9.3.3 向量平行的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3.3 向量平行的坐标表示 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 课时目标 1.理解向量平行的坐标表示,会进行共线问题的处理. 2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行及三点共线问题. 向量平行 的坐标 表示 一般地,设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b ⇔_________________. 特别地,当a∥b且x2y2≠0时,有=,即两个向量的相应坐标成比例 谨防两个 易错点 两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件x1y2-x2y1=0容易写错,该条件的正确记法为“交叉相乘,差为0” 当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时,同向;当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时,反向 x1y2-x2y1=0 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　向量平行的判定 题型(二)　利用向量平行的 坐标表示求参数 题型(三)　利用向量平行的坐标 表示求点的坐标 4 课时跟踪检测 题型(一)　向量平行的判定 01 [例1]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),且=, =,求证:∥. 证明:设E(x1,y1),F(x2,y2). 由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1), ∴==,==. ∴(x1,y1)-(-1,0)=, (x2,y2)-(3,-1)=. ∴(x1,y1)=,(x2,y2)=. ∴=(x2,y2)-(x1,y1)=. ∵4×-(-1)×=0,∴∥. |思|维|建|模| 向量平行的判定方法 (1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解. 针对训练 1.(多选)下列各组向量中,可以表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　) A.a=(-1,2),b=(3,5) B.a=(1,2),b=(2,1) C.a=(2,-1),b=(3,4) D.a=(-2,1),b=(4,-2) √ √ √ 解析:要满足题意,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b不平行,即x1y2-x2y1≠0. 对于A,2×3+1×5≠0,所以A不平行; 对于B,2×2-1×1≠0,所以B不平行; 对于C,-1×3-2×4≠0,所以C不平行; 对于D,1×4-(-2)×(-2)=0,所以D平行.故选ABC. 2.已知点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗? 解:因为点A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),所以=(2,4),=(1,2),显然有2×2-1×4=0,于是得∥.因为=(2,6),而=(2,4),即有2×4-2×6≠0,所以与不平行,即点A,B,C不共线.因此AB与CD不重合,所以直线AB与CD平行. 题型(二)　利用向量平行的 坐标表示求参数 02 [例2]　已知a=(1,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线? 解:因为a=(1,0),b=(2,1), 所以ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). 因为ka-b与a+2b共线, 所以=,解得k=-. (2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值. 解:因为a=(1,0),b=(2,1), 所以=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(1+2m,m). 因为A,B,C三点共线, 所以与共线, 即=,解得m=. |思|维|建|模| 根据向量共线条件求参数问题,一般有两种思路.一是利用向量共线定理a=λb(b≠0),列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. 针对训练 3.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 解析:因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,即∥.又=-=(1,2),=-=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,解得k=1. √ 4.已知向量a=(1,2),b=(2,-3),若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c= (　　) A. B. C. D. 解析:设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).由(c+a)∥b,c⊥(a+b), 得解得 所以c=. √ 题型(三)　利用向量平行的坐标 表示求点的坐标 03 [例3]　如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标. 解:设=t=t(4,4)=(4t,4t), 则=-=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =-=(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由,平行的条件知 (4t-4)×6-4t×(-2)=0,解得t=. 所以=(4t,4t)=(3,3). 所以P点坐标为(3,3). |思|维|建|模| 利用向量平行的坐标表示求点M坐标的步骤 (1)寻找共线向量; (2)利用已知点的坐标求出共线向量的坐标; (3)设点M的坐标为(x,y),用x,y表示以M为起点或终点的向量的坐标; (4)利用共线向量的坐标表示列方程(组); (5)解方程(组)求出点M的坐标. 针对训练 5.在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=, AD与BC交于点M,求点M的坐标. 解:∵点O(0,0),A(0,5),B(4,3), ∴=(0,5),=(4,3). ∵==,∴点C的坐标为. 同理可得点D的坐标为,从而=. 设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5). ∵A,M,D三点共线,∴与共线, ∴-x=2(y-5),即7x+4y=20 ①. 易知=,=. ∵C,M,B三点共线,∴与共线, ∴x=4,即7x-16y=-20 ②. 由①②解得x=,y=2. ∴点M的坐标为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.下列各组向量中,能作为基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,1) B.e1=(1,2),e2=(-2,1) C.e1=(-3,4),e2= D.e1=(2,6),e2=(-1,-3) √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析:A中,零向量与任意向量共线,故不能作为基底; C中,e1=-5e2; D中,e1=-2e2,向量e1与e2共线,不能作为基底; B中,e1与e2不共线,所以可作为一组基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是(　　) A.(,-1) B.(-1,-) C.(-,-1) D.(-1,) 解析:若向量a=(,1),b=(0,-2),则a+2b=(,1)+2(0,-2)=(,-3)= -(-1,),D选项满足要求,而其他选项不合题意. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若向量a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且c∥d,则c-2d=(　　) A. B. C.(1,2) D.(-1,-2) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意得c=a+2b=(x,2)+(1,2)=(x+1,4), d=2a-b=(2x,4)-=, ∵c∥d,∴3(x+1)=4,解得x=1, ∴c=(2,4),d=, ∴c-2d=(2,4)-(3,6)=(-1,-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 解析:因为a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3,所以x=-3是a⊥b的充分条件, x=0是a⊥b的充分条件,故A错误,C正确. a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±,故B、D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　) A.4 B.6 C.8 D.9 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2), ∵A,B,C三点共线,∴∥. ∴2(a-1)=-b-1,∴2a+b=1. 又a>0,b>0,∴+=(2a+b) =2+2++≥4+2=8, 当且仅当 即a=,b=时取等号. 故+的最小值为8,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)平行,则实数x的值为　　　. 解析:∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)平行, ∴2(3x-1)-4×1=0,解得x=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为　　 　　.  解析:由b∥a,可设b=λa=(-2λ,3λ).设B(x,y), 则=(x-1,y-2)=b. 由⇒又B点在坐标轴上, 则1-2λ=0或3λ+2=0,所以B或. 或 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=2a-b,且u∥v,则实数x的值为　　　　. 解析:因为a=(1,2),b=(x,1), 所以u=a+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3). 又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0,解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2), M,N分别为DC,AB的中点,求,的坐标,并判断,是否平行. 解:由已知可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5), 所以=(2.5,2.5),=(-2.5,-2.5). 又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0,所以,平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y). (1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y应满足的条件; 解:因为点A,B,C不能构成三角形, 所以A,B,C三点共线,所以∥. 由题意得=(3,1),=(2-x,1-y), 所以3(1-y)=2-x,即x-3y+1=0. 所以x,y满足的条件为x-3y+1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若=2,求x,y的值. 解:由题意得=(-x-1,-y), 由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y), 所以解得 即x,y的值分别为-4,-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知A(-1,2),B(2,8),C(0,5),若⊥,∥,则点D的坐标是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:设D(x,y),则=(x+1,y-2),=(x-2,y-8),=(-2,-3). ∵⊥,∴-2(x+1)-3(y-2)=0,即2x+3y=4.∵∥, ∴-3(x-2)=-2(y-8),即3x-2y=-10. 联立解得 ∴D.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),其中m,n均为正数,且(a-b)∥c,下列说法正确的是 (　　) A.a与b的夹角为钝角 B.向量a在b方向上的投影向量为b C.2m+n=4 D.mn的最大值为2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵a=(2,1),b=(1,-1), ∴a·b=2-1=1>0,∴a与b的夹角为锐角,故A错误; ∵a=(2,1),b=(1,-1),∴a·b=1,|a|=,|b|=,∴向量a在b方向上的投影向量为|a|··=b,故B错误; ∵a=(2,1),b=(1,-1),∴a-b=(1,2), 又(a-b)∥c,c=(m-2,-n), ∴-n=2(m-2),∴2m+n=4,故C正确; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵2m+n=4,而m,n均为正数, ∴mn=(2m·n)≤=2, 当且仅当2m=n,即m=1,n=2时等号成立, ∴mn的最大值为2,故D正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为　　　　.  解析:由条件中的四边形ABCD的对边分别平行,可以判断该四边形ABCD是平行四边形. 设D(x,y),则有=, 即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y), 解得(x,y)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2). (0,-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b),A,B,C三点共线. (1)求a与b满足的关系式; 解:因为A(1,1),B(-1,4),C(a,b), 所以=(-2,3),=(a-1,b-1). 因为A,B,C三点共线,则∥, 所以-2(b-1)=3(a-1),即3a+2b-5=0. 故a与b满足的关系式为3a+2b-5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若||=2||,求点C的坐标. 解:因为A,B,C三点共线,||=2||, 所以=2或=-2. 当=2时,有(a-1,b-1)=2(-2,3), 解得a=-3,b=7; 当=-2时,有(a-1,b-1)=(4,-6), 解得a=5,b=-5. 所以点C的坐标为(-3,7)或(5,-5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知a=(1,1),b=(0,-2),当k为何值时: (1)ka-b与a+b共线; 解:因为a=(1,1),b=(0,-2), 所以ka-b=(k,k)-(0,-2)=(k,k+2), a+b=(1,1)+(0,-2)=(1,-1). 因为ka-b与a+b共线, 所以k+2-(-k)=0,解得k=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)ka-b与a+b的夹角为120°. 解:因为ka-b=(k,k+2),a+b=(1,-1), 所以|ka-b|=,|a+b|=, (ka-b)·(a+b)=k-(k+2)=-2. 因为ka-b与a+b的夹角为120°, 所以cos 120°= ==-. 化简得k2+2k-2=0,解得k=-1±. $$