第1章 §6 第2课时y=Asin(ωx+φ)的性质及应用（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 (拓展融通课——习题讲评式教学) 第2课时 课时目标 1.掌握函数y=Asin(ωx+φ)的周期、单调性及最值的求法. 2.理解函数y=Asin(ωx+φ)的对称性,会利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性解决一些简单问题. 1.正弦型函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的性质 定义域 R 值域 ________ 最值 ymax=_____,该最大值对应的自变量可由ωx+φ=2kπ+(k∈Z)解得;ymin=_____,该最小值对应的自变量可由ωx+φ=2kπ-(k∈Z)解得 周期性 最小正周期T= ________ [-A+b,A+b] A+b -A+b 续表 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)且b=0时,函数为 函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时,函数为 函数; 当φ≠(k∈Z)或φ=kπ(k∈Z)但b≠0时,函数为非奇非偶函数 单调性 单调递增区间可由2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到;单调递减区间可由2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)得到 对称性 其图象的对称轴可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)得到; 其图象的对称中心的纵坐标为b,横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)得到 奇 偶 2.类比研究函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的性质的方法,我们将ωx+φ看成整体,可以研究函数y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的性质: (1)周期性:y=Acos(ωx+φ)(Aω≠0)的最小正周期T=.还需注意:根据图象可得,y=A|f(ωx+φ)|(A,ω,φ为常数,且A≠0,ω≠0),f为sin,cos 时,最小正周期都是. (2)单调性:求y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调递增(减)区间,将ωx+φ代入y=cos x的单调递增(减)区间求出x的取值范围即可.其他情况需根据复合函数的单调性进行转化求解. (3)对称性:y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴方程由ωx+φ=kπ(k∈Z)得到,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+(k∈Z)得到. (4)奇偶性:函数y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数,当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　 函数y=Asin(ωx+φ)的单调性 题型(二)　 函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ)的奇 偶性与周期性及对称性 4 课时跟踪检测 题型(一)　 函数y=Asin(ωx+φ)的单调性 01 [例1]　(1)函数y=2sin+1的单调递增区间为 　　　　 .  解析: y=2sin+1=-2sin+1,要求y=2sin+1的单调递增区间,即求函数y=sin的单调递减区间.由2kπ+≤2x- ≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.故所求函数y=2sin+1的单调递增区间为,k∈Z. ,k∈Z (2)若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调 递减,则ω=　　　　.  解析:∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时, y=sin ωx单调递增;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx单调递减. 由f(x)=sin ωx(ω>0)在上单调递增,在上单调递减,知=,∴ω=. |思|维|建|模| 求单调区间的基本方法——基本函数法 　　用“基本函数法”求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)或y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的步骤: 1.(2024·盐城期中)若函数f(x)=sin(ω>0)在上具有单调性,则ω的取值范围是(　 ) A. C. 解析:因为0<x<,所以<ωx+<ω+,又f(x)在上具有单调性,所以ω+≤,结合ω>0,解得0<ω≤1. √ 针对训练 2.函数y=1+sin,x∈[-4π,4π]的单调递减区间为　　　　　　　 　 　.  解析:y=1+sin=-sin+1. 由2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),解得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z). 又∵x∈[-4π,4π],∴函数y=1+sin的单调递减区间为 ,,. ,, 题型(二)　 函数y=Asin(ωx+φ)的最值问题 02 [例2]　(1)求y=cos,x∈的值域. 解:由x∈可得x+∈. 因为函数y=cos x在区间上单调递减, 所以函数y=cos的值域为. (2)已知f(x)=2sin-3(ω>0),最小正周期是π.求f(x)的最值,以及取得最值时相应x的集合. 解:由T==π,得ω=2.所以f(x)=2sin-3,则函数f(x)的最大值为 2-3=-1,此时2x+=2kπ+,k∈Z,则x=kπ+,k∈Z,即自变量x的取值集合是 ;函数f(x)的最小值为-2-3=-5, 此时2x+=2kπ-,k∈Z,则x=kπ-,k∈Z,即自变量x的取值集合是. |思|维|建|模| 求函数y=Asin(ωx+φ),x∈[m,n]的值域的步骤 (1)换元,令u=ωx+φ,并求u的取值范围; (2)作出y=sin u(注意u的取值范围)的图象; (3)结合图象求出值域. 3.若f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω=　　　　.  解析:∵x∈,且0<ω<1,∴0≤ωx≤<. ∵f(x)max=2sin=, ∴sin=,=,即ω=. 针对训练 4.求函数y=2sin的最大值和最小值. 解:∵-≤x≤,∴0≤2x+≤. ∴0≤sin≤1. ∴当sin=1时,ymax=2; 当sin=0时,ymin=0. 题型(三)　函数y=Asin(ωx+φ) 的奇偶性与周期性及对称性 03 [例3]　(1)已知函数f(x)=2sin满足f=2,则函数f是(　 ) A.奇函数,关于点(π,0)成中心对称 B.偶函数,关于点(π,0)成中心对称 C.奇函数,关于直线x=π成轴对称 D.偶函数,关于直线x=π成轴对称 √ 解析:由f=2为最大值,得+φ-=+2kπ,k∈Z,即得 φ=2kπ+,k∈Z, 即f(x)=2sin=2sin,则f=2sin=2cos x,所以函数y=f为偶函数,对称中心为,k∈Z,直线x=π 为其对称轴,故A、B、C均错误,D正确. (2)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f=(　 ) A.- B.- C. √ 解析:由题意得×=-,解得ω=2,易知x=是f(x)的最小值点, 所以×2+φ=+2kπ(k∈Z),得φ=+2kπ(k∈Z). 不妨取k=0,于是f(x)=sin,f=sin=sin=,故选D. |思|维|建|模| 1.与周期相关的结论 由函数y=Af(ωx+φ)(Aω≠0)(f为sin,cos)的图象可知: (1)相邻两个最大值点之间的区间长度为周期T; (2)相邻的最大值点与最小值点之间的区间长度为; (3)相邻的最值点与零点之间的区间长度为; (4)函数的单调递减区间和单调递增区间的长度都为. 2.求函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴(中心)及周期,可令ωx+φ=kπ+(求对称轴)或ωx+φ=kπ(求对称中心),T=求解. 在选择题中也可以利用“函数y=Asin(ωx+φ),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点”进行排除或选择. 5.(2023·天津高考)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,f(x)的一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　 ) A.f(x)=sin B.f(x)=cos C.f(x)=sin D.f(x)=cos √ 针对训练 解析:对于A,f(x)=sin,最小正周期为=4,因为f(2)=sin π=0,所以函数f(x)=sin的图象不关于直线x=2对称,故排除A; 对于B,f(x)=cos,最小正周期为=4,因为f(2)=cos π=-1,所以函数f(x)=cos的图象关于直线x=2对称,故选项B符合题意; 对于C、D,函数f(x)=sin和f(x)=cos的最小正周期均为=8, 均不符合题意,故排除C、D.故选B. 6.已知ω>0,函数f(x)=cos的一条对称轴为x=,一个对称中心为,则ω有(　 ) A.最小值2 B.最大值2 C.最小值1 D.最大值1 解析:由题意知-≥,故T=≤π,ω≥2. √ 7.若T为函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期,且T∈(3π,5π), ∀x∈R,f-f(-x)=0.则ω=　　　　.  解析:因为f-f(-x)=0,即f=f(-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,则ω×+=kπ,k∈Z,解得ω=-k+,k∈Z.又因为T=∈(3π,5π),所以ω∈,则当k=0时,ω=符合题意. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 A级——达标评价 1.(2024·北京高考)设函数f(x)=sin ωx(ω>0).已知f(x1)=-1,f(x2)=1,且|x1-x2|的最小值为,则ω=(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:因为f(x)=sin ωx∈[-1,1],且f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,所以f(x)的最小正周期T=2×=π,所以ω==2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列区间中,函数f(x)=7sin单调递增的区间是(　 ) A. C. 解析:当函数f(x)=7sin单调递增时,-+2kπ<x-<+2kπ,k∈Z,解得-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.令k=0,得-<x<.因为⊆,所以是函数f(x)=7sin单调递增的区间.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数f(x)=sin在区间上的最小值是(　 ) A.-1 B.- C. D.0 解析:∵x∈,∴2x-∈. ∴sin∈.∴f(x)min=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(2024·新课标Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin,下列说法正确的有(　 ) A.f(x)与g(x)有相同零点 B.f(x)与g(x)有相同最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)零点, 令g(x)=sin=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)零点, 显然f(x),g(x)零点不同,故A错误;显然f(x)max=g(x)max=1,故B正确; f(x),g(x)的最小正周期均为=π,故C正确;根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+⇔x=+(k∈Z),g(x)的对称轴满足2x-=kπ+⇔ x=+(k∈Z),显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,故D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为,且f(x)的图象关于点对称,则f=(　 ) A. B.- C. D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题意得,函数f(x)的最小正周期为×2=π,所以=π,得ω=2.所以f(x)=sin(2x+φ).因为f(x)的图象关于点对称,所以sin=0. 所以2×+φ=kπ,k∈Z,故φ=kπ-,k∈Z. 又|φ|≤,所以φ=-.所以f(x)=sin. 所以f=sin=sin=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若f(x)=cos是奇函数,则φ=　　　　.  解析:由题意,可知+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z.又|φ|<, 故当k=0时,φ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.函数f(x)=sin(ω≠0),则f(x)的奇偶性是　　　　,若f(x)的周期为π,则ω=　　　　.  解析:∵f(x)=sin=-cos ωx, ∴f(-x)=-cos(-ωx)=-cos ωx=f(x). ∴f(x)为偶函数.又T=π, ∴=π,即ω=±2. 偶函数 ±2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知函数y=f(x)的表达式f(x)=Asin(2x+φ)-, y=f(x)的图象在y轴上的截距为1,且关于直线x=对称,若存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立,则实数m的取值范围为　　　　　　　　　.  (-∞,1]∪[2,+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由y=f(x)的图象在y轴上的截距为1,得f(x)=Asin φ-=1⇒Asin φ=. 由y=f(x)的图象关于直线x=对称,得2×+φ=kπ+,k∈Z. 又0<φ<,∴φ=.∴Asin=⇒A=.∴f(x)=sin-. 当x∈时,2x+∈,故当2x+=,即x=时, f(x)min=-2, 故存在x∈,使m2-3m≥f(x)成立等价于m2-3m≥-2, 解得m≤1或m≥2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(12分)已知函数f(x)=2sin,x∈R. (1)写出函数f(x)的对称轴方程、对称中心的坐标; 解:由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).所以函数f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z.由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z). 所以函数f(x)的对称中心为,k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤. 所以当2x-=-, 即x=0时,f(x)取得最小值-1; 当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上具有单调性,求φ和ω的值. 解:由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),即函数f(x)的图象关于y轴对称. ∴f(x)在x=0时取得最值,即sin φ=1或sin φ=-1. ∵0≤φ<π,∴φ=.由f(x)的图象关于点M对称, 可知sin=0,即ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-,k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又f(x)在上具有单调性,∴T≥π,即≥π.∴ω≤2.又ω>0, ∴当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2.故φ=,ω=2或ω=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 B级——重点培优 11.(2024·天津高考)已知函数f(x)=sin 3(ω>0)的最小正周期为π,则f(x)在的最小值为(　 ) A.- B.- C.0 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由f(x)的最小正周期为π,可得π=,所以ω=,所以f(x)=sin(2x+π)=-sin 2x.当x∈时,2x∈,当2x=时,y=sin 2x取得最大值.所以f(x)min=-,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.已知函数f(x)=sin(ω>0,x∈R).若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为(　 ) A. B.2 C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+=2kπ+,k∈Z, 所以ω2=+2kπ,k∈Z.又ω-(-ω)≤·,即ω2≤,即ω2=,所以ω=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区 间为　　　 　　　.  ,k∈Z 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由“五点(画图)法”知,解得ω=π,φ=, 所以f(x)=cos. 令2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,解得2k-≤x≤2k+,k∈Z. 故f(x)的单调递减区间为,k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14. (16分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (1)求函数f(x)的解析式; 解:由题图知A=2, 由函数图象过点(0,1),得f(0)=1,即sin φ=.又|φ|<,所以φ=. 易知点是“五点(画图)法”中的第五点, 所以ω+=2π,解得ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数. 解:在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100. 令+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z). 而+31π>100,且+30π+<100,所以在 区间(0,100]内有31个形如(k∈Z,0≤k≤30)的区间. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点,故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外,两函数的图象在上还有一个交点, 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. $$