13.2.3 第2课时 直线与平面垂直（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

直线与平面垂直 (教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 第2课时 课时目标 1.了解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理及性质定理. 2.掌握直线与平面垂直的定义、线面关系的证明. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.直线与平面垂直的概念 定义 如果直线a与平面α内的__________直线都垂直,那么称直线a与平面α垂直 记法 ______ 有关 概念 直线a叫作平面α的_____,平面α叫作直线a的_____,垂线和平面的交点称为_____ 图示 任意一条 a⊥α 垂线 垂面 垂足 2.直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的___________直线垂直,那么该直线与此平面______ 图形语言 符号语言 若a⊥m,a⊥n, __________,m⊂α,n⊂α,则a⊥α 两条相交 垂直 m∩n=A |微|点|助|解| (1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面. (2)该定理中有五大条件: a⊥m,a⊥n,m∩n=A,m⊂α,n⊂α,它们缺一不可. (3)两个线线垂直:定理中注意直线a与直线m,n都垂直,但要注意直线a与直线m,n的位置关系可能相交,也可能异面,即直线a可能经过交点A,也可能不经过交点A. (4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线m,n必须是平面α内的两条相交直线. 3.直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______ 符号语言 ⇒_________ 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行,②作平行线 a∥b 平行 |微|点|助|解| 1.剖析直线与平面垂直的性质定理 (1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下,可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)定理的推证过程采用了反证法. 2.直线与平面垂直的性质 (1)⇒l⊥b;(2)⇒a∥b;(3)⇒b⊥α; (4)⇒a⊥β;(5)⇒α∥β. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. (　 ) (2)画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. (　 ) (3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. (　 ) (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. (　 ) × √ √ √ 2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 3.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 (　　) A.相交　　　　　 B.平行 C.异面 D.相交或平行 √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　直线与平面垂直的定义的理解 [例1]　(多选)下列四个命题中,其中正确的是 (　　) A.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交,可能异面,也可能平行 B.若直线l不垂直于平面α,则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条 √ √ 解析:l与平面α内的所有直线都垂直,所以A不正确; 当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以B不正确; 当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以C正确; 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以D正确.故选CD. |思|维|建|模| 直线与平面垂直定义的“双向”作用 (1)证明线面垂直:若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直,即线线垂直⇒线面垂直. (2)证明线线垂直:若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直,即线面垂直⇒线线垂直. 针对训练 1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 (　　) A.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α C.若l∥α,m⊂α,则l∥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m √ 解析:对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直; 对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确; 对于C,也有可能是l,m异面; 对于D,l,m还可能相交或异面.故选B. 题型(二)　直线与平面垂直的判定定理的应用 [例2]　(2022·全国甲卷·节选)在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD, CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=.证明:BD⊥PA. 证明:如图所示,取AB中点O,连接DO,CO, 则OB=DC=1. 又DC∥OB, 所以四边形DCBO为平行四边形. 又BC=OB=1, 所以四边形DCBO为菱形,所以BD⊥CO. 同理可得,四边形DCOA为菱形,所以AD∥CO, 所以BD⊥AD. 因为PD⊥底面ABCD,BD⊂底面ABCD, 所以PD⊥BD, 又AD∩PD=D,AD,PD⊂平面ADP, 所以BD⊥平面ADP. 因为PA⊂平面ADP,所以BD⊥PA. |思|维|建|模| 证线面垂直的方法 (1)线线垂直证明线面垂直 ①定义法不常用,但由线面垂直可得出线线垂直; ②判定定理最常用:要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直. (2)平行转化法(利用推论) ①a∥b,a⊥α⇒b⊥α; ②α∥β,a⊥α⇒a⊥β. 针对训练 2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 (　　) A.平面OAB　　　　　　　 B.平面OAC C.平面OBC D.平面ABC 解析:∵OA⊥OB,OA⊥OC,OB∩OC=O,OB,OC⊂平面OBC, ∴OA⊥平面OBC. √ 3.如图,在三棱锥S⁃ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=SB=SC. (1)求证:SD⊥平面ABC; 证明:∵SA=SC,D是AC的中点, ∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD, 由已知SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD. 又AC∩BD=D,AC⊂平面ABC,BD⊂平面ABC, ∴SD⊥平面ABC. (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC. 证明:∵AB=BC,D为AC的中点, ∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又SD∩AC=D,SD⊂平面SAC,AC⊂平面SAC, ∴BD⊥平面SAC. 题型(三)　直线与平面垂直的性质定理的应用 [例3]　如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M是AB上一点, N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:MN∥AD1. 证明:因为四边形ADD1A1为正方形, 所以AD1⊥A1D. 又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,A1D⊂平面A1DC,CD⊂平面A1DC,所以AD1⊥平面A1DC. 又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1. |思|维|建|模| 关于线面垂直性质定理的应用 在证明与垂直相关的平行问题时,可以考虑线面垂直的性质定理,利用已知的垂直关系构造线面垂直,关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面. 针对训练 4.如图所示,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, △ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点. (1)求证:AF∥平面BCE; 证明:如图所示,取CE的中点G,连接FG,BG. ∵F为CD的中点, ∴GF∥DE且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,∴AB∥DE, ∴GF∥AB.又AB=DE,∴GF=AB. ∴四边形GFAB为平行四边形,则AF∥BG. ∵AF⊄平面BCE,BG⊂平面BCE, ∴AF∥平面BCE. (2)求证:AF⊥平面CDE. 证明:∵△ACD为等边三角形,F为CD的中点, ∴AF⊥CD.∵DE⊥平面ACD,AF⊂平面ACD, ∴DE⊥AF. 又CD∩DE=D,故AF⊥平面CDE. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,l,m为两条不重合的直线,则直线l,m的位置关系是(　　) A.平行　　　　　　 B.垂直 C.相交 D.以上都有可能 解析:因为直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,所以l⊥平面α,同理m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 解析:∵AB⊥α,l⊂α,∴AB⊥l,又∵BC⊥β,l⊂β,∴BC⊥l, 又AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴l⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,∴l⊥AC. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(2024·全国甲卷)设α,β为两个平面,m,n为两条直线,且α∩β=m,下述四个命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β ②若m⊥n,则n⊥α或n⊥β ③若n∥α且n∥β,则m∥n ④若n与α,β所成的角相等,则m⊥n 其中所有真命题的编号是(　　) A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:若α∩β=m,则m⊂α,m⊂β,对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,①正确; 对于②,若m⊥n,则可能n⊂α或n∥α或n与α相交,②错误; 对于③,若n∥α且n∥β,则n∥m,③正确; 对于④,n与m所成的角可以为内的任意角,④错误.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)如图,ABCD⁃A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 (　　) A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60° √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确; 因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD, 所以B正确; 可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确; 由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB, D为PB的中点,则下列结论正确的有 (　　) A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:∵PA⊥平面ABC, BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,故A正确; 由BC⊥平面PAB,AD⊂平面PAB,得BC⊥AD, 又PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB, 又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC, ∴AD⊥平面PBC,故C正确; 由AD⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,得AD⊥PC,故B正确; 由BC⊥平面PAB,PB⊂平面PAB,得PB⊥BC, ∴PB与DC不垂直, ∴PB与平面ADC不垂直.故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥平面ABC, D是侧面PBC上的一点,过点D作平面ABC的垂线DE,其中D∉PC,则DE与平面PAC的位置关系是　　　　. 解析:因为DE⊥平面ABC,PA⊥平面ABC,所以DE∥PA.又DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,所以DE∥平面PAC. 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若AP垂直于正方形ABCD所在平面,且AB=AP=2,则PC=　　　　. 解析:根据题意画出图形如图所示,在正方形ABCD中, AC==2.因为AP⊥平面ABCD,又AC⊂平面ABCD,所以AP⊥AC,于是PC==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A, B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P⁃ABC的四个面中,直角三角形有　　　　个. 解析:∵AB是圆O的直径, ∴∠ACB=90°,即BC⊥AC, ∴△ABC是直角三角形. ∵PA⊥平面ABC,AC,AB,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, 4 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴△PAC,△PAB是直角三角形. 又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, ∴BC⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC, ∴△PBC是直角三角形.从而△PAB,△PAC,△ABC,△PBC都是直角三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是矩形, AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC. 求证:AE∥MN. 证明:∵AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD, ∴AE⊥AB.又AB∥CD,∴AE⊥CD. ∵AD=AP,E是PD的中点,∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D,CD⊂平面PCD,PD⊂平面PCD, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴AE⊥平面PCD. ∵MN⊥AB,AB∥CD,∴MN⊥CD. 又∵MN⊥PC,PC∩CD=C,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD, ∴MN⊥平面PCD.∴AE∥MN. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(10分)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°, SA⊥平面ABC,AD⊥SC于D,求证:AD⊥平面SBC. 证明:∵∠ACB=90°, ∴BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC. 又AC∩SA=A,∴BC⊥平面SAC. ∵AD⊂平面SAC,∴BC⊥AD. 又SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥平面SBC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.《九章算术》中,称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正八棱柱的一条侧棱(正八棱柱的底面是正八边形,且侧棱和底面垂直),如图,若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点,以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是(　　) A.8 B.16 C.24 D.28 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:根据正八边形的性质可得,底面边长都相等,底面每个内角都为135°,∠HAG=∠BAC=22.5°, ∠HAF=∠BAD=45°,所以AB⊥AF,AC⊥AG, AD⊥AH,又因为AA1⊥平面ABCDEFGH,所以AA1⊥AF,因为AA1∩AB=A,AA1,AB⊂平面AA1B1B, 所以AF⊥平面AA1B1B,又因为AF∥A1F1∥BE∥B1E1,所以共有4个阳马; 同理,AG⊥平面AA1C1C,共4个;AH⊥平面AA1D1D,共4个;AB⊥平面AA1F1F,共4个;AC⊥平面AA1G1G,共4个;AD⊥平面AA1H1H,共4个.故有24个阳马. 故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α, FH⊥平面α,垂足分别为G,H,为使PQ⊥GH, 则需增加的一个条件是　　　 　　. 解析:因为EG⊥平面α,PQ⊂平面α,所以EG⊥PQ. 若EF⊥平面β,由PQ⊂平面β,得EF⊥PQ. 又因为EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG.而GH⊂平面EFHG,从而PQ⊥GH. EF⊥平面β(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(14分)如图, 在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是平行四边形, ∠ABC=120°,AB=1,BC=4,M是BC的中点,PD⊥DC. 证明:DC⊥平面PDM. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 证明:在△DCM中,易知DC=1,CM=2,∠DCM=60°,由余弦定理,得DM2= CD2+CM2-2CD·CMcos∠DCM=1+4-2×1×2×=3,所以DM=, 所以DM2+DC2=CM2, 所以△DCM为直角三角形,且∠CDM=90°, 即DM⊥DC. 又因为DP⊥DC,DP∩DM=D,DP⊂平面PDM,DM⊂平面PDM, 所以DC⊥平面PDM. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(14分)如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1的底面是边长为4的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,M为A1B1的中点. (1)证明:MC⊥AB; 解:证明:取AB的中点N,连接MN,CN, 则MN⊥底面ABC,MN⊥AB. 因为△ABC是正三角形, 所以NC⊥AB, 又MN∩NC=N,MN⊂平面MNC,NC⊂平面MNC, 可得AB⊥平面MNC,从而AB⊥MC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若AA1=2,侧棱CC1上是否存在点P使得MC⊥平面ABP?若存在,求出PC的长;若不存在,请说明理由. 解:存在点P且当PC=时,使得MC⊥平面ABP. 由(1)知,MC⊥AB,若存在点P使得MC⊥平面ABP,则必有MC⊥BP. 过M作MQ⊥B1C1,垂足为Q,连接QC,则QC是MC在平面BCC1B1内的射影,只需QC⊥BP即可,此时Rt△QC1C∽Rt△PCB,=, 所以PC===, 点P恰好是CC1的中点. $$