9.3.2 第1课时 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3.2 向量坐标表示与运算 向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示 (教学方式:基本概念课——逐点理清式教学) 第1课时 课时目标 1.借助于平面直角坐标系,理解向量坐标的概念,会求点的坐标. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.会用坐标表示平面向量的加法和减法及数乘运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的坐标表示 逐点清(二) 向量线性运算的坐标表示 逐点清(三)　向量坐标运算的 综合应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的坐标表示 01 多维理解 　　在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个_________ i,j作为基底,对于平面内的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x, y),使得_________. 我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=_______. 　　特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 单位向量 a=xi+yj (x,y) |微|点|助|解| 　　点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形 式不同 向量a=(x,y)中间用等号连接,而点A(x,y)中间没有等号 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置, a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y) 联系 当平面向量的起点在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 微点练明 1.如图所示,e1,e2为单位正交基底, 则向量a,b的坐标分别是 (　　) A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3) C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3) 解析:根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2.∴a=(2,3), b=(2,-2). √ 2.已知D是△ABC所在平面内一点,=3,设=e1,=e2,则在基底e1,e2下的坐标为(　　) A. B. C. D. √ 解析:因为=3, 所以==(-). 所以=+=+(-) =-+=-e1+e2. 因此向量在基底e1,e2下的坐标为. 3.若i,j为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0,因此a对应的坐标满足x2+x+1>0,-(x2-x+1)<0.所以向量a对应的坐标位于第四象限. √ 4.已知O为坐标原点,点A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,则向量的坐标为　 　　　. 解析:如图,由∠xOA=120°可得∠yOA=30°. 因为||=2, 所以A(-1,). 故=(-1,). (-1,) 逐点清(二)　向量线性运算的 坐标表示 02 多维理解   文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标等于这两个 向量相应坐标的和 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=_____________ 减法 两个向量差的坐标等于这两个 向量相应坐标的差 若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a-b=_____________ 数乘 向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a=(x,y),λ∈R,则λa=________ 向量的 坐标 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1,y1),B(x2,y2), 则=_____________ (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx,λy) (x2-x1,y2-y1) |微|点|助|解| (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变. (2)当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量终点的坐标等于向量本身的坐标. (3)由向量坐标的定义知,相同的向量的坐标一定相同,但是相同的向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔ 微点练明 1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b=(　　) A.(2,1) B.(-2,1) C.(1,2) D.(-1,2) 解析:a-b=(1,1)-(1,-1)=(-1,2). √ 2.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c= (　　) A. B. C. D. 解析:由a-2b+3c=0,可得c=-a+b=-(5,-2)+(-4,-3)=. √ 3.在平面直角坐标系中,已知P1(-1,1),P2(1,3),点P满足=-3,则点P的坐标为　　　　. 解析:设点P的坐标为(x,y), 因为P1(-1,1),P2(1,3), 所以=(x+1,y-1),=(1-x,3-y). 因为=-3, 所以解得 所以点P的坐标为(2,4). (2,4) 4.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c, =-2b. (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; 解:由题意得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8),所以mb+nc=(-6m+n,-3m+8n). 因为a=mb+nc, 所以解得 (2)求M,N的坐标及向量的坐标. 解:设O为坐标原点,因为=-=3c, 所以=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). 所以点M的坐标为(0,20). 因为=-=-2b, 所以=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2). 所以点N的坐标为(9,2). 故=(9,-18). 逐点清(三)　向量坐标运算的 综合应用 03 [典例]　已知O(0,0),A(1,2),B(4,5)及=+t(t∈R). (1)t为何值时,P在x轴上?t为何值时,P在y轴上? 解:(1)由题意得=(1,2),=(3,3), 则=+t=(1+3t,2+3t). 若P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-; 若P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-. (2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 解:不能.理由如下: 由题意知=(1,2),=-=(3-3t,3-3t).若四边形OABP为平行四边形,则=, ∵无解, ∴四边形OABP不能成为平行四边形. |思|维|建|模| 　　(1)待定系数法是最基本的数学方法之一.先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是待定系数法的基本形式,也是方程思想的一种基本应用. (2)坐标形式下向量相等的条件:相同的向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相同的向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. 针对训练 　已知O(0,0),向量=(2,1),=(3,-2). 　(1)如图,若四边形OACB为平行四边形,求点C的坐标; 解:设点C的坐标为(x,y), 由题意,得A(2,1),B(3,-2), 则=(x-3,y+2),若四边形OACB为平行四边形,可得=,则解得故点C的坐标为(5,-1). (2)若点P为线段AB靠近点B的三等分点,求点P的坐标. 解:设点P的坐标为(a,b),由(1)可知A(2,1),B(3,-2),则=(a-2,b-1), =(1,-3).若点P为线段AB靠近点B的三等分点,则=, 即解得故点P的坐标为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.(多选)下列各式不正确的是(　　) A.若a=(-2,4),b=(3,4),则3a-2b=(-12,4) B.若a=(5,2),b=(2,4),则2b-a=(-1,6) C.若a=(1,0),b=(0,1),则a+b=(0,1) D.若a=(1,1),b=(1,-2),则a+b=(2,1) 解析:由向量加、减法的坐标运算可得. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为 (　　) A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2 解析:因为c=λ1a+λ2b,所以(3,4)=λ1(1,2)+λ2(2,3). 所以解得 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3), =(1,5),则等于(　　) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) 解析:∵点Q是AC的中点,∴=(+),∴=2-,∵=(4,3), =(1,5),∴=(-2,7),又=2,∴=3=(-6,21). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设点A(2,0),B(4,2),若点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为(　　) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,-1)或(-1,1) D.(3,1)或(1,-1) 解析:∵A(2,0),B(4,2),∴=(2,2),∵点P在直线AB上,且||=2||, ∴=2或=-2,故=(1,1)或=(-1,-1),故P点坐标为(3,1)或(1,-1),故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c), d的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量d= (　　) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 解析:设d=(x,y),由题意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2), 易知4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,解得x=-2,y=-6,所以d=(-2,-6). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知点A(-1,5),向量a=(-1,2),若=3a,则点B的坐标是　　 　　. 解析:易知=(-3,6). 设B(x,y),则(-3,6)=(x+1,y-5), 解得x=-4,y=11.故点B的坐标是(-4,11). (-4,11) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN上靠近点M的三等分点, 则点P的坐标为　　　 　.  解析:由题意得=3,设P(x,y),则(-6,-14)=3(x-7,y-8),解得x=5, y=,即P. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(-12,7),若c=ma+nb,其中m,n∈R,则m+n的值为　　　　.  解析:因为a=(3,-2),b=(-2,1),c=(-12,7),所以ma+nb=(3m-2n,-2m+n).因为c=ma+nb,所以(-12,7)=(3m-2n,-2m+n).所以解得m=-2,n=3.所以m+n=1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(10分)已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点,AB边在x轴上, C在第一象限,D为AC的中点,分别求向量,,的坐标. 解:如图所示,正三角形ABC的边长为2, 则点A(0,0),B(2,0),C(1,),又点D是AC的中点,知D.所以=(2,0), =,=(1-2,-0)=(-1,). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),用,表示++. 解:∵=(1,3),=(2,4),=(-3,5), =(-4,2),=(-5,1), ∴++=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,一定存在实数m,n,使得 ++=m+n, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4), 即(-12,8)=(m+2n,3m+4n), ∴解得 ∴++=32-22. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为(　　) A.(2,0) B.(0,-2) C.(-2,0) D.(0,2) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由a在基底p,q下的坐标为(-2,2),则a=-2p+2q=-2(1,-1)+ 2(2,1)=(2,4).设(x,y)为a在基底m,n下的坐标,则a=xm+yn= (-x+y,x+2y),即(2,4)=(-x+y,x+2y),则解得 所以a在基底m,n下的坐标为(0,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若第四象限的点P满足=+λ,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,-1) B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:法一　设P(x,y),则=(x-2,y-3),=(3,1),=(5,7), 又=+λ=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ),所以(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ). 所以即 因为点P在第四象限,所以解得-1<λ<-.故实数λ的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为=+=++λ=+λ=(5,4)+λ(5,7)= (5+5λ,4+7λ),所以P(5+5λ,4+7λ).因为点P在第四象限, 所以解得-1<λ<-. 故实数λ的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,用基底a,b表示c,则 (　　) A.c=3a-2b B.c=-3a+2b C.c=-2a+3b D.c=2a+3b √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:法一　如图①,建立平面直角坐标系,设网格中最小的正方形的边长为1,则a=(1,1),b=(-2,3),c=(7,-3). 设向量c=ma+nb(m,n∈R), 则解得 所以c=3a-2b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　如图②,以i,j为基底,则a=i+j,b=-2i+3j,c=7i-3j. 设c=λa+μb=(λ-2μ)i+(λ+3μ)j,λ,μ∈R,所以 解得所以c=3a-2b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,若=e1-e2, =2e1+λe2,=e1+e2,且A,P,C三点共线. (1)求实数λ的值; 解:=+=e1-e2+2e1+λe2=3e1+(λ-1)e2,由A,P,C三点共线, 设=t(t∈R),则=t(e1+e2)=te1+te2,即解得λ=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若e1=(1,0),e2=(0,1). ①求; ②若D(-2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,求点A的坐标. 解:①∵=+=2e1+4e2+e1+e2=3e1+5e2,∴向量的坐标为(3,5). ②设A的坐标为(x,y),∵A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,∴=. 由=(-2-x,4-y),=(3,5), 得解得 ∴A的坐标为(-5,-1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(12分)已知平行四边形ABCD中,=2,=2,=2. (1)用,表示; 解:因为=+, =+,=2, 所以-=2(-), 所以=+=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若||=6,||=3,∠BAD=45°,如图建立平面直角坐标系,求和的坐标. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:过点D作AB的垂线交AB于点D',如图所示, 于是在Rt△ADD'中,由∠BAD=45°,可知AD'=3. 根据题意得A(0,0),B(6,0),D(3,3),F(7,1),=+= (6,0)+(3,3)=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以G. 所以=(6,0),=,=(4,-2), =-=. $$