第1章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4.1 单位圆与任意角的正弦 函数、余弦函数定义 (深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.借助单位圆理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义. 2.会利用任意角的正弦函数、余弦函数的定义求函数值. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图,在直角坐标系中,给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),把点P的纵坐标v叫作角α的 ,把点P的横坐标u叫作角α的 .对于α∈R,称v=sin α为任意角α的正弦函数,u= 为任意角α的余弦函数.  正弦值 余弦值 cos α 2.利用角的终边上的一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= , 其中r= . |微|点|助|解| (1)对任意一个给定的角α,它只有唯一的一条终边,从而终边与单位圆只有唯一的交点,所以它对应的正弦值和余弦值都是唯一确定的. (2)角的三角函数值与点在终边上的位置无关. (3)由三角函数的定义可知,任意给定角α,有sin2α+cos2α=1. 1.若α的终边与x轴负半轴重合,则sin α=　　　,cos α=　　　　.  解析:当α的终边与x轴负半轴重合时,角α的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0),故sin α=0,cos α=-1. 0 -1 基础落实训练 2.已知角α终边经过点P(5,0),则sin α=　　　　,cos α=　　　　.  解析:∵x=5,y=0,∴r=5. ∴sin α==0,cos α==1. 0 1 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　单位圆法求三角函数值 [例1]　在单位圆中,α=. (1)画出角α; 解:因为α==2π+,所以角α的终边与角的终边相同. 以原点为角的顶点,以x轴非负半轴为角的始边,逆时针旋 转,与单位圆交于点P,则角α如图所示. (2)求出角α的终边与单位圆的交点坐标; 解:由(1)知,点P在第二象限,且在角的终边上,所以点P的坐标为. (3)求出角α的正弦函数值、余弦函数值. 解:由(2)及正、余弦函数的定义可得sin=,cos=-. |思|维|建|模| 　　单位圆法求三角函数的值,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用三角函数的定义求出相应的三角函数值. 针对训练 1.已知角α的终边经过点,则sin α=　　　　, cos α=　　　　.  解析:因为+=1,所以点在单位圆上,由三角函数的定义知sin α=-,cos α=-. - - 2.利用定义求的正弦函数值、余弦函数值. 解:如图所示,的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在Rt△OBP中,|OP|=1,∠POB=,则|PB|=,|OB|=,则P. 所以sin=,cos=-. 题型(二)　已知角终边上的一点求值 [例2]　(1)已知角θ的终边经过点P(1,-),则cos θ的值为(　 ) A.- C.- 解析:因为角θ的终边经过点P(1,-),所以cos θ==. √ (2)若角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),则2sin α+cos α=　　　　.　  解析:r==5|a|. ①若a>0,则r=5a,角α在第二象限,sin α===, cos α===-.所以2sin α+cos α=-=1. ②若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,sin α==-, cos α==.所以2sin α+cos α=-+=-1. 综上所述,2sin α+cos α=1或-1. 1或-1 |思|维|建|模| 已知角的终边上一点求三角函数值的步骤 (1)取点:在角α的终边上任取一点P(x,y)(P与原点不重合); (2)计算r:r=|OP|=; (3)求值:由sin α=,cos α=求值.　 针对训练 3.(多选)角α的终边上一点的坐标为P(3,4),则下列结论正确的是 (　 ) A.sin α= B.sin α= C.cos α= D.cos α= 解析:因为点P到坐标原点的距离r==5,所以sin α=,cos α=. √ √ 4.已知角θ的终边经过点P(,a),若sin θ=-,则a=(　 ) A. C.- D.- 解析:因为sin θ<0,所以a<0,sin θ==-, 解得a=-或a=(舍去). √ 题型(三)　已知角终边所在直线求值 [例3]　已知角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上,求sin α,cos α的值. 解:设射线y=2x(x≥0)与单位圆的交点为P(x,y), 则解得 即P,所以sin α=y=,cos α=x=. 1.(变条件)本例中条件“角α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“角α的终边为射线y=-x(x≥0)”,求sin α,cos α的值. 解:由得x2+x2=1,即25x2=16,解得x=或x=-.因为x≥0, 所以x=,从而y=-.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为. 所以sin α=y=-,cos α=x=. 变式拓展 2.(变条件)本例中条件“α的终边落在射线y=2x(x≥0)上”变为“α的终边落在直线y=2x上”,其他条件不变,其结论又如何呢? 解:法一　设角α的终边与单位圆交于点P(x,y), 联立解得或 即点P坐标为或, 当点P坐标为时,sin α=,cos α=, 当点P坐标为时,sin α=-,cos α=-. 法二　①若α的终边在第一象限时,设点P(a,2a)(a>0)是其终边上任意一点, 因为r=|OP|==a,所以sin α===,cos α===. ②若α的终边在第三象限时,设点P(a,2a)(a<0)是其终边上任意一点, 因为r=|OP|==-a(a<0), 所以sin α===-,cos α===-. |思|维|建|模| 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时,应注意到角的终边为射线,所以应分两种情况处理,取射线上异于原点的任意一点的坐标(a,b),则对应角的正、余弦函数值分别为sin α=,cos α= . 针对训练 5.已知角α的终边在直线y=x上,求sin α. 解:易知角α的终边在第一象限或第三象限, 当角α的终边在第一象限时,角α的终边与单位圆的交点P的坐标为,则sin α=; 当角α的终边在第三象限时,角α的终边与单位圆的交点P'的坐标为,则sin α=-.综上可知,sin α=或sin α=-. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若sin α=,cos α=-,则在角α终边上的点有(　 ) A.(-4,3) B.(3,-4) C.(4,-3) D.(-3,4) 解析:由sin α,cos α的定义知,当x=-4,y=3,r=5时,满足题意,故选A. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知角α的终边经过点P(-2,1),则sin α的值为 (　 ) A. C.- D.- 解析:因为角α的终边经过点P(-2,1), 所以sin α==. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.如果角α的终边过点P(2sin 30°,-2cos 30°),则sin α等于 (　 ) A. B.- C.- D.- 解析:由题意得P(1,-),它与原点的距离r==2, ∴sin α=-. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知角α的终边经过点P(4,b),且sin α=-,则b的值为(　 ) A.3 B.-3 C.±3 D.5 解析:根据三角函数的定义知sin α==-,且b<0,即25b2=9(16+b2),解得b=-3. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,4|a|),其中a≠0,则下列取值有可能的是 (　 ) A.sin α=- B.cos α=- C.sin α+cos α= D.sin α-cos α= 16 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:当a>0时,P(3a,4a),则sin α===, cos α==,则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故D正确; 当a<0时,P(3a,-4a),则sin α==,cos α==-, 则sin α+cos α=,sin α-cos α=,故B、C正确.综上,A错误, B、C、D可能正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在单位圆中,cos　　　　0,sin　　　　0.(填“>”或“<”).  16 < < 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若α=-,则sin α=　　　　,cos α=　　　　.  解析:因为角-的终边与单位圆交于P,所以sin α=-,cos α=. 16 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知角α的终边上一点P与点A(-3,2)关于y轴对称,角β的终边上一点Q与点A关于原点对称,则sin α+sin β=　　　　.  解析:由题意,知P(3,2),Q(3,-2),从而sin α==, sin β==-,所以sin α+sin β=0. 16 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)利用定义求sin,cos的值. 解:如图,在平面直角坐标系中画出角的终边. 设角的终边与单位圆的交点为P,则有P. 故sin=-,cos=-. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(8分)已知角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4,求2sin α+cos α的值. 解:∵角α终边上一点P与x轴的距离和y轴的距离之比为3∶4.∴P(±4a,±3a)(a≠0). 当角α终边在第一象限时,cos α=,sin α=,2sin α+cos α=2; 当角α终边在第二象限时,cos α=-,sin α=,2sin α+cos α=; 当角α终边在第三象限时,cos α=-,sin α=-,2sin α+cos α=-2; 当角α终边在第四象限时,cos α=,sin α=-,2sin α+cos α=-. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|=r,则点P的坐标为(　 ) A.P(sin α,cos α) B.P(cos α,sin α) C.P(rsin α,rcos α) D.P(rcos α,rsin α) 解析:设P(x,y),则sin α=,∴y=rsin α.又cos α=,∴x=rcos α. ∴P(rcos α,rsin α),故选D. 16 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.设函数f(θ)=sin θ+cos θ,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π. 若点P的坐标为, 则sin θ=　　　　,cos θ=　　　　 ,f(θ)=　　　 .   解析:由点P的坐标为和正(余)弦函数定义得,sin θ=,cos θ=,所以f(θ)=sin θ+cos θ=×+=2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P,且点P在角α的终边 上,则sin αcos α=　　　　.  解析:因为函数y=ax+1+1(a>0且a≠1)的图象经过定点P, 令x+1=0,则x=-1,y=2,所以P(-1,2). 于是sin α===,cos α==-, 所以sin αcos α=×=-. 16 - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.已知角α的终边经过点(3a,a+5),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:∵cos α≤0,sin α>0, ∴角α的终边落在第二象限或y轴的非负半轴上. ∴解得-5<a≤0, 即实数a的取值范围为(-5,0]. 16 (-5,0] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知角α的终边上有一点P,OP=25,且sin α=-,求点P的坐标. 解:设点P的坐标为(x,y),r=OP=25,∵π<α<,∴x<0,y<0. ∵sin α=-,∴sin α===-,解得y=-20.∵r=OP=25,∴=25, 即=25.又x<0,解得x=-15. 故点P的坐标为(-15,-20). 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P,Q点各自走过的弧长. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解:设P,Q第一次相遇时所用的时间是t秒,则t·+t· =2π. ∴t=4(秒),即第一次相遇的时间为4秒. 设第一次相遇点为C,第一次相遇时P点已运动到终边在·4=的位置, 则xC=-cos·4=-2,yC=-sin·4=-2.∴C点的坐标为(-2,-2), P点走过的弧长为·4=,Q点走过的弧长为·4=. 16 $$