均不正确 解析:在△ABC中,取AC的中点D(图略),则+=2, ∴2=2.∴D和P重合.∴P,A,C三点共线. √ 2.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　 ) A.矩形 B.平行四边形 C.梯形 D.无法判断 解析:∵=++=-8a-2b, ∴=2,即AD∥BC.∵AD≠BC,∴四边形ABCD为梯形. √ 题型(二) 向量共线中的参数问题 02 [例2]　(1)设e1,e2是两个不共线的向量,=2e1+ke2,=e1+3e2, =2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值; 解:若A,B,D三点共线,则与共线.设=λ(λ∈R), ∵=-=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2,∴2e1+ke2=λe1-4λe2. 由e1与e2不共线可得解得λ=2,k=-8. (2)设e1,e2是两个不共线的向量,若a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,问:是否存在实数λ,μ,使d=λa+μb与c共线? 解:d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要使d与c共线,则存在实数k,使得d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2. 所以解得λ=-2μ. 故存在实数λ和μ,使得d与c共线,此时λ=-2μ. |思|维|建|模| 1.证明或判断三点共线的方法 一般来说,要判定A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等)即可. 2.利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解. 针对训练 3.已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于(　 ) A.10 B.-10 C.2 D.-2 解析:∵A,B,D三点共线,∴存在实数λ,使得=λ=λ(-), ∴a-kb=λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),∴(1-λ)a+(2λ-k)b=0, ∴解得故选C. √ 4.设a,b是两个不共线的非零向量,若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=　　　　. 解析:因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,所以存在实数λ(λ<0), 使得ka+2b=λ(8a+kb). 又a,b是两个不共线的非零向量, 所以 解得或(舍去). -4 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.已知e1,e2为两个不共线的向量,若向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,则下列向量与向量2a+b共线的是(　　) A.-5e1+2e2 B.4e1+10e2 C.10e1+4e2 D.e1+2e2 解析:因为向量a=2e1+e2,b=-2e1+3e2,所以2a+b=2e1+5e2. 又4e1+10e2=2(2e1+5e2),所以4e1+10e2与2a+b共线. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a与b不共线,=a+kb,=la+b(k,l∈R),若与共线,则k,l应满足(　　) A.k+l=0 B.k-l=0 C.kl+1=0 D.kl-1=0 解析:由与共线,知存在唯一实数λ,使=λ,则a+kb=λ(la+b),故所以kl-1=0,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)如图,C,D是线段AB的两个三等分点,则 (　　) A.=3 B.=-2 C.+=0 D.= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为C,D是线段AB的两个三等分点,所以||=3||,又与同向,所以=3,故A正确; ||=2||,又与反向,所以=-2,故B正确; ||=||,且与反向,所以=-,所以+=0,故C正确; ||=||,且与反向,所以=-,故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)已知4-3=,则下列结论正确的是(　　) A.A,B,C,D四点共线 B.C,B,D三点共线 C.||=|| D.||=3|| 解析:因为4-3=,所以3-3=-.所以3=.因为,有公共端点B,所以C,B,D三点共线,且||=3||.B、D正确,A错误. 由4-3=,得=3-3+=3+.所以||≠||, C错误.故选BD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为(　　) A.-1 B.2 C.-2或1 D.-1或2 解析:由于A,B,C三点共线,故可设=k(k∈R).因为=λa+2b,= a+(λ-1)b,所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].所以λ=k,2=k(λ-1),解得λ=-1或λ=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.点C在线段AB上,且||=||,若=λ,则λ=　　　　. 解析:不妨设||=4a,则||=||=3a.因为点C在线段AB上, 所以=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设向量a和b不平行,若向量2λa+8b与a+λb反向共线,则实数λ=　　　　.  解析:因为向量2λa+8b与a+λb反向共线,所以存在t(t<0,t∈R),使得2λa+8b=t(a+λb),即(2λ-t)a=(tλ-8)b.又向量a和b不平行,所以解得t=-4,λ=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知平面内O,A,B,C四点,其中A,B,C三点共线,O,A,B三点不共线,且=x+y,则x+y=　　　　.  解析:∵A,B,C三点共线,∴存在λ∈R,使=λ.∴-=λ(-). ∴=(1-λ)+λ.∴x=1-λ,y=λ.∴x+y=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)已知向量m,n不是共线向量,a=3m+2n,b=6m-4n,c=m+xn. (1)判断a,b是否共线; 解:若a与b共线,由题知a为非零向量, 则有b=λa,即6m-4n=λ(3m+2n), ∴得到λ=2且λ=-2, ∴λ不存在,即a与b不共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若a∥c,求x的值. 解:∵a∥c,∴存在实数r,使得c=ra, 即m+xn=3rm+2rn,即解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)设e1,e2是两个不共线的向量,如果=3e1-2e2,=4e1+e2, =8e1-9e2. (1)求证:A,B,D三点共线; 解:证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,所以与共线. 又与有公共点B,所以A,B,D三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线; 解:因为2λe1+e2与e1+λe2共线, 所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2). 因为e1,e2不共线,所以 解得λ=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)若e1+λe2与λe1+e2不共线,试求λ的取值范围. 解:假设e1+λe2与λe1+e2共线,则存在实数m,使e1+λe2=m(λe1+e2). 因为e1,e2不共线,所以 解得λ=±1. 因为e1+λe2与λe1+e2不共线,所以λ≠±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N.设=m,=n,则m+n=(　　) A.1 B.2 C. D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意得=(+)=(m+n)=+. 因为M,O,N三点共线,所以+=1, 即m+n=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.设点O是面积为4的△ABC内部一点,且有+3+4=0,则△BOC的面积为　　　　. 解析:∵+3+4=0, ∴-=+. 设-=,则=+,即B,C,D三点共线(如图),∴==,∴S△BOC=4×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(13分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线. (1)取BD的中点M,试用和表示; 解:由题意知,D为BC的中点,所以=+.又M为BD的中点,所以=+=+=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.若=λ,=μ(λ>0,μ>0),求λ+μ的最小值. 解:由=2,=λ,=μ, 得=,=,所以===+=+ .因为E,F,G三点共线,所以+=1,又λ>0,μ>0,所以λ+μ=(λ+μ) =++≥+2=,当且仅当=,即λ=μ=时取等号, 所以λ+μ的最小值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图,在▱ABCD中,点E,F分别是AD和DC边的中点,BE,BF分别交AC于点R,T.你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?请用向量的方法证明. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解:AR=RT=TC.证明如下: 因为四边形ABCD为平行四边形,所以=+,设=λ, 因为E是AD的中点,所以=2,故=λ=λ(+)=λ(2+)=2λ+λ. 又因为B,R,E三点共线,所以3λ=1,解得λ=,故=.同理可证=,可知R,T为AC的三等分点,故AR=RT=TC. $$