2025年九年级中考数学复习课件 专题：二次函数

中考冲刺 中考【函数】专题:二次函数 主讲人：xxx 三种表达式： 考点一：二次函数表达式 解析式 解析式拆解 用法 一般式 y=ax²+bx+c a控制开口形状（方向和大小）； b与a共同决定了对称轴和顶点； c决定了抛物线与y轴的交点 给定任意三个点坐标，求解析式 顶点式 y=a(x-h)²+k h与k分别为抛物线顶点的横、纵坐标 已知顶点坐标/对称轴，求解析式； 图象的变换（平移、对称） 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) x1,x2分别为抛物线与x轴交点的横坐标 推而广之：x1,x2可视为抛物线与直线y=k的交点横坐标，即有：y=a(x-x1)(x-x2)+k 已知两个纵坐标相等的点，求解析式 二次函数表达式与图象变换： 考点一：二次函数表达式 y=a(x-h)2+k 变换后 变换规律 平移 向左平移m个单位 y=a(x-h+m)2+k 顶点横坐标：左加右减 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k 向上平移m个单位 y=a(x-h)2+k+m 顶点纵坐标：上加下减 向下平移m个单位 y=a(x-h)2+k-m 对称 关于x轴对称 y=-a(x-h)2-k 顶点纵坐标变相反数 关于y轴对称 y=a(x+h)2+k 顶点横坐标变相反数 关于原点对称 y=-a(x+h)2-k 顶点横、纵坐标都变相反数 旋转 绕原点旋转180° 【例题1】 二次函数，自变量与函数的对应值如表： 下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 二次函数的最小值是-2 D. 抛物线的对称轴是 考点一：二次函数表达式 … -5 -4 -3 -2 -1 0 … … 4 0 -2 -2 0 4 … 【例题2】在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线，则原抛物线的解析式是( ) A. B. C. D. 【变式】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( ) A. B. C. D. 考点一：二次函数表达式 二次函数图象与系数关系的解题方法： （1）,,的符号关系： 的符号看开口方向，的符号看对称轴，的符号看抛物线与轴交点。 （2）加减关系： ①若判断正负性，看抛物线与轴交点个数。 ②求特殊加减关系：若判断或的正负性，令=1或-1代入函数。 ③求一般加减关系：消元法+赋值法。 考点二：二次函数图象与性质 二次函数图象与对称轴、增减性、最值问题（动态范围）解题方法： 核心解法在于寻找对称轴，根据对称轴与取值范围的关系判断最值。 考点二：二次函数图象与性质 一般有两种类型： ①对称轴运动，取值范围固定： 按照对称轴在取值范围内和取值范围外进行分类。 ②取值范围运动，对称轴固定： 按照取值范围包含对称轴和不包含对称轴进行分类。 考点二：二次函数图象与性质 【例题1】 已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 考点二：二次函数图象与性质 【例题2】 （1）当时，二次函数的最小值是-1,求的值. （2）当时，求函数的最小值. 考点二：二次函数图象与性质 【变式】 已知抛物线，当时，的值恒大于等于9．则的取值范围为_________． 判断方程根的情况或不等式是否成立： 考点三：二次函数与方程、不等式 方程（不等式）形式 几何意义 代数方法 y=ax2+bx+c=0 二次函数与x轴的交点问题 将方程改写成一般式，用方程判别式△进行根的判别： ①△＞0，有两个不同实数根 ②△＝0，有两个相同实数根 ③△＜0，无实数根 y=ax2+bx+c=k 其他形式： ax2+bx＞k-c |ax2+bx+c|=k 二次函数与直线y=k的交点问题 y=ax2+bx+c=kx+m 其他形式： ax2+(b-k)x+c-m=0 ax2+(b-k)x＞m-c 二次函数与直线y=kx+m的交点问题 考点三：二次函数与方程、不等式 【例题1】若二次函数的最小值为-2，则方程的不同实数根的个数是( ) A. B. C. D. 【变式】已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②；③；④不等式的解集为，正确的结论个数是( ) A. B. C. D. 点或线段的运动使线段长、图形面积最大或最小： 核心解法在于把握运动中的图形解析式，根据限制条件定最值。 考点四：动态图形最值 【例题1】 如图①，在平面直角坐标系中，已知A(-2，2)，B(-2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动(M不与点B、点D重合)，设运动时间为(秒). （1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式； （2）当M在CD上运动时,如图②.过点M作MF⊥轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E.设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与的函数关系式，并求出S的最大值. 考点四：动态图形最值 【变式】在平面直角坐标系中，O为原点，点A(6，0)，点B在轴的正半轴上，∠ABO=30°.矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2. （1）如图①，求点E的坐标； （2）将矩形CODE沿轴向右平移，得到矩形C'O'D'E',点C，O，D，E的对应点分别为C'，0'，D'，E'.设OO'=t,矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分的面积为. ①如图②，当矩形C'O'D'E'与△ABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M, F，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围(直接写出结果即可). 考点四：动态图形最值 【例题2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(-4，0). （1）求该二次函数的表达式及点C的坐标； （2）点D的坐标为(0，4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S，求S的最大值. 动点与角度存在性： 考点五：角度存在问题 特殊角 角度关系 角相等 角度和差 倍角：外角+等腰 “K”字型 三角函数+圆周角 外角 等腰=大减小 等腰 圆周角 【例题1】特殊角 如图，抛物线与x轴交于A(-3，0)，B两点，与轴交于点C. （1）求抛物线解析式及B、C两点坐标； （2）该抛物线对称轴上是否存在点D，使得∠ACD=45°，若存在，求出点D的坐标；抛物线上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标； 考点五：角度存在问题 【例题1】特殊角 如图，抛物线与x轴交于A(-3，0)，B两点，与轴交于点C. （3）该抛物线对称轴上是否存在点D，使得∠ACD=60°，若存在，求出点D的坐标；抛物线上是否存在点E，使得∠ACE=30°，若存在，求出点E的坐标； 考点五：角度存在问题 【例题1】特殊角 如图，抛物线与x轴交于A(-3，0)，B两点，与轴交于点C. （4）该抛物线对称轴上是否存在点D，使得tan∠ACD=，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由. 考点五：角度存在问题 【例题2】角度关系 如图，抛物线（）与轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标； 考点五：角度存在问题 【例题2】角度关系 如图，抛物线（）与轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当∠PBC=∠ABC时，求点P的坐标； 考点五：角度存在问题 【例题2】角度关系 如图，抛物线（）与轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （4）点P是抛物线对称轴上的一动点，当∠BCP=45°-∠ABC时，求点P的坐标； 考点五：角度存在问题 【例题2】角度关系 如图，抛物线（）与轴交于A（-2，0）、B（8，0）两点，与轴交于点C（0，4），连接AC、BC． （5）点P是抛物线上的一动点，当∠PAB=2∠ACO时，求点P的坐标. 考点五：角度存在问题 动点与特殊三角形： 考点六：动点与特殊图形 斜边的中线＝斜边一半 勾股定理 垂直得斜率 “K”字型 腰＝腰 垂直平分线 找边的比例关系 Rt三角形 等腰三角形 等边三角形 相似三角形 边＝边＝边 中垂线与边的大小关系 【例题1】Rt三角形 如图,直线与抛物线相交于A和B，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥轴于点D，交抛物线于点C. （1）求抛物线的解析式； （2）求△PAC为直角三角形时点P的坐标. 考点六：动点与特殊图形 【例题2】等腰三角形 如图，已知二次函数和二次函数图象的顶点分别为M，N，与轴分别交于点E，F． （1）函数的最小值为______；当二次函数的值同时随着的增大而减小时，的取值范围是______； （2）若二次函数的图象与轴的右交点为A，当△AMN为等腰三角形时，求方程的解． 考点六：动点与特殊图形 【例题3】相似三角形 如图，已知二次函数为常数的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥轴，交轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC. （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标. 考点六：动点与特殊图形 备用图 【例题4】锐角三角形 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A(-2，1)和点B(-1，-1)，抛物线，点M为上一点，MN∥轴交于点N. （1）求抛物线的解析式； （2）①求MN的最小值； ②当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求M的坐标； （3）请直接写出当△ABN为锐角三角形时，点N横坐标的取值范围. 考点六：动点与特殊图形 动点与平行四边形： 考点六：动点与特殊图形 按边分 按对角分 平移 中点公式 边相等 边平行 求法 分类 【例题1】平行四边形 如图，抛物线经过点B(4，0)，C(0，-2)，对称轴为直线1，与轴的另一个交点为点A. （1）求抛物线的解析式； （2）点P在轴上，点Q在抛物线上，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由. 考点六：动点与特殊图形 动点与特殊四边形： 考点六：动点与特殊图形 邻边相等 对角线垂直 对角线相等 证直角 矩形 菱形：平行四边形+ 平行四边形+ 证三个直角 点在轴上：“K”字型 【例题1】矩形 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC. （1）直接写出点A的坐标，并求直线的函数表达式(其中用含的式子表示)； （2）点E是直线上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求的值； 考点六：动点与特殊图形 【例题1】矩形 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC. （3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，当以点A、D、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标. 考点六：动点与特殊图形 【例题2】菱形 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与轴交于点C，顶点为D，对称轴与轴交于点H，过点H的直线交抛物线于P，Q两点，点Q在轴的右侧. （1）求的值及点A，B的坐标； （2）当直线将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线的函数表达式； 考点六：动点与特殊图形 【例题2】菱形 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与轴交于点C，顶点为D，对称轴与轴交于点H，过点H的直线交抛物线于P，Q两点，点Q在轴的右侧. （3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由. 考点六：动点与特殊图形 $$